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第四章
曲線運動　萬有引力與宇宙航行
專題突破八　衛星(或天體)運動的“四類熱點”問題
1.理解三種宇宙速度,并會計算第一宇宙速度的大小。2.了解衛星的發射與變軌模型,會處理相關問題。3.掌握雙星和多星模型,會用動力學觀點解決相關問題。4.會分析衛星的“追及”問題。
1.宇宙速度。
(1)三種宇宙速度比較。
題型1　近地衛星、同步衛星和赤道上物體的運行比較
宇宙速度 數值(km/s) 意義
第一宇宙速度 7.9 地球衛星最小發射速度(環繞速度)
第二宇宙速度 11.2 物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度(脫離速度)
第三宇宙速度 16.7 物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度(逃逸速度)

2.同步衛星。
(1)軌道平面與赤道共面,且與地球自轉方向相同。
(2)周期與地球自轉周期相同,T=24 h。
(3)高度固定不變,h=3.6×107 m。
(4)運行速率均為3.1 km/s。
3.尋找相同點,巧妙比較各物理量。
(1)近地衛星與同步衛星的運行原理相同,均由萬有引力提供向心力,由于r近a同,v近>v同,ω近>ω同,T近(2)同步衛星與赤道上的物體周期(或角速度)相同,均等于地球自轉周期 (或角速度),由于r物(3)近地衛星和赤道上的物體的軌道半徑相同,但兩者的運行原理不同,前者由萬有引力提供向心力,后者由萬有引力的分力提供向心力。兩者的加速度、線速度、角速度、周期等物理量可通過同步衛星間接比較。
【典例1】　如圖所示,a為放在赤道上相對地球靜止的物體,隨地球自轉做勻速圓周運動,b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星(軌道半徑約等于地球半徑),c為地球的同步衛星。下列關于a、b、c的說法中正確的是(　　)
A.b衛星轉動線速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小
關系為aa>ab>ac
C.a、b、c做勻速圓周運動的周期關系為Tc>Tb>Ta
D.在b、c中,b的速度大

答案　D


答案　AD
1.衛星發射及變軌過程概述。
人造衛星的發射過程要經過多次變軌方可到達預定軌道,如圖所示。
(1)為了節省能量,在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道Ⅰ上。
(2)在A點點火加速,由于速度變大,萬有引力不足以提供向心力,衛星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。
(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。
題型2　衛星的發射和變軌

考向1　衛星變軌問題中各物理量的比較
【典例3】　北京時間2023年1月15日11時14分,中國在太原衛星發射中心使用“長征二號”丁運載火箭,以“一箭十四星”發射方式,成功將14顆衛星發射升空,所有衛星順利進入預定軌道。如圖所示,火箭運行至P點時同時釋放A、B兩顆衛星,并分別將它們送入預定橢圓軌道1(A衛星)和橢圓軌道2(B衛星)。P點為橢圓軌道的近地點,B衛星在遠地點Q處進行姿態調整并變軌到圓軌道3上運動,下列說法正確的是(　　)
A.兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時的加速度大小關系為aA>aB
B.兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時的速度大小關系為vA>vB
C.變軌前,B衛星在P點的機械能等于在Q點的機械能
D.B衛星在P點的動能小于其在軌道3上Q點的動能


答案　C
考向2　衛星對接問題
【典例4】　2022年11月30日清晨,“神舟十五號”載人飛船和空間站組合體實現對接,“神舟十五號”航天員乘組與“神舟十四號”航天員乘組相聚在中國人的“太空家園”,開啟中國空間站長期有人駐留時代。假設空間站與“神舟十五號”都圍繞地球做勻速圓周運動,為了實現飛船與空間站的對接,下列措施可行的是(　　)
A.使飛船與空間站在同一軌道上運行,然后飛船加速追上空間站實現對接
B.使飛船與空間站在同一軌道上運行,然后空間站減速等待飛船實現對接
C.飛船先在比空間站半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間站,兩者速度接近時實現對接
D.飛船先在比空間站半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近空間站,兩者速度接近時實現對接
解析　在同一軌道上運行時,加速做離心運動,減速做向心運動,均不能實現對接,A、B兩項錯誤;飛船先在比空間站半徑小的軌道上加速會做離心運動逐漸靠近空間站,兩者速度接近時實現對接,C項正確;飛船先在比空間站半徑小的軌道上減速會做向心運動,不可能與空間站實現對接,
D項錯誤。
答案　C
兩類變軌情況分析
兩類 變軌 離心運動 近心運動
變軌 起因 飛行器速度突然增大 飛行器速度突然減小
受力 分析
變軌 結果 變為橢圓軌道運動或在較大半徑圓軌道上運動 變為橢圓軌道運動或在較小半徑圓軌道上運動
1.雙星模型。
(1)定義:繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統,我們稱之為雙星系統,如圖所示。
題型3　雙星和多星模型


2.多星模型。
(1)定義:所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力,除中央星體外,各星體的角速度或周期相同。
(2)三星模型。
①三顆星體位于同一直線上,兩顆質量相等的環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。
②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。
(3)四星模型。
一種是四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上,沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。
另一種是三顆質量相等的星體位于正三角形的三個頂點上,另一顆位于中心O,外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)。
考向1　雙星模型
【典例5】　(多選)經長期觀測,人們在宇宙中已經發現了“雙星系統”, “雙星系統”由兩顆相距較近的恒星組成,每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離,而且雙星系統一般遠離其他天體。如圖所示,甲、乙兩顆星球組成的雙星,在相互之間的萬有引力作用下,繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動。現測得兩顆星之間的距離為L,甲的公轉周期為T,引力常量為G。甲、乙的質量分別為m1、m2,甲、乙各自做圓周運動的軌道半徑之比為r1∶r2=2∶3,則可知(　　)


答案　CD
用好雙星模型中的“三同”,輕松解題
(1)雙星做圓周運動的圓心相同。
(2)雙星做圓周運動的周期(或角速度)相同。
(3)雙星做圓周運動的向心力大小相同,均等于彼此相互作用的萬有引力。
考向2　多星模型
【典例6】　 (多選)如圖所示,質量相等的三顆星組成三星系統,其他星體對它們的引力作用可忽略。設每顆星體的質量均為m,三顆星分別位于邊長為r的等邊三角形的三個頂點上,它們繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內以相同的角速度做勻速圓周運動。已知引力常量為G,下列說法正確的是(　　)



答案　BC

題型4　衛星的“追及”問題



答案　B

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