資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十一章 三角形
專題11.1 與三角形有關的線段
課節學習目標
1.認識三角形并會用幾何語言表示三角形，了解三角形分類.
2.掌握三角形的三邊關系. 運用三角形三邊關系解決有關的問題.
3. 掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.
4. 掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.
5. 掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.
6. 了解三角形的穩定性和四邊形不穩定性在實際生活中的應用.
課節知識點解讀
知識點1.三角形的概念及組成要素
1.三角形概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三角形的組成要素：如下圖，
邊：三條，分別為線段AB、BC、CA；
頂點：三個，點A、B、C為三角形的三個頂點；
角：三個，分別為∠A、∠B、∠C．∠A，∠B，∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的頂角，簡稱三角形的角.
頂點：定點是A，B，C的三角形記作：△ABC，讀作：三角形ABC．
知識點2. 三角形的分類
（1）按照角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。
（2）按照邊分類有不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形）
知識點3. 三角形三邊的關系
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.
推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.
數學語言：
在如圖所示ΔABC中，三角形任意兩邊的和大于第三邊.即：
在如圖所示ΔABC中，三角形任意兩邊的差小于第三邊.即：
AC-BC＜AB
AB-BC＜AC
AC-AB＜BC
注意：在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．
知識點4. 三角形的高、中線與角平分線
1．三角形的高。從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°或AD⊥BC.
（1）三角形的高是線段；
（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三條高：
(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內部，三條高的交點也在三角形內部；
(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.
2．三角形的中線。三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中線是線段；
(2)三角形三條中線全在三角形內部；
(3)三角形三條中線交于三角形內部一點，這一點叫三角形的重心；
(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
3．三角形的角平分線。三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分線是線段；
（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部；
（3）三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心；
（4）可以用量角器或圓規畫三角形的角平分線.
知識點5. 三角形的穩定性
1. 三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。用三根木棒釘一個三角形，你會發現再也無法改變這個三角形的形狀和大小，也就是說，如果一個三角形的三條邊固定了，那么三角形的形狀和大小就完全確定了.在數學上把三角形的這個性質叫做三角形的穩定性.
2. 四邊形不具有穩定性，人們往往通過改造，將其變成三角形從而增強其穩定性.
如圖，在四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后再扭動它，這時木架的形狀不會改變。
課節知識點例題講析
【例題1】如圖，圖中三角形的個數有 （　　）
A．6個 B．8個 C．10個 D．12個
【例題2】若，則以、為邊長的等腰三角形的周長為______．
【例題3】三角形的兩邊長分別為和，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（ ）
A． B． C． D．
【例題4】在△ABC中，畫邊BC上的高，正確的是（　　）
A B C D
【例題5】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊上的中線，則△ABD與△ACD的周長之差
為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例題6】下列圖形中，具有穩定性的是（ ）
A B C D
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 下列長度的三條線段能首尾相接構成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2. 平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能
是（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
3．如圖，在中，邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知中，，中線把分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差是，則的長是________．
6．下列物品不是利用三角形穩定性的是（ ）
A．自行車的三角形車架 B．三角形房架
C．高架橋的三角形結構 D．伸縮晾衣架
7．如圖，工具房有一個方形框架，小華發現它很容易變形，以下加固方案最好的是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構成的幾個連續的菱形（四條邊都相等），每一個頂點處都有一個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？
9. 已知a，b，c是的三邊長，若，，且的周長不超過，求a范圍．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十一章 三角形
專題11.1 與三角形有關的線段
課節學習目標
1.認識三角形并會用幾何語言表示三角形，了解三角形分類.
2.掌握三角形的三邊關系. 運用三角形三邊關系解決有關的問題.
3. 掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.
4. 掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.
5. 掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.
6. 了解三角形的穩定性和四邊形不穩定性在實際生活中的應用.
課節知識點解讀
知識點1.三角形的概念及組成要素
1.三角形概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三角形的組成要素：如下圖，
邊：三條，分別為線段AB、BC、CA；
頂點：三個，點A、B、C為三角形的三個頂點；
角：三個，分別為∠A、∠B、∠C．∠A，∠B，∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的頂角，簡稱三角形的角.
頂點：定點是A，B，C的三角形記作：△ABC，讀作：三角形ABC．
知識點2. 三角形的分類
（1）按照角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。
（2）按照邊分類有不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形）
知識點3. 三角形三邊的關系
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.
推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.
數學語言：
在如圖所示ΔABC中，三角形任意兩邊的和大于第三邊.即：
在如圖所示ΔABC中，三角形任意兩邊的差小于第三邊.即：
AC-BC＜AB
AB-BC＜AC
AC-AB＜BC
注意：在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．
知識點4. 三角形的高、中線與角平分線
1．三角形的高。從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°或AD⊥BC.
（1）三角形的高是線段；
（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三條高：
(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內部，三條高的交點也在三角形內部；
(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.
2．三角形的中線。三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中線是線段；
(2)三角形三條中線全在三角形內部；
(3)三角形三條中線交于三角形內部一點，這一點叫三角形的重心；
(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
3．三角形的角平分線。三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分線是線段；
（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部；
（3）三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心；
（4）可以用量角器或圓規畫三角形的角平分線.
知識點5. 三角形的穩定性
1. 三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。用三根木棒釘一個三角形，你會發現再也無法改變這個三角形的形狀和大小，也就是說，如果一個三角形的三條邊固定了，那么三角形的形狀和大小就完全確定了.在數學上把三角形的這個性質叫做三角形的穩定性.
2. 四邊形不具有穩定性，人們往往通過改造，將其變成三角形從而增強其穩定性.
如圖，在四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后再扭動它，這時木架的形狀不會改變。
課節知識點例題講析
【例題1】如圖，圖中三角形的個數有 （　　）
A．6個 B．8個 C．10個 D．12個
【答案】B
【解析】以O為一個頂點的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O為頂點的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD. 共有8個．故選B.
【例題2】若，則以、為邊長的等腰三角形的周長為______．
【答案】17
【解析】先根據非負數的性質列式求出a、b的值，再分情況討論求解即可．
∵，∴a－3=0，7－b =0，解得a=3，b=7
①若a=3是腰長，則底邊為7，三角形的三邊分別為3、3、7，
∵3+3＜7，∴3、3、7不能組成三角形。
②若b=7是腰長，則底邊為3，三角形的三邊分別為7、7、3，能組成三角形，周長=7+7+3=17.
∴以、為邊長的等腰三角形的周長為17.
【點睛】考查等腰三角形的性質，非負數的性質，以及三角形的三邊關系，難點在于要討論求解．
【例題3】三角形的兩邊長分別為和，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據三角形的三邊關系可得10 6設三角形的第三邊為xcm，由題意可得：
10 6即4故選：D．
【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊差小于第三邊．
【例題4】在△ABC中，畫邊BC上的高，正確的是（　　）
A B C D
【答案】A
【解析】A．此圖形中AD是BC邊上的高，符合題意；
B．此圖形中CE不是BC邊上的高，不符合題意；
C．此圖形中BE是AC邊上的高，不符合題意；
D．此圖形中BG是△BCG中BC邊上的高，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查三角形高的畫法，解題關鍵在理解底與高的對應關系，作鈍角三角形的高是易錯點．
【例題5】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊上的中線，則△ABD與△ACD的周長之差
為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】根據題意，AD是△ABC的邊BC上的中線，可得BD=CD，進而得出△ABD的周長=AB+BD+AD，△ACD的周長=AC+CD+AD，相減即可得到周長差．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∴△ABD與△ACD的周長之差為：
（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）
=AB+BD+AD-AC-CD-AD
=AB-AC=5-3=2；
故選：A．
【點睛】主要考查三角形的中線、高和三角形周長的求法，熟練掌握三角形周長公式是解題的關鍵．
【例題6】下列圖形中，具有穩定性的是（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】首先觀察圖A，B，都是四邊形，由四邊形是否具有穩定性，解答即可；對于圖C，是由三角形構成的，根據三角形是否具有穩定性解答；對于圖D，是由三角形和四邊形組成的，根據三角形和四邊形的特性解答．
A．因為四邊形不具有穩定性，所以本選項不符合題意；
B．因為四邊形不具有穩定性，所以本選項不符合題意；
C．因為三角形具有穩定性，所以C符合題意；
D．因為四邊形不具有穩定性，所以D不符合題意．故選：C．
【點睛】本題主要考查了三角形的特性，“三角形具有穩定性”在生活實際中有很重要的應用．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 下列長度的三條線段能首尾相接構成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．
根據三角形的三邊關系，知
A、1+2＝3，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；
B、3+4＞5，能夠組成三角形，故選項正確，符合題意；
C、5+4＜10，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；
D、2+6＜9，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題考查了三角形的三邊關系．解題的關鍵是看較小的兩個數的和是否大于第三個數．
2. 平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能
是（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】如圖，設這個凸五邊形為，連接，并設，先在和中，根據三角形的三邊關系定理可得，，從而可得，，再在中，根據三角形的三邊關系定理可得，從而可得，由此即可得出答案．
如圖，設這個凸五邊形為，連接，并設，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理，通過作輔助線，構造三個三角形是解題關鍵．
3．如圖，在中，邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據三角形高的定義是從一個頂點到它對邊的垂線段即可判斷．
根據三角形的高的定義，在△ABC中，BC邊上的高應是過點A垂直于BC的線段，
從圖中可以看出，過點A垂直于BC的線段是AE，所以AE是BC邊上的高．故選：C．
【點睛】考查了三角形高的定義，熟練掌握三角形的高概念，仔細觀察圖形中符合定義的線段即可．
4．如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據三角形的高線，角平分線和中線解答即可；
A．∵是的中線
∴，
故選項正確，不符合題意；
B．∵是的角平分線
∴
故選項正確，不符合題意；
C．∵分別是的高，
∴
故選項正確，不符合題意；
D．不一定成立，故選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【點睛】此題考查三角形的高線，角平分線和中線，關鍵是根據三角形的高線，角平分線和中線的定義進行判斷即可．
5．已知中，，中線把分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差是，則的長是________．
【答案】42cm或18cm
【解析】先根據三角形中線的定義可得BD=CD，再求出AD把△ABC周長分為的兩部分的差等于|AB-AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC兩種情況分別列式計算即可得解．
∵AD是△ABC中線，
∴BD=CD．
∵AD是兩個三角形的公共邊，兩個三角形的周長差是12cm，
∴如果AB＞AC，那么AB-AC=12cm，即AB-30=12cm
∴AB=42cm；
如果AB＜AC，那么AC-AB=12cm，即30-AB=12cm
AB=18cm．
綜上所述：AB的長為42cm或18cm．
故答案為：42cm或18cm．
【點睛】考查了三角形的中線，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．
6．下列物品不是利用三角形穩定性的是（ ）
A．自行車的三角形車架 B．三角形房架
C．高架橋的三角形結構 D．伸縮晾衣架
【答案】D
【解析】利用三角形的穩定性進行解答．
由四邊形組成的伸縮衣架是利用了四邊形的不穩定性，
而A、B、C選項都是利用了三角形的穩定性，故選D．
【點睛】本題考查了三角形的穩定性，當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩定性．
7．如圖，工具房有一個方形框架，小華發現它很容易變形，以下加固方案最好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據三角形的穩定性即可解答．
根據三角形的穩定性可得D是最好的加固方案．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了三角形的穩定性，解題的關鍵是當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩定性．
8．如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構成的幾個連續的菱形（四條邊都相等），每一個頂點處都有一個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？
【答案】見解析
【解析】根據題意運用四邊形的不穩定性和三角形的穩定性來回答問題即可．
這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩定性，可以根據需要改變掛鉤間的距離．它的固定方法是：任選兩個不在同一木條上的頂點固定就行了．
【點睛】本題考查了四邊形的不穩定性，要使物體具有穩定性，應做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等，理解題意是解題的關鍵．
9. 已知a，b，c是的三邊長，若，，且的周長不超過，求a范圍．
【答案】3＜a≤4
【解析】根據三邊關系以及題意得到關于a的不等式組，解不等式組得出a的取值．
根據三角形三邊關系和題意得，
∵，，
∴
解得3＜a≤4．
【點睛】此題考查三角形的三邊關系，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．
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