資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數(shù)學八年級上冊學講練測講義
第十一章 三角形
專題11.3 多邊形及其內(nèi)角和
課節(jié)學習目標
1．掌握多邊形的定義及其有關概念，理解正多邊形及其相關概念；
2．正確區(qū)分凹多邊形和凸多邊形；
3．理解多邊形的對角線的概念，探索一個多邊形能畫幾條對角線；
4．理解多邊形內(nèi)角和公式的推導過程，并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；
5．靈活運用多邊形的內(nèi)角和與外角和定理解決有關問題。
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 多邊形的概念及其組成元素
多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線是組成多邊形的關鍵元素.
1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
2.多邊形的內(nèi)角的定義：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。
3.多邊形的外角的定義：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
4.多邊形的對角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
5.正多邊形的定義：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
知識點2. 與多邊形有關的規(guī)律
1.從n邊形的一個頂點出發(fā)，能引出(n﹣3)條對角線；
2.經(jīng)過n邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成(n﹣2)個三角形；
3. n邊形共有對角線(n≥3)條．
4．性質(zhì)：多邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°；多邊形的外角和等于360°.
5．多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關系：
(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.
(2)多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無關.
(3)正n邊形：正n邊形的內(nèi)角的度數(shù)為，外角的度數(shù)為.
課節(jié)知識點例題講析
【例題1】如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】A
【解析】根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．顯然只有第一個、第二個、第五個符合題意．故選A．
【例題2】一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，則這個多邊形為（ ）
A．九邊形 B．十邊形 C．十一邊形 D．十二邊形
【答案】D
【解析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式“”進行計算，即可得．
由題意得，
，
故選D．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式．
【例題3】下列哪一個角度可以作為一個多邊形的內(nèi)角和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用多邊形的內(nèi)角和公式逐個選項進行分析即可作出判斷．
∵多邊形內(nèi)角和公式為，
∴多邊形內(nèi)角和一定是180的倍數(shù)．
∵1980°=11×180°，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式，在解題時要記住多邊形內(nèi)角和公式，并加以應用即可解決問題．
【例題4】在一個各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個內(nèi)角都比相鄰外角的倍還大．
（1）求這個多邊形的邊數(shù)；
（2）若將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080 或1260 或1440 ．
【解析】【分析】
（1）設多邊形的一個外角為，則與其相鄰的內(nèi)角等于，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多邊形的外角和為，求出此多邊形的邊數(shù)為；
（2）剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求出答案．
【詳解】（1）設每一個外角為，則與其相鄰的內(nèi)角等于，
，
，即多邊形的每個外角為，
∵多邊形的外角和為，
∴多邊形的外角個數(shù)為：，
∴這個多邊形的邊數(shù)為；
（2）因為剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，
①若剪去一角后邊數(shù)減少1條，即變成邊形，
內(nèi)角和為，
②若剪去一角后邊數(shù)不變，即變成邊形，
內(nèi)角和為，
③若剪去一角后邊數(shù)增加1，即變成邊形，
內(nèi)角和為，
∴將這個多邊形剪去一個角后，剩下多邊形的內(nèi)角和為或或 ．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，多邊形內(nèi)角與外角的關系，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1．若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【解析】實際畫圖，動手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個角后得到．
如圖，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．
故選C
【點睛】本題考查的是截去一個多邊形的一個角，解此類問題的關鍵是要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．
2.一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（　　）
A. 七邊形 B. 八邊形 C. 九邊形 D. 十邊形
【答案】A
【解析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2） 180°，列出方程即可求解．
根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得
（n﹣2） 180°=900°，
解得n=7，
∴這個多邊形的邊數(shù)是7，故選：A．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．
3．如果過一個多邊形的一個頂點的對角線有5條，則該多邊形是（ ）
A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形
【答案】B
【解析】根據(jù)邊形一個頂點的對角線為計算求解即可．
由題意知
解得
故選B．
【點睛】本題考查了多邊形的對角線．解題的關鍵在于熟練掌握多邊形的對角線．
4. 剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5 張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為________．
【答案】6
【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和進行即可求解．
根據(jù)題意用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次，所有的多邊形的內(nèi)角和增加360°，
10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5 張四邊形紙片，設還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為，
，
解得．故答案為：．
【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，理解題意是解題的關鍵．
5．一個四邊形它有_____條邊，有_____個內(nèi)角，有______個外角，從一個頂點出發(fā)可以引______條對角線，一共可以畫______條對角線.
【答案】 4 4 4 1 2
【解析】根據(jù)四邊形的定義得一個四邊形它有4條邊，有4個內(nèi)角，有4個外角，從一個頂點出發(fā)可以引4-3=1條對角線，一共可以畫=2條對角線.
6．把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是_______邊形.
【答案】三、四、五
【解析】當剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是四邊形或三角形或五邊形.
7．從邊形的一個頂點出發(fā)，連接其余各頂點，可以將這個邊形分割成17個三角形，則＝______．
【答案】19
【解析】根據(jù)從n邊形的一個頂點出發(fā)，連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成（n-2）個三角形的規(guī)律作答．
∵一個多邊形從一個頂點出發(fā)，連接其余各頂點，可以把多邊形分成(n-2)個三角形，
∴-2=17，
∴．
【點睛】本題主要考查多邊形的性質(zhì)，解題關鍵是熟記多邊形頂點數(shù)與分割成的三角形個數(shù)的關系．
8．一個多邊形減去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形的邊數(shù)不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出減去一個角后的多邊形的邊數(shù)即可判斷．
由題意得，
，解得，
由于減去一個角后邊數(shù)為6，則這個多邊形不可能為四邊形，
故選A．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形的邊數(shù)與內(nèi)家和的關系是解題的關鍵．
9. 已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是______邊形．
【答案】5
【解析】設這個多邊形是n邊形，由題意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
10．如果過多邊形的一個頂點共有3條對角線，那么這個多邊形的內(nèi)角和是______度．
【答案】720
【解析】根據(jù)過多邊形的一個頂點共有3條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)是6，n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2） 180°，代入公式就可以求出內(nèi)角和．
∵過多邊形的一個頂點共有3條對角線，
∴該多邊形邊數(shù)為6，
∴（6-2） 180°=720°，
∴這個多邊形的內(nèi)角和為720°，
故答案為：720．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，多邊形的對角線，解題的關鍵是掌握多邊形對角線規(guī)律．
11．在五邊形中，，，，則的度數(shù)是______．
【答案】##142度
【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得根據(jù)，可得，根據(jù)，以及五邊形的內(nèi)角和為，即可求解．
，
，
，
五邊形的內(nèi)角和為，，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，多邊形的內(nèi)角和，掌握以上知識是解題的關鍵．
12. （2023湖南永州）下列多邊形中，內(nèi)角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)n邊形內(nèi)角和公式分別求解后，即可得到答案
A．三角形內(nèi)角和是，故選項不符合題意；
B．四邊形內(nèi)角和為，故選項符合題意；
C．五邊形內(nèi)角和為，故選項不符合題意；
D．六邊形內(nèi)角和為，故選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了n邊形內(nèi)角和，熟記n邊形內(nèi)角和公式是解題的關鍵．
13．已知正多邊形的周長為56，從其一個頂點出發(fā)共有4條對角線，求這個正多邊形的邊長．
【答案】這個多邊形的邊長為 8．
【解析】根據(jù)從一個頂點出發(fā)共有 4 條對角線，求出這是正七邊形即可求出邊長.
∵過多邊形的一個頂點共有 4 條對角線， 故該多邊形邊數(shù)為 4+3＝7，
設這個正方形的邊長為 x， 則 7x＝56，
解得：x＝8
∴這個多邊形的邊長為 8．
【點睛】本題考查了正n邊形的對角線和周長,屬于簡單題,熟悉正多邊形對角線的求法是解題關鍵.
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第十一章 三角形
專題11.3 多邊形及其內(nèi)角和
課節(jié)學習目標
1．掌握多邊形的定義及其有關概念，理解正多邊形及其相關概念；
2．正確區(qū)分凹多邊形和凸多邊形；
3．理解多邊形的對角線的概念，探索一個多邊形能畫幾條對角線；
4．理解多邊形內(nèi)角和公式的推導過程，并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；
5．靈活運用多邊形的內(nèi)角和與外角和定理解決有關問題。
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 多邊形的概念及其組成元素
多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線是組成多邊形的關鍵元素.
1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
2.多邊形的內(nèi)角的定義：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。
3.多邊形的外角的定義：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
4.多邊形的對角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
5.正多邊形的定義：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
知識點2. 與多邊形有關的規(guī)律
1.從n邊形的一個頂點出發(fā)，能引出(n﹣3)條對角線；
2.經(jīng)過n邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成(n﹣2)個三角形；
3. n邊形共有對角線(n≥3)條．
4．性質(zhì)：多邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°；多邊形的外角和等于360°.
5．多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關系：
(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.
(2)多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無關.
(3)正n邊形：正n邊形的內(nèi)角的度數(shù)為，外角的度數(shù)為.
課節(jié)知識點例題講析
【例題1】如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【例題2】一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，則這個多邊形為（ ）
A．九邊形 B．十邊形 C．十一邊形 D．十二邊形
【例題3】下列哪一個角度可以作為一個多邊形的內(nèi)角和（ ）
A． B． C． D．
【例題4】在一個各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個內(nèi)角都比相鄰外角的倍還大．
（1）求這個多邊形的邊數(shù)；
（2）若將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1．若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
2.一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（　　）
A. 七邊形 B. 八邊形 C. 九邊形 D. 十邊形
3．如果過一個多邊形的一個頂點的對角線有5條，則該多邊形是（ ）
A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形
4. 剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5 張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為________．
5．一個四邊形它有_____條邊，有_____個內(nèi)角，有______個外角，從一個頂點出發(fā)可以引______條對角線，一共可以畫______條對角線.
6．把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是_______邊形.
7．從邊形的一個頂點出發(fā)，連接其余各頂點，可以將這個邊形分割成17個三角形，則＝______．
8．一個多邊形減去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形的邊數(shù)不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9. 已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是______邊形．
10．如果過多邊形的一個頂點共有3條對角線，那么這個多邊形的內(nèi)角和是______度．
11．在五邊形中，，，，則的度數(shù)是______．
12. （2023湖南永州）下列多邊形中，內(nèi)角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
13．已知正多邊形的周長為56，從其一個頂點出發(fā)共有4條對角線，求這個正多邊形的邊長．
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