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(共18張PPT)
拓展拔高1　一元二次方程根的分布
設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1,x2,而m,n,k為常數(shù),令f(x)=ax2+bx+c,結合二次函數(shù)的圖象,以a>0的情形為例,對于一元二次方程根的分布的討論常見情形總結如下:
(1)若方程有兩個均大于m的實根,即x1,x2∈(m,+∞),則有
(2)若方程在[m,n]內(nèi)有兩根,即x1,x2∈[m,n],則有
(3)若方程有兩根,一根比m大,一根比m小,即x1(4)若m(5)若方程有兩個不同的根,且在(m,n)內(nèi)有且僅有一個根,則f(m)·f(n)<0或f(m)=0,另一根在(m,n)內(nèi),或f(n)=0,另一根在(m,n)內(nèi).
視角一　已知兩根與實數(shù)k的大小關系
[例1](1)若關于x的方程ax2-2ax+1=0有兩個不同的正根,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)
【解析】選C.因為關于x的方程ax2-2ax+1=0有兩個不同的正根,
所以解得a>1,
故實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).
(2)已知關于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0有一正根和一負根,則實數(shù)m的取
值范圍是　　　　.
【解析】方法一:顯然2m+1≠0,令f(x)=x2-x+,則f(0)<0,即<0,所以(2m+1)(m-1)<0,解得-方法二:設x1,x2是方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0的兩個根,則x1x2=<0,
解得-(-,1)
思維升華
當方程中二次項系數(shù)有字母參數(shù)時,為避免討論對應二次函數(shù)圖象的開口方向,可將方程兩邊同時除以二次項系數(shù),從而只需研究開口向上的情況,當然需要先判斷二次項系數(shù)能否為0.
【加練備選】
　　　若關于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,則實數(shù)k的取值范圍為　　　　　　　.
【解析】由題意,關于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,
設f(x)=x2-kx+2,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得f(-1)=k+3<0,
解得k<-3,
所以實數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3).
(-∞,-3)
視角二　已知兩根所在的區(qū)間
[例2](1)關于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. [,] B. (,] C. [,2) D. (,]∪{6-2}
【解析】選D.將方程x2+(m-2)x+2m-1=0對應的二次函數(shù)設為f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
因為方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),則需要滿足:
①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,
解得②函數(shù)f(x)剛好經(jīng)過點(0,0)或者點(1,0),另一個零點在區(qū)間(0,1)內(nèi),
把點(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=,
此時方程為x2-x=0,兩根為0,,
而 (0,1),不合題意,舍去;
把點(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,解得m=,
此時方程為3x2-4x+1=0,兩根為1,,
而∈(0,1),故符合題意;
③函數(shù)與x軸只有一個交點,其橫坐標在區(qū)間(0,1)內(nèi),
Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±2,
當m=6+2時,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根為-2- (0,1),不合題意;
若m=6-2,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根為-2,符合題意.
綜上,實數(shù)m的取值范圍為(,]∪{6-2}.
由題意,得即解得-(2)已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.①若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)
內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍為　　　　　　　　;
【解析】①設函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1,
則其圖象與x軸的交點分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi),畫出示意圖如圖,
(-,-)
由題意,得即
解得-②若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍為　　　　　　　　.
【解析】②由題意知函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1的圖象與x軸的交點落在區(qū)間(0,1)內(nèi),畫出示意圖如圖,
(-,1-]
思維升華
求解二次方程根的分布問題,最重要的是數(shù)形結合,即結合對應二次函數(shù)的圖象,從以下角度考慮:①開口方向;②對稱軸;③判別式;④在區(qū)間端點的函數(shù)值.
提醒:注意以下兩點:一是特殊點(含參的二次函數(shù)過的一些定點(比如與x,y軸的交點)或某些函數(shù)值的正負)的應用;二是對于一些特殊情況,還可以利用根與系數(shù)的關系、因式分解求出根再求解等方法.
視角三　可轉化為一元二次方程根的分布的問題
[例3](1)(2023·黃山模擬)若函數(shù)f(x)=4x-m·2x+m+3有兩個不同的零點x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-2)∪(6,+∞)
C.(7,+∞)
D.(-∞,-3)
【解析】選C.設t=2x,則t>0,則轉化為函數(shù)g(t)=t2-mt+m+3有兩個不同的零點t1,t2,且t1∈(1,2),t2∈(4,+∞),
所以
即
解得m>7.
(2)(2023·石家莊模擬)設函數(shù)f(x)=-cos 2x+asin x+a+,若方程f(x)=0在(0,π)上有4
個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　.
(-3,6-6)
【解析】f(x)=-(1-2sin 2x)+asin x+a+=3sin 2x+asin x+a+3,x∈(0,π),令sin x=t,
t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,當0有且僅有一個實數(shù)根,因為方程f(x)=0在(0,π)上有4個不相等的實數(shù)根,所以原問
題等價于h(t)=3t2+at+a+3=0在區(qū)間(0,1)上有兩個不相等的實數(shù)根,所以
解得-3思維升華
(1)一元二次方程根的分布問題很多都涉及函數(shù)零點個數(shù)問題或方程根的個數(shù)問題,經(jīng)過換元后都能轉化為根的分布問題求解.
(2)本題中,令sin x=t,將原問題轉化為3t2+at+a+3=0在區(qū)間(0,1)上有兩個不相等的實數(shù)根的問題,進而轉化為一元二次方程根的分布問題.
謝謝觀賞?。⊥卣拱胃?　一元二次方程根的分布
設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1,x2,而m,n,k為常數(shù),令f(x)=ax2+bx+c,結合二次函數(shù)的圖象,以a>0的情形為例,對于一元二次方程根的分布的討論常見情形總結如下:
(1)若方程有兩個均大于m的實根,即x1,x2∈(m,+∞),則有
(2)若方程在[m,n]內(nèi)有兩根,即x1,x2∈[m,n],則有
(3)若方程有兩根,一根比m大,一根比m小,即x1(4)若m(5)若方程有兩個不同的根,且在(m,n)內(nèi)有且僅有一個根,則f(m)·f(n)<0或f(m)=0,另一根在(m,n)內(nèi),或f(n)=0,另一根在(m,n)內(nèi).
視角一　已知兩根與實數(shù)k的大小關系
[例1](1)若關于x的方程ax2-2ax+1=0有兩個不同的正根,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)
【解析】選C.因為關于x的方程ax2-2ax+1=0有兩個不同的正根,
所以解得a>1,
故實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).
(2)已知關于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0有一正根和一負根,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.
【解析】方法一:顯然2m+1≠0,令f(x)=x2-x+,則f(0)<0,即<0,所以(2m+1)(m-1)<0,解得-方法二:設x1,x2是方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0的兩個根,則x1x2=<0,
解得-答案: (-,1)
思維升華
當方程中二次項系數(shù)有字母參數(shù)時,為避免討論對應二次函數(shù)圖象的開口方向,可將方程兩邊同時除以二次項系數(shù),從而只需研究開口向上的情況,當然需要先判斷二次項系數(shù)能否為0.
【加練備選】
　　　若關于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,則實數(shù)k的取值范圍為　　　　　　　.
【解析】由題意,關于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,
設f(x)=x2-kx+2,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得f(-1)=k+3<0,
解得k<-3,
所以實數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3).
答案:(-∞,-3)
視角二　已知兩根所在的區(qū)間
[例2](1)關于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. [,] B. (,] C. [,2) D. (,]∪{6-2}
【解析】選D.將方程x2+(m-2)x+2m-1=0對應的二次函數(shù)設為f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
因為方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),則需要滿足:
①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,
解得②函數(shù)f(x)剛好經(jīng)過點(0,0)或者點(1,0),另一個零點在區(qū)間(0,1)內(nèi),
把點(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
解得m=,
此時方程為x2-x=0,兩根為0,,
而 (0,1),不合題意,舍去;
把點(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
解得m=,
此時方程為3x2-4x+1=0,兩根為1,,
而∈(0,1),故符合題意;
③函數(shù)與x軸只有一個交點,其橫坐標在區(qū)間(0,1)內(nèi),
Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±2,
當m=6+2時,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根為-2- (0,1),不合題意;
若m=6-2,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根為-2,符合題意.
綜上,實數(shù)m的取值范圍為(,]∪{6-2}.
(2)已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.①若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍為　　　　　　　　;
【解析】①設函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1,
則其圖象與x軸的交點分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi),畫出示意圖如圖,
由題意,得
即
解得-②若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍為　　　　　　　　.
【解析】②由題意知函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1的圖象與x軸的交點落在區(qū)間(0,1)內(nèi),畫出示意圖如圖,
由題意,得
即
解得-答案:①(-,-)　②(-,1-]
思維升華
求解二次方程根的分布問題,最重要的是數(shù)形結合,即結合對應二次函數(shù)的圖象,從以下角度考慮:①開口方向;②對稱軸;③判別式;④在區(qū)間端點的函數(shù)值.
提醒:注意以下兩點:一是特殊點(含參的二次函數(shù)過的一些定點(比如與x,y軸的交點)或某些函數(shù)值的正負)的應用;二是對于一些特殊情況,還可以利用根與系數(shù)的關系、因式分解求出根再求解等方法.
視角三　可轉化為一元二次方程根的分布的問題
[例3](1)(2023·黃山模擬)若函數(shù)f(x)=4x-m·2x+m+3有兩個不同的零點x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-2)∪(6,+∞)
C.(7,+∞)
D.(-∞,-3)
【解析】選C.設t=2x,則t>0,則轉化為函數(shù)g(t)=t2-mt+m+3有兩個不同的零點t1,t2,且t1∈(1,2),t2∈(4,+∞),
所以
即
解得m>7.
(2)(2023·石家莊模擬)設函數(shù)f(x)=-cos 2x+asin x+a+,若方程f(x)=0在(0,π)上有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　.
【解析】f(x)=-(1-2sin 2x)+asin x+a+=3sin 2x+asin x+a+3,x∈(0,π),令sin x=t,t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,當0解得-3答案:(-3,6-6)
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(1)一元二次方程根的分布問題很多都涉及函數(shù)零點個數(shù)問題或方程根的個數(shù)問題,經(jīng)過換元后都能轉化為根的分布問題求解.
(2)本題中,令sin x=t,將原問題轉化為3t2+at+a+3=0在區(qū)間(0,1)上有兩個不相等的實數(shù)根的問題,進而轉化為一元二次方程根的分布問題.

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