資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十二章 全等三角形
專題12.1 全等三角形
課節學習目標
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的對應元素；
2．理解并掌握全等三角形的性質，能用符號正確地表示兩個三角形全等；
3．能熟練找出兩個全等三角形的對應角、對應邊；
4.能進行簡單的推理和計算，并解決一些實際問題。
課節知識點解讀
知識點1. 全等形與全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形；能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
說明：對應邊、對應角以及兩個三角形全等的符號表示、讀法、寫法。
把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合
的角叫做對應角.“全等”用≌表示，讀作“全等于”。
如圖：兩個三角形△ABC與△ A1B1C1. 完全重合的，則△ABC≌△ A1B1C1 。
對應頂點：點A與點A1是對應頂點;點B與點B1是對應頂點;點C與 點C1是對應頂點。
對應邊：AB與A1B1 是對應邊； BC與B1C1 是對應邊； CA與C1A1是對應邊。
對應角：∠A 與∠A1是對應角；∠B與∠B1是對應角；∠C 與∠C1是對應角。
知識點2．全等三角形的性質：全等三角形的對應角、對應邊相等．
結論：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。
【溫馨提醒】找兩個全等三角形的對應元素常用方法有：
1.兩個全等的三角形經過一定的轉換可以重合．一般是平移、翻轉、旋轉的方法。
2.根據位置元素來找：有相等元素，它們就是對應元素，然后再依據已知的對應元素找出其余的對應元素．
3.全等三角形對應角所對的邊是對應邊；兩個對應角所夾的邊也是對應邊．
4.全等三角形對應邊所對的角是對應角；兩條對應邊所夾的角是對應角．
課節知識點例題講析
考點1. 全等形的認識
【例題1】觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（　　）
A．3組 B．4組 C．5組 D．6組
【答案】B
【解析】根據全等圖形的定義進行判斷即可．
觀察圖①④⑤⑥四組圖形經過平移、旋轉、對折后能夠完全重合，是全等圖形，共4組，
【點睛】本題考查了全等圖形的定義，能夠完全重合的圖形是全等形，難度不大．
【例題2】找一找下列全等圖形的對應元素？
甲 乙
【答案】見解析
【解析】對于甲圖，對應頂點：A與D,B與E,C與F；
對應邊：AB=DE，AC=DF，BC=EF；
對應角：∠A=∠D，∠B=∠1，∠2=∠F.
對于乙圖，對應頂點：A與A,B與F,C與D；
對應邊：AB=AF，AC=AD，BC=FD；
對應角：∠B=∠F，∠ACB=∠ADF，∠BAC=∠FAD.
考點2. 全等三角形的性質
【例題3】一個三角形的三邊為2、5、x+2y，另一個三角形的三邊為2x+y、2、4，若這兩個三角形全等，則x+y＝_____．
【答案】3
【解析】根據全等三角形對應邊相等相加即可得解．
∵兩個三角形全等，∴x+2y=4，2x+y=5，兩式相加得：3x+3y=9，∴x+y=3．
故答案為3．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，比較簡單，準確確定對應邊是解題的關鍵．
【例題4】如圖，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度數．
【答案】見解析。
【解析】根據全等三角形的對應角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形內角和定理來求∠ACB的度數．
∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度數是100°.
【方法總結】本題將三角形內角和與全等三角形的性質綜合考查，解答問題時要將所求的角與已知角通過全等及三角形內角之間的關系聯系起來．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 下列圖中的圖形是全運會的會徽，其中是全等形的是(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)
【答案】D
【解析】根據能夠完全重合的兩個圖形是全等形進行判斷．由此可以判斷選項D是正確的．
【方法總結】判斷兩個圖形是不是全等形，可以通過平移、翻折、旋轉等方法，將兩個圖形疊合起來觀察，看其是否能完全重合，有時還可以借助網格背景來觀察比較．
2.如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個全等三角形的對應邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個三角形的對應角．
【答案】見解析。
【解析】結合圖形進行分析，分別寫出對應邊與對應角即可．
△BOD與△COE的對應邊為：BO與CO，OD與OE，BD與CE；△ADO與△AEO的對應角為：∠DAO與∠EAO，∠ADO與∠AEO，∠AOD與∠AOE.
【方法總結】找全等三角形的對應元素的關鍵是準確分析圖形，另外記全等三角形時，對應頂點要寫在對應的位置上，這樣就可以比較容易地寫出對應角和對應邊了．
3. 如圖所示，A，C，E三點在同一直線上，且△ABC≌△DAE．
(1)求證：BC＝DE＋CE；
(2)當△ABC滿足什么條件時，？
【答案】見解析。
【解析】 (1)證明：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，AC＝DE，
又∵AE＝AC+CE，
∴BC＝DE+CE；
(2)解：∵，
∴∠BCE＝∠E，
又∵△ABC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠ACB＝90°，
即當△ABC滿足∠ACB為直角時，．
4.如圖，沿BC方向平移到的位置．
(1)若，，求的度數；
(2)若，，求平移的距離．
【答案】見解析。
【解析】 (1)解：由平移可知，
∴，
∴．
(2)由平移可知，
∴，
∴，
∴，
∴平移的距離BE為3．
5.如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度數和CF的長．
【答案】見解析。
【解析】根據全等三角形對應邊、對應角相等求∠DEF的度數和CF的長．
∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
【方法總結】本題主要是考查運用全等三角形的性質求角的度數和線段的長，解決問題的關鍵是準確識別圖形．
6．如圖，，且，，，____．
【答案】95
【解析】由全等三角形的性質可得，進而可求出，然后利用三角形外交的性質求解即可．
，
，
，，
，
，
故答案為：95．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握全等三角形的對應角相等是解答本題的關鍵．
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第十二章 全等三角形
專題12.1 全等三角形
課節學習目標
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的對應元素；
2．理解并掌握全等三角形的性質，能用符號正確地表示兩個三角形全等；
3．能熟練找出兩個全等三角形的對應角、對應邊；
4.能進行簡單的推理和計算，并解決一些實際問題。
課節知識點解讀
知識點1. 全等形與全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形；能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
說明：對應邊、對應角以及兩個三角形全等的符號表示、讀法、寫法。
把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合
的角叫做對應角.“全等”用≌表示，讀作“全等于”。
如圖：兩個三角形△ABC與△ A1B1C1. 完全重合的，則△ABC≌△ A1B1C1 。
對應頂點：點A與點A1是對應頂點;點B與點B1是對應頂點;點C與 點C1是對應頂點。
對應邊：AB與A1B1 是對應邊； BC與B1C1 是對應邊； CA與C1A1是對應邊。
對應角：∠A 與∠A1是對應角；∠B與∠B1是對應角；∠C 與∠C1是對應角。
知識點2．全等三角形的性質：全等三角形的對應角、對應邊相等．
結論：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。
【溫馨提醒】找兩個全等三角形的對應元素常用方法有：
1.兩個全等的三角形經過一定的轉換可以重合．一般是平移、翻轉、旋轉的方法。
2.根據位置元素來找：有相等元素，它們就是對應元素，然后再依據已知的對應元素找出其余的對應元素．
3.全等三角形對應角所對的邊是對應邊；兩個對應角所夾的邊也是對應邊．
4.全等三角形對應邊所對的角是對應角；兩條對應邊所夾的角是對應角．
課節知識點例題講析
考點1. 全等形的認識
【例題1】觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（　　）
A．3組 B．4組 C．5組 D．6組
【例題2】找一找下列全等圖形的對應元素？
甲 乙
考點2. 全等三角形的性質
【例題3】一個三角形的三邊為2、5、x+2y，另一個三角形的三邊為2x+y、2、4，若這兩個三角形全等，則x+y＝_____．
【例題4】如圖，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度數．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 下列圖中的圖形是全運會的會徽，其中是全等形的是(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)
2.如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個全等三角形的對應邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個三角形的對應角．
3. 如圖所示，A，C，E三點在同一直線上，且△ABC≌△DAE．
(1)求證：BC＝DE＋CE；
(2)當△ABC滿足什么條件時，？
4.如圖，沿BC方向平移到的位置．
(1)若，，求的度數；
(2)若，，求平移的距離．
5.如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度數和CF的長．
6．如圖，，且，，，____．
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