資源簡介

(共23張PPT)
拓展拔高3　用構(gòu)造法解決函數(shù)問題
【高考考情】函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容,既可能在選擇、填空題中運用,也可能在解答題中出現(xiàn).
【解題關(guān)鍵】通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造新函數(shù),解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.
視角一　通過變量構(gòu)造具體函數(shù)
[例1](1)若0A.->ln x2-ln x1
B.-C.x2>x1
D.x2【解析】選C.構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-ln x,
所以f'(x)=ex-,且在(0,1)上有零點,
所以f(x)在(0,1)上有一個極值點,
所以f(x)在(0,1)上不單調(diào),無法判斷f(x1)與f(x2)的大小,故A,B錯誤;
令g(x)=,所以g'(x)=<0,
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
又因為x2>x1>0,
所以>,即x2>x1.
(2)(2023·石家莊模擬)若ln x-ln y<-(x>1,y>1),則(　　)
A.ey-x>1 B.ey-x<1
C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1
【解析】選A.依題意,ln x-令f(t)=t-(t≠0),
則f'(t)=1+>0,
所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增;
又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0,
因為f(ln x)所以10,
所以ey-x>e0=1,A正確,B不正確;
又無法確定y-x-1與0的大小關(guān)系,故C,D不正確.
思維升華
若題目所給的條件含有兩個變量,可通過變形使兩個變量分別置于等號或不等號兩邊,即可構(gòu)造函數(shù),并且利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
視角二　利用導(dǎo)數(shù)的運算法則構(gòu)造函數(shù)
微切口1　利用f(x)與xn構(gòu)造函數(shù)
[例2]設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1)=0,當(dāng)x<0時,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,
則不等式f(x)>0的解集為________________.
(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】構(gòu)造F(x)=,
則F'(x)=,
當(dāng)x<0時,xf'(x)-f(x)>0,可以推出
當(dāng)x<0時,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.
因為f(x)為偶函數(shù),所以F(x)為奇函數(shù),
所以F(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞增.
根據(jù)f(1)=0可得F(1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象(圖略),根據(jù)圖象可知f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).
思維升華
(1)出現(xiàn)nf(x)+xf'(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);
(2)出現(xiàn)xf'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
微切口2　利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)
[例3](2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,
則f(x)>3的解集為________.
(3,+∞)
【解析】設(shè)F(x)=f(x)·ex,
則F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上單調(diào)遞增.
又f(3)=3,則F(3)=f(3)·e3=3e3.
因為f(x)>3e3-x等價于f(x)·ex>3e3,
即F(x)>F(3),
所以x>3,即所求不等式的解集為(3,+∞).
思維升華
(1)出現(xiàn)f'(x)+nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x);
(2)出現(xiàn)f'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
遷移應(yīng)用
已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2 022,則不等式f(x)+1>2 023ex的解集為(　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C. .(-∞,) D.(-∞,1)
【解析】選A.構(gòu)造函數(shù)F(x)=,
則F'(x)==,
因為f'(x)-f(x)<1,
所以F'(x)<0恒成立,
故F(x)=在R上單調(diào)遞減,f(x)+1>2 023ex可變形為>2 023,
又f(0)=2 022,所以F(0)==2 023,
所以F(x)>F(0),解得x<0.
微切口3　利用f(x)與sin x,cos x構(gòu)造函數(shù)
[例4](多選題)已知定義在(0,)上的函數(shù)f(x),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0成立,則(　　)
A. f()>f () B.f ()>f ()
C.f ()>f() D.f()>f()
【解析】選CD.令g(x)=,x∈(0,),
則g'(x)=,
又由x∈(0,),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,
則有g(shù)'(x)<0,即函數(shù)g(x)在(0,)上單調(diào)遞減.
由<,則有g(shù)()>g(),
即>,可得f()>f();
又由<,則有g(shù)()>g(),
即>,可得f()>f().
思維升華
函數(shù)f(x)與sin x,cos x相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式:
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
F(x)=,F'(x)=;
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
F(x)=,F'(x)=.
遷移應(yīng)用
已知偶函數(shù)f(x)的定義域為(-,),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)0f(x)sin x<0成立,則關(guān)于x的不等式f(x)<2f()cos x的解集為(　　)
A. (-,-)∪(,) 　 B. (-,)
C. (-,-) 　　 D. (,)
【解析】選A.因為偶函數(shù)f(x)的定義域為(-,),
所以設(shè)g(x)=,
則g(-x)==,
即g(x)也是偶函數(shù).當(dāng)0根據(jù)題意g'(x)=<0,
則g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,且為偶函數(shù),
則g(x)在(-,0)上單調(diào)遞增.
所以f(x)<2f()cos x < g(x)所以
解得x∈(-,-)∪(,).
謝謝觀賞！！拓展拔高3　用構(gòu)造法解決函數(shù)問題
【高考考情】函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容,既可能在選擇、填空題中運用,也可能在解答題中出現(xiàn).
【解題關(guān)鍵】通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造新函數(shù),解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.
視角一　通過變量構(gòu)造具體函數(shù)
[例1](1)若0A.->ln x2-ln x1
B.-C.x2>x1
D.x2【解析】選C.構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-ln x,
所以f'(x)=ex-,且在(0,1)上有零點,
所以f(x)在(0,1)上有一個極值點,
所以f(x)在(0,1)上不單調(diào),無法判斷f(x1)與f(x2)的大小,故A,B錯誤;
令g(x)=,所以g'(x)=<0,
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
又因為x2>x1>0,
所以>,即x2>x1.
(2)(2023·石家莊模擬)若ln x-ln y<-(x>1,y>1),則(　　)
A.ey-x>1 B.ey-x<1
C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1
【解析】選A.依題意,ln x-令f(t)=t-(t≠0),
則f'(t)=1+>0,
所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增;
又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0,
因為f(ln x)所以10,
所以ey-x>e0=1,A正確,B不正確;
又無法確定y-x-1與0的大小關(guān)系,故C,D不正確.
思維升華
若題目所給的條件含有兩個變量,可通過變形使兩個變量分別置于等號或不等號兩邊,即可構(gòu)造函數(shù),并且利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
視角二　利用導(dǎo)數(shù)的運算法則構(gòu)造函數(shù)
微切口1　利用f(x)與xn構(gòu)造函數(shù)
[例2]設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1)=0,當(dāng)x<0時,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,則不等式f(x)>0的解集為________.
【解析】構(gòu)造F(x)=,
則F'(x)=,
當(dāng)x<0時,xf'(x)-f(x)>0,可以推出
當(dāng)x<0時,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.
因為f(x)為偶函數(shù),所以F(x)為奇函數(shù),
所以F(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞增.
根據(jù)f(1)=0可得F(1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象(圖略),根據(jù)圖象可知f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
思維升華
(1)出現(xiàn)nf(x)+xf'(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);
(2)出現(xiàn)xf'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
微切口2　利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)
[例3](2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,則f(x)>3的解集為________.
【解析】設(shè)F(x)=f(x)·ex,
則F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上單調(diào)遞增.
又f(3)=3,則F(3)=f(3)·e3=3e3.
因為f(x)>3e3-x等價于f(x)·ex>3e3,
即F(x)>F(3),
所以x>3,即所求不等式的解集為(3,+∞).
答案:(3,+∞)
思維升華
(1)出現(xiàn)f'(x)+nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x);
(2)出現(xiàn)f'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
遷移應(yīng)用
已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2 022,則不等式f(x)+1>2 023ex的解集為(　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C. .(-∞,) D.(-∞,1)
【解析】選A.構(gòu)造函數(shù)F(x)=,
則F'(x)==,
因為f'(x)-f(x)<1,
所以F'(x)<0恒成立,
故F(x)=在R上單調(diào)遞減,f(x)+1>2 023ex可變形為>2 023,
又f(0)=2 022,所以F(0)==2 023,
所以F(x)>F(0),解得x<0.
微切口3　利用f(x)與sin x,cos x構(gòu)造函數(shù)
[例4](多選題)已知定義在(0,)上的函數(shù)f(x),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0成立,則(　　)
A. f()>f () B.f ()>f ()
C.f ()>f() D.f()>f()
【解析】選CD.令g(x)=,x∈(0,),
則g'(x)=,
又由x∈(0,),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,
則有g(shù)'(x)<0,即函數(shù)g(x)在(0,)上單調(diào)遞減.
由<,則有g(shù)()>g(),
即>,可得f()>f();
又由<,則有g(shù)()>g(),
即>,可得f()>f().
思維升華
函數(shù)f(x)與sin x,cos x相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式:
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
F(x)=,F'(x)=;
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
F(x)=,F'(x)=.
遷移應(yīng)用
已知偶函數(shù)f(x)的定義域為(-,),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)0A. (-,-)∪(,) 　 B. (-,)
C. (-,-) 　　 D. (,)
【解析】選A.因為偶函數(shù)f(x)的定義域為(-,),
所以設(shè)g(x)=,
則g(-x)==,
即g(x)也是偶函數(shù).當(dāng)0根據(jù)題意g'(x)=<0,
則g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,且為偶函數(shù),
則g(x)在(-,0)上單調(diào)遞增.
所以f(x)<2f()cos x < g(x)所以
解得x∈(-,-)∪(,).

展開更多......

收起↑