資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十一章 三角形
專題11.2 與三角形有關的角
課節學習目標
1.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°；會運用三角形內角和定理進行計算；
2.了解直角三角形兩個銳角的關系；掌握直角三角形的判定；會運用直角三角形的性質和判定進行相關計算；
3.理解并掌握三角形的外角的概念；能夠在能夠復雜圖形中找出外角；
4.掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和及三角形的內角和；會利用三角形的外角性質解決問題。
課節知識點解讀
知識點1. 三角形的內角和定理
1. 三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180°.
數學語言：如圖，已知△ABC.則∠A+∠B+∠C=180°
2．三角形內角和定理的證明
已知：△ABC.
求證：∠A+∠B+∠C=180°
證法1：過點A作l∥BC，如圖所示
∴∠B=∠1.(兩直線平行,內錯角相等)
∠C=∠2.(兩直線平行,內錯角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，如圖所示
∴ ∠A=∠1 .(兩直線平行，內錯角相等)
∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.如圖所示
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內角相補)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
數學思想總結：借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.為了證明三個角的和為180°,轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法。
注意：在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。
知識點2.直角三角形的性質與判定
1.性質：直角三角形兩銳角互余。
在Rt△ABC中，因為 ∠C=90°，由三角形內角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°,即∠A +∠B=90°.
注意：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以寫成Rt△ABC ．
2.判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形
在△ABC中，因為 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
知識點3. 三角形的外角及其性質
1. 定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角的特點：
①頂點在三角形的一個頂點上。
②一條邊是三角形的一條邊。
③另一條邊是三角形的某條邊的延長線。
注意：每一個三角形都有6個外角．每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.
2．三角形外角的性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角的和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角．
已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.
證明：過C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（兩直線平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
3. 三角形的外角和
如圖， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？
由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
結論：三角形的三個外角和等于360°.
課節知識點例題講析
【例題1】證明三角形的內角和等于180°
【例題2】在中，，則為（ ）三角形．
A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰
【例題3】定理：三角形的內角和等于．
已知：的三個內角為，，．
求證：．
證法1 證法2
如圖1，延長到點，則（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）．∵（平角的定義），∴（等量代換）． 如圖2，過點作，∵，（兩直線平行，內錯角相等），（兩直線平行，內錯角相等），又∵（平角定義），∴（等量代換）．
下列說法正確的是（ ）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理
B．證法1用合理的推理證明了該定理
C．證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整
D．證法2用嚴謹的推理證明了該定理
【例題4】如圖，在中，，延長BA到D，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．有下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能確定△ABC是直角三角形的條件有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2. 已知直線，將含30°角的直角三角板按圖所示擺放．若，則（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
3．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，則∠B＝________．
4．如圖所示，，則______°．
5．如圖，在四邊形ABCD中，，則∠D的度數為（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
6．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D為BC邊上的一點，E點在AC邊上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，則∠CDE=（ ）
A． B． C． D．
7．在白色垃圾清理活動中，小霞同學從B點出發，沿北偏西20°方向到達C地，已知，此時營地A在C的（ ）
A．北偏東20°方向上 B．北偏東70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
8．在中，，比大則______．
9. 如圖，已知，點E在線段AD上（不與點A，點D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
10. 如圖， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個外角，求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 °
11．如圖，在中，，垂足為點，，，求的度數．
12．如圖，已知在中，，AE是BC邊上的高，AD是的角平分線，求的度數．
13.如圖，已知是的一個外角．請用尺規作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
14. 如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？
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第十一章 三角形
專題11.2 與三角形有關的角
課節學習目標
1.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°；會運用三角形內角和定理進行計算；
2.了解直角三角形兩個銳角的關系；掌握直角三角形的判定；會運用直角三角形的性質和判定進行相關計算；
3.理解并掌握三角形的外角的概念；能夠在能夠復雜圖形中找出外角；
4.掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和及三角形的內角和；會利用三角形的外角性質解決問題。
課節知識點解讀
知識點1. 三角形的內角和定理
1. 三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180°.
數學語言：如圖，已知△ABC.則∠A+∠B+∠C=180°
2．三角形內角和定理的證明
已知：△ABC.
求證：∠A+∠B+∠C=180°
證法1：過點A作l∥BC，如圖所示
∴∠B=∠1.(兩直線平行,內錯角相等)
∠C=∠2.(兩直線平行,內錯角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，如圖所示
∴ ∠A=∠1 .(兩直線平行，內錯角相等)
∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.如圖所示
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內角相補)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
數學思想總結：借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.為了證明三個角的和為180°,轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法。
注意：在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。
知識點2.直角三角形的性質與判定
1.性質：直角三角形兩銳角互余。
在Rt△ABC中，因為 ∠C=90°，由三角形內角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°,即∠A +∠B=90°.
注意：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以寫成Rt△ABC ．
2.判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形
在△ABC中，因為 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
知識點3. 三角形的外角及其性質
1. 定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角的特點：
①頂點在三角形的一個頂點上。
②一條邊是三角形的一條邊。
③另一條邊是三角形的某條邊的延長線。
注意：每一個三角形都有6個外角．每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.
2．三角形外角的性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角的和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角．
已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.
證明：過C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（兩直線平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
3. 三角形的外角和
如圖， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？
由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
結論：三角形的三個外角和等于360°.
課節知識點例題講析
【例題1】證明三角形的內角和等于180°
【答案】見解析
【解析】如圖（1）已知：△ABC, 求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
證明：延長BC到D,過點C作CE∥AB .
∵CE∥AB (已知)
∴∠2＝∠B （兩直線平行，同位角相等）
∠1＝∠A （兩直線平行，內錯角相等）
又∵∠1＋∠2＋∠3＝180° （平角定義）
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）
【例題2】在中，，則為（ ）三角形．
A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰
【答案】B
【解析】根據分別設出三個角的度數，再根據三角形的內角和為180°列出一個方程，解此方程即可得出答案．
∵
∴可設∠A=x，∠B=2x，∠C=3x
根據三角形的內角和可得：x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
因此△ABC是直角三角形
故答案選擇B．
【點睛】本題主要考查的是三角形的基本概念與三角形內角和定理．
【例題3】定理：三角形的內角和等于．
已知：的三個內角為，，．
求證：．
證法1 證法2
如圖1，延長到點，則（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）．∵（平角的定義），∴（等量代換）． 如圖2，過點作，∵，（兩直線平行，內錯角相等），（兩直線平行，內錯角相等），又∵（平角定義），∴（等量代換）．
下列說法正確的是（ ）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理
B．證法1用合理的推理證明了該定理
C．證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整
D．證法2用嚴謹的推理證明了該定理
【答案】D
【解析】根據三角形內角和定理證明的常見思路去判斷即可．
三角形外角和性質是建立在三角形內角和定理的基礎上的，不能循環證明，
故A、B都不符合題意；
證法2用嚴謹的推理證明了該定理，故不需要分三角形的形狀，
故C不符合題意；D符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理的證明，熟練掌握嚴謹的定理證明是解題的關鍵．
【例題4】如圖，在中，，延長BA到D，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角形的外角性質即可得出結果．
由三角形的外角性質得：
∠CAD=∠B+∠C=40°+20°=60°；
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質；熟記三角形的外角性質是解決問題的關鍵．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．有下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能確定△ABC是直角三角形的條件有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解析】根據直角三角形的判定，對各個條件進行分析，從而得到答案．
A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確；
B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，則∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確；
C、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確；
D、設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確．
故選：D ．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．
2. 已知直線，將含30°角的直角三角板按圖所示擺放．若，則（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
【答案】D
【解析】根據平行線的性質可得∠3=∠1=120°，再由對頂角相等可得∠4=∠3=120°，然后根據三角形外角的性質，即可求解．如圖，
根據題意得：∠5=30°，
∵，
∴∠3=∠1=120°，
∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，
∴∠2=120°+30°=150°．
故選：D
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，對頂角相等，三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質，對頂角相等，三角形外角的性質是解題的關鍵．
3．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，則∠B＝________．
【答案】48°##48度
【解析】先根據三角形的內角和定理，可得180°+2∠C+∠C= 180°，據此求出∠C的度數，進而可求出∠B的度數．
∵∠A= 108°，∠B= 2∠C，
∴108°十2∠C +∠C= 180°，
∴∠C=24°，
∴∠B=2∠C=2×24°=48°，
故答案為：48°
【點睛】此題主要考查了三角形的內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的內角和是180°，并能求出每個內角的度數是多少．
4．如圖所示，，則______°．
【答案】200
【解析】根據三角形內角和定理和對頂角相等即可解答．
如圖，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案為200．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理．掌握三角形的三個內角的和為是解題關鍵．
5．如圖，在四邊形ABCD中，，則∠D的度數為（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
【答案】C
【解析】連接BD，根據三角形外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，將∠1、∠3替換為四邊形的內和，再利用即可求出∠D．
連接BD，如圖
∴，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴
故選 ：C．
【點睛】本題考查了三角形的外角，熟練運用三角形外角的性質將外角轉換為內角是解題的關鍵．
6．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D為BC邊上的一點，E點在AC邊上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，則∠CDE=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根據三角形外角的性質得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，∠AED=∠C+∠EDC，再根據∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出結論．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC=∠B+28°-∠EDC，
解得∠EDC=14°．
故選：A．
【點睛】本題考查的是三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．
7．在白色垃圾清理活動中，小霞同學從B點出發，沿北偏西20°方向到達C地，已知，此時營地A在C的（ ）
A．北偏東20°方向上 B．北偏東70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
【答案】C
【解析】過點C作CH∥BE，CG∥AF，根據兩直線平行，內錯角相等，再根據三角形的內角和進行解答即可．
【詳解】過點C作CH∥BE，CG∥AF，
由題意點C在點B的北偏西20°方向，
∴∠CBE=20°，
∵CH∥BE，
∴∠HCB=∠CBE=20°，
∵∠ACB=70°，
∴∠ACH=70°-20°=50°，
∴點A在點C的南偏西50°方向．
故選：C．
【點睛】本題考查的是方向角的概念，從運動的角度，根據方位角的度數，再結合三角形的內角和與平行線的性質求解是解答此題的關鍵．
8．在中，，比大則______．
【答案】35°
【解析】根據直角三角形兩銳角互余可得，然后解方程組即可．
，
，
比大，
，
得，，
．
故答案為．
【點睛】本題考查了三角形的內角和，直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質并列出關于、的兩個方程是解題的關鍵．
9. 如圖，已知，點E在線段AD上（不與點A，點D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【答案】C
【解析】根據三角形外角的性質、平行線的性質進行求解即可；
∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，故選：C．
【點睛】本題主要考查三角形外角的性質、平行線的性質，掌握相關性質并靈活應用是解題的關鍵．
10. 如圖， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個外角，求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 °
【答案】見解析
【解析】證明：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
11．如圖，在中，，垂足為點，，，求的度數．
【答案】
【解析】根據垂直的定義和三角形內角和定理計算即可．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，掌握三角形的內角和等于180°是解題的關鍵．
12．如圖，已知在中，，AE是BC邊上的高，AD是的角平分線，求的度數．
【答案】10°
【解析】先根據三角形內角和定理求出∠BAC，再根據角平分線的定義求出∠BAD，根據直角三角形兩銳角互余求出∠BAE的度數即可得到答案．
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴，
∵AE是BC邊上的高，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=60°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，熟知相關知識是解題的關鍵．
13.如圖，已知是的一個外角．請用尺規作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【解析】作的角平分線即可．
如圖，射線即為所求作．
【點睛】考查角平分線、三角形外角的性質、平行線的判定，解題的關鍵是掌握平行線的判定定理．
14. 如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？
【答案】見解析
【解析】△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
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