資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024--2025學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)講練測講義
第十二章 全等三角形
專題12.3 角的平分線的性質(zhì)
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.
2.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.
3. 理解角平分線的判定定理.
4. 掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.
5. 學(xué)會判斷一個點是否在一個角的平分線上.
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 角平分線的概念
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分線
知識點2.用尺規(guī)作角的平分線方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
作法：
1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.
2.分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點C.
3.畫射線OC.
則：射線OC即為所求.
請你說明OC為什么是∠AOB的平分線.
證明：在△OMC與△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分線.
知識點3. 角平分線的性質(zhì)
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
幾何語言：
∵ 點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
知識點4. 角的平分線判定定理
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應(yīng)用所具備的條件：(1)點在角的內(nèi)部；(2)該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).
幾何符號語言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=BOC)
課節(jié)知識點例題講析
【例題1】如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E. 求證PD=PE.
【答案】見解析
【解析】證明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴ △PDO≌△PEO (AAS)
∴ PD=PE
【例題2】已知，如圖，P為∠AOB內(nèi)部一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求證：點P在∠AOB的平分線上.
【答案】見解析
【解析】證明：經(jīng)過點P作射線OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ，
∴ ∠POD=∠POE，
即點P在∠AOB的平分線上.
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1. 如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（　?。?br/>A．44° B．40° C．39° D．38°
【答案】C．
【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠ACB，利用角平分線得出∠DCB，再用平行線的性質(zhì)解答即可．
∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于點D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
【點撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理、平行線性質(zhì)、角平分線定義。
2．如圖，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于點D，點E是BD上一點，EF⊥AB于點F，若ED＝EF，則∠AEC的度數(shù)為(　　)
A．60° B．62° C．64° D．66°
【答案】D
【解析】∵∠B=42°，AD⊥BC，
∴∠BAD=48°，
∵ED=EF，AD⊥BC，EF⊥AB，
∴∠BAE=∠DAE=24°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°，
故答案為：D
【點撥】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAD=48°，根據(jù)到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上得出AE平分∠BAD，根據(jù)角平分線的定義得出∠BAE=∠DAE=24°，根據(jù)三角形的外角定理即可算出答案。
3．如圖，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分線交于點O，過點O作OD⊥BC于點D，△ABC的周長為18，OD=4，則△ABC的面積是　 　．
【答案】36
【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，
∵OB是∠ABC的平分線，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=4，
同理OF=OD=4，
△ABC的面積= ×AB×4+ ×AC×4+ ×BC×4=36．
【點撥】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE=OD=4和OF=OD=4，根據(jù)三角形面積公式計算即可．
4. 如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且D是BC的中點,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．求證:BE=CF.
證明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵ D是BC的中點
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE=CF
5. 如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,問:能否在AB上確定一點E，使△BDE之周長等于AB的長
【答案】見解析
【解析】能在AB上確定一點E,使△BDE的周長等于AB的長.
即過點D作DE⊥AB于E，則E點就是所要確定的點.
∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB
∴DC=DE
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE
∴AC=BC
∴AE=BC
∴C△BDE=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB
6. 如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC．求證:AD是∠BAC的平分線.
【答案】見解析
【解析】證明:∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分線.
7. 如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證:
（1）AM平分∠DAB;
(2)AD=AB+CD.
【答案】見解析
【解析】證明:(1)作MN⊥AD于N.
∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD，
∴CM=MN，
∵M(jìn)是BC的中點，
∴CM=MB，
∴MN=MB，
∵M(jìn)B⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB，
∴AM平分∠DAB.
(2)由(1)得MC=MN,MB=MN，
在Rt△MCD和Rt△MND中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△MND (HL) ，
∴CD=ND，
同理可得AB=AN，
∵AD=AN+ND，
∴AD=AB+CD.
8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．
（1）求∠CBE的度數(shù)；
（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數(shù)．
【答案】見解析。
【解析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由鄰補角定義得出∠CBD=130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE=∠CBD=65°；先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠F=∠CEB=25°．
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分線，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
9．如圖，四邊形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求證：CA平分∠DCB
【答案】見解析
【解析】證明：過點A分別作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足為N、M.
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
∵AN⊥BC，AM⊥CD
∴∠ANB=∠AMD=90°
又∵AB=AD
∴△ABN≌△ADM
∴AN=AM
∴點A在∠BCD的平分線上，
即CA平分∠BCD.
【點撥】過點A分別作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足為N、M，由垂直的定義得∠ANB=∠AMD=90°，根據(jù)同角的補角相等得出 ∠1=∠3 ，進(jìn)而利用AAS判斷出△ABN≌△ADM，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AN=AM，然后根據(jù)到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上即可得出結(jié)論.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024--2025學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)講練測講義
第十二章 全等三角形
專題12.3 角的平分線的性質(zhì)
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.
2.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.
3. 理解角平分線的判定定理.
4. 掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.
5. 學(xué)會判斷一個點是否在一個角的平分線上.
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 角平分線的概念
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分線
知識點2.用尺規(guī)作角的平分線方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
作法：
1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.
2.分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點C.
3.畫射線OC.
則：射線OC即為所求.
請你說明OC為什么是∠AOB的平分線.
證明：在△OMC與△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分線.
知識點3. 角平分線的性質(zhì)
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
幾何語言：
∵ 點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
知識點4. 角的平分線判定定理
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應(yīng)用所具備的條件：(1)點在角的內(nèi)部；(2)該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).
幾何符號語言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=BOC)
課節(jié)知識點例題講析
【例題1】如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E. 求證PD=PE.
【例題2】已知，如圖，P為∠AOB內(nèi)部一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求證：點P在∠AOB的平分線上.
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1. 如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（　　）
A．44° B．40° C．39° D．38°
2．如圖，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于點D，點E是BD上一點，EF⊥AB于點F，若ED＝EF，則∠AEC的度數(shù)為(　　)
A．60° B．62° C．64° D．66°
3．如圖，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分線交于點O，過點O作OD⊥BC于點D，△ABC的周長為18，OD=4，則△ABC的面積是　 ?。?br/>4. 如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且D是BC的中點,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．求證:BE=CF.
5. 如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,問:能否在AB上確定一點E，使△BDE之周長等于AB的長
6. 如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC．求證:AD是∠BAC的平分線.
7. 如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證:
（1）AM平分∠DAB;
(2)AD=AB+CD.
8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．
（1）求∠CBE的度數(shù)；
（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數(shù)．
9．如圖，四邊形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求證：CA平分∠DCB
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑