資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十二章 全等三角形
專題12.2 三角形全等的判定
課節學習目標
1.理解“SSS”判定方法和應用.
2.會用尺規作一個角等于已知角，了解圖形的作法．
3. 探索并正確理解三角形全等的判定方法“SAS”. 會用“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進行簡單的應用．
4. 了解“SSA”不能作為兩個三角形全等的條件．　
5. 探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．會用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個三角形全等．
6. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． 會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．
課節知識點解讀
一、理解并牢記三角形全等的五種判定方法
判定方法1：“邊邊邊”或“SSS”判定方法
三邊對應相等的兩個三角形全等。
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一個角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；
2.畫一條射線O′A′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；
3.以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；
4.過點D′畫射線O′B′，則∠A′0′B′=∠AOB.
思考：為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“邊角邊”或“SAS”判定方法
兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角邊角”或“ASA”判定方法
有兩角和它們夾邊對應相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角邊”或“AAS”判定方法
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
幾何符號語言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
則Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
二、證明兩個三角形全等的書寫步驟
1.準備條件：證全等時要用的條件要先證好；
2.指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；
3.擺齊根據：擺出三個條件用大括號括起來；
4.寫出結論：寫出全等結論.
課節知識點例題講析
【例題1】如圖，C是AB的中點，AD=CE，CD=BE. 求證△ACD≌△CBE.
【答案】見解析
【解析】證明：∵C是AB的中點，
∴AC=CB，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SSS).
【例題2】如圖，CA=CB，AD=BD，M、N分別是CA、CB的中點,求證DM=DN.
【答案】見解析
【解析】證明:連接CD，
在△CAD和△CBD中，
∴△CAD≌△CBD(SSS)
∴∠A=∠B
∵M、N分別是CA、CB中點，且CA=CB
∴AM=BN
在△MAD和△NBD中，
∴△MAD≌△NBD(SAS)
∴DM=DN
【例題3】如圖，AB//CD，AF//DE，BE=CF．求證:AB=CD.
【答案】見解析
【解析】證明:AB//CD，AF//DE
∴∠B=∠C, ∠AFB=∠DEC
∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE
在△ABF和△DCE中,
∴ △ABF≌△DCE(ASA)
∴AB=CD
【例題4】如圖，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE.求證：△ABE≌△ACD.
【答案】見解析
【解析】證明:∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD-∠EAD=∠CAE-∠EAD
即∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS)
【例題5】如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D，AC=BD.求證BC=AD.
【答案】見解析
【解析】證明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C與∠D都是直角，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ，
∴ BC=AD.
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.如圖，AC=BD，AO=BO，CO=DO，∠D=30°，∠A=95°，則∠AOC等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在△ACO和△BDO中，
∵ ，
∴△ACO≌△BDO（SSS），
∴∠C=∠D=30°，
∵∠AOC=180°-∠C-∠A=180°-30°-95°=55°，
故答案為：B．
【點撥】先利用“SSS”證明△ACO≌△BDO，得∠C=∠D=30°，最后用三角形的內角和計算即可。
2. 如圖，與相交于點O，，不添加輔助線，判定的依據是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據，，正好是兩邊一夾角，即可得出答案．
∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正確．故選：B．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握兩邊對應相等，且其夾角也對應相等的兩個三角形全等，是解題的關鍵．
3．如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．
（1）求證：△ABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度數．
【答案】見解析。
【解析】求出AC=DF，根據SSS推出△ABC≌△DEF．由（1）中全等三角形的性質得到：∠A=∠EDF，進而得出結論即可．
證明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
4.如圖，點A、F、E、C在同一直線上，AF=CE，BE//DF，BE=DF,求證:AB//CD.
【答案】見解析。
【解析】證明:∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=CF
∵BE//DF
∴∠1=∠2
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(SAS)
∴∠A=∠C
∴AB//CD
5.如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD交于點0，且AO平分∠BAC，那么圖中全等三角形共有______對.
【答案】見解析
【解析】根據條件: CD⊥AB，BE⊥AC ,AO平分∠BAC及隱含的條件AO=AO(公共邊).
∴△ADO≌△AEO(AAS)，∴AD=AE
∴△ADC≌△AEB(ASA)，∴∠B=∠C
∴△ABO≌△ACO(AAS)，∴BO=CO ∴△BDO≌△CEO(AAS)
∴圖中全等三角形共有4對.
6. 如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D、E兩地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E與路段AB的距離相等嗎？為什么？
【答案】見解析
【解析】AD=BE，理由如下：
依題意可得，AC=BC，CD=CE.
∵ DA⊥AB，EB⊥AB，
∴ ∠A=∠B=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴ Rt△ACD≌Rt△BCE (HL) ，
∴ AD=BE.
7.如圖，已知AD是△ABC的角平分線,且BD=CD，DE、DF分別垂直于AB、AC，垂足分別為E、F.求證BE=CF.
【答案】見解析
【解析】證明:AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE、DF分別垂直于AB、AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS) ，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
8．如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件　 　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【答案】AB＝ED．
【解析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．
添加的條件是：AB＝ED，
理由是：∵在△ABC和△EDF中
，
∴△ABC≌△EDF（ASA）
9.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．
【答案】見解析。
【解析】證明：延長BA、CE，兩線相交于點F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,
BE=BE,
∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
10．如圖所示，已知△ABF≌△DEC，說明AC∥DF成立的理由.
【答案】見解析
【解析】∵△ABF △DEC,
∴AB=DE,BF=CE, ∠B=∠E
∴BF＋FC=CE＋CF,即 BC=EF.
在△ABC和ADEF中,∵
【點撥】根據三角形全等的性質可得BC=EF，于是利用邊角邊定理可證△ABC≌△DEF，則∠ACB=∠DFE，因此根據平行線的判定定理證出AC∥DF。
11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點E在AC的延長線上，ED⊥AB于點D，若BC＝ED，求證：CE＝DB．
【答案】見解析。
【解析】由“AAS”可證△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由線段的和差關系可得結論．
證明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
12. 如圖，點C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求證：AB＝CD．
【答案】見解析。
【解析】證明△ABC≌△CDE（ASA），可得出結論．
證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
13. 如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．
（1）求證：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數．
【答案】見解析。
【分析】（1）根據DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中點，AAS求證△BED≌△CFD即可得出結論．
（2）根據直角三角形的性質求出∠B＝50°，根據等腰三角形的性質即可求解．
【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中點，
∴BD＝CD，
在△BED與△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
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第十二章 全等三角形
專題12.2 三角形全等的判定
課節學習目標
1.理解“SSS”判定方法和應用.
2.會用尺規作一個角等于已知角，了解圖形的作法．
3. 探索并正確理解三角形全等的判定方法“SAS”. 會用“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進行簡單的應用．
4. 了解“SSA”不能作為兩個三角形全等的條件．　
5. 探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．會用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個三角形全等．
6. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． 會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．
課節知識點解讀
一、理解并牢記三角形全等的五種判定方法
判定方法1：“邊邊邊”或“SSS”判定方法
三邊對應相等的兩個三角形全等。
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一個角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；
2.畫一條射線O′A′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；
3.以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；
4.過點D′畫射線O′B′，則∠A′0′B′=∠AOB.
思考：為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“邊角邊”或“SAS”判定方法
兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角邊角”或“ASA”判定方法
有兩角和它們夾邊對應相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角邊”或“AAS”判定方法
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
幾何符號語言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
則Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
二、證明兩個三角形全等的書寫步驟
1.準備條件：證全等時要用的條件要先證好；
2.指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；
3.擺齊根據：擺出三個條件用大括號括起來；
4.寫出結論：寫出全等結論.
課節知識點例題講析
【例題1】如圖，C是AB的中點，AD=CE，CD=BE. 求證△ACD≌△CBE.
【例題2】如圖，CA=CB，AD=BD，M、N分別是CA、CB的中點,求證DM=DN.
【例題3】如圖，AB//CD，AF//DE，BE=CF．求證:AB=CD.
【例題4】如圖，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE.求證：△ABE≌△ACD.
【例題5】如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D，AC=BD.求證BC=AD.
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.如圖，AC=BD，AO=BO，CO=DO，∠D=30°，∠A=95°，則∠AOC等于（　　）
A． B． C． D．
2. 如圖，與相交于點O，，不添加輔助線，判定的依據是（ ）
A. B. C. D.
3．如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．
（1）求證：△ABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度數．
4.如圖，點A、F、E、C在同一直線上，AF=CE，BE//DF，BE=DF,求證:AB//CD.
5.如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD交于點0，且AO平分∠BAC，那么圖中全等三角形共有______對.
6. 如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D、E兩地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E與路段AB的距離相等嗎？為什么？
7.如圖，已知AD是△ABC的角平分線,且BD=CD，DE、DF分別垂直于AB、AC，垂足分別為E、F.求證BE=CF.
8．如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件　 　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
9.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．
10．如圖所示，已知△ABF≌△DEC，說明AC∥DF成立的理由.
11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點E在AC的延長線上，ED⊥AB于點D，若BC＝ED，求證：CE＝DB．
12. 如圖，點C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求證：AB＝CD．
13. 如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．
（1）求證：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數．
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