資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024--2025學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)講練測講義
第十三章 軸對稱
專題13.3 等腰三角形
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)；會運用等腰三角形的概念及性質(zhì)解決相關(guān)問題.
2.理解等腰三角形的判定方法.
3.了解等邊三角形是特殊的等腰三角形；理解等邊三角形的性質(zhì)與判定。
4.理解含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)；能用含30°銳角的直角三角形性質(zhì)解決簡單的實際問題。
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 等腰三角形的性質(zhì)及判定
1.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．
2.等腰三角形的性質(zhì)：
（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
（2）等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．
注意1：解題方法：設(shè)輔助未知數(shù)法與拼湊法．
注意2：重要的數(shù)學(xué)思想方法：方程思想、整體思想和轉(zhuǎn)化思想．
3.等腰三角形的判定定理：
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
注意3：等腰三角形的判定方法
(1)根據(jù)定義判定；
(2)兩個角相等的三角形是等腰三角形．
知識點2. 等邊三角形的性質(zhì)及判定
1．等邊三角形的定義：三條邊相等的三角形叫做等邊三角形．
2. 等邊三角形的性質(zhì)和判定：
性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。
判定1. 三個角都相等的三角形是等邊三角形。
判定2. 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
知識點3. 含30°角的直角三角形的性質(zhì)
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
課節(jié)知識點例題講析
考點1.等腰三角形的概念
【例題1】如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是(　　)
A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm
【答案】D
【解析】當(dāng)腰為3cm時，3＋3＝6，不能構(gòu)成三角形，因此這種情況不成立．當(dāng)腰為6cm時，6－3＜6＜6＋3，能構(gòu)成三角形；此時等腰三角形的周長為6＋6＋3＝15(cm)．故選D.
【方法總結(jié)】在解決等腰三角形邊長的問題時，如果不明確底和腰時，要進行分類討論，同時要養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．
考點2.等腰三角形的性質(zhì)
【例題2】等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80°
【答案】A
【解析】當(dāng)50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.
【方法總結(jié)】等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
考點3.等腰三角形的判定
【例題3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有(　　)
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】A
【解析】共有5個．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可證△CDE和△BCD也是等腰三角形．故選A.
【方法總結(jié)】確定等腰三角形的個數(shù)要先找出相等的邊和相等的角，然后確定等腰三角形，再按順序不重不漏地數(shù)出等腰三角形的個數(shù)．
考點4.等邊三角形的性質(zhì)
【例題4】如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．
【答案】見解析。
【解析】因為△ABC三個內(nèi)角為60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度數(shù)，因為BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度數(shù)，利用外角性質(zhì)即可求出∠CED的度數(shù)．
解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
【方法總結(jié)】等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內(nèi)角都是60°，這個性質(zhì)常常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，所以必須熟練掌握．
考點5.等邊三角形的判定
【例題5】 等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．
【答案】見解析。
【解析】先證△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再證∠PAQ＝60°，從而得出△APQ是等邊三角形．
解：△APQ為等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.在△ABP與△ACQ中，∵∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．
【方法總結(jié)】判定一個三角形是等邊三角形有兩種方法：一是證明三角形三個內(nèi)角相等；二是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內(nèi)角等于60°.
考點6.含30°角的直角三角形的性質(zhì)
【例題6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.
【方法總結(jié)】運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．
【答案】見解析
【解析】設(shè)∠A＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù)．
解：設(shè)∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.
【方法總結(jié)】利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.
2. 如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.
【答案】見解析
【解析】先由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，根據(jù)角平分線定義得到∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代換得到∠ECB＝∠F，于是根據(jù)平行線的判定得出EC∥DF.
證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE為底角的平分線，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
【方法總結(jié)】證明線段的平行關(guān)系，主要是通過證明角相等或互補．
3. 如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求證：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，如圖②，求證：AF⊥BC.
【答案】見解析
【解析】(1)過A作AG⊥BC于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BG＝CG，DG＝EG即可證明；(2)先證BF＝CF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．
證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
【方法總結(jié)】在等腰三角形有關(guān)計算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．
4. 如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.
(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形；
(2)請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．
(3)如果BC＝10，求AB＋AE的長．
【答案】見解析
【解析】(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE為角平分線，可證得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均為等腰三角形；由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也符合題意；(2)BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，根據(jù)角平分線定理可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱，可得出BE⊥AD；(3)根據(jù)(2)，可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱，且△DEC為等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC.
(2)AD與BE垂直．證明：由BE為∠ABC的平分線，知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合，∴A、D是對稱點，∴AD⊥BE.
(3)∵BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE.
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
∵
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，∴AB＝BD.
又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
5. 如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（　　）
A．125° B．145° C．175° D．190°
【答案】C
【解析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，即可得到△CDF是等邊三角形，進而得到∠ACD＝60°，根據(jù)∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．
∵CD⊥AB，F(xiàn)為邊AC的中點，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故選：C．
6. 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作圖可知MN為AB的中垂線，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°
7. 已知平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(－2，3)，在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有(　　)
A．3個 B．4個 C．5個 D．6
【答案】B
【解析】因為△AOP為等腰三角形，所以可分三類討論：(1)AO＝AP(有一個)．此時只要以A為圓心AO長為半徑畫圓，可知圓與y軸交于O點和另一個點，另一個點就是點P；(2)AO＝OP(有兩個)．此時只要以O(shè)為圓心AO長為半徑畫圓，可知圓與y軸交于兩個點，這兩個點就是P的兩種選擇；(3)AP＝OP(一個)．作AO的中垂線與y軸有一個交點，該交點就是點P的最后一種選擇．綜上所述，共有4個．故選B.
【方法總結(jié)】解決此類問題的方法主要是線段垂直平分線與輔助圓的靈活運用以及分類討論時做到不重不漏．
8. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．
【答案】見解析
【解析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠CEF＝∠CFE，根據(jù)等角對等邊求得CE＝CF，從而求得△CEF是等腰三角形．
證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
【方法總結(jié)】“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．
9. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求證：△DEF是等腰三角形；
(2)當(dāng)∠A＝50°時，求∠DEF的度數(shù)．
【答案】見解析
【解析】(1)根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠C，利用“邊角邊”證明△BDE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝EF，再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠B＝∠DEF.
(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CEF中，
∵
∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.
【方法總結(jié)】等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
10. 等腰三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，求該等腰三角形的頂角的度數(shù).
【答案】見解析
【解析】設(shè)該等腰三角形中，小角的度數(shù)為x,則大角的度數(shù)為2x.
當(dāng)x為底角時， x +x+ 2x=180°
解得 x=45°，則2x=90°.
當(dāng)x為頂角時， x +2x+ 2x=180°
解得x =36°.
故該等腰三角形頂角的度數(shù)為90°或36°.
方法總結(jié)
在等腰三角形中，常用到分類討論思想，一般有如下情況：(1)在求角度時，未指明底角和頂角；(2)在求三角形周長時，未指明底邊和腰；(3)未給定圖形時，有時需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.
11. 如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．
【答案】2
【解析】據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案為：2．
【點睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：BM＝EM.
【答案】見解析。
【解析】要證BM＝EM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，證明△BDE為等腰三角形即可．
證明：連接BD，∵在等邊△ABC中，D是AC的中點，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°.
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE為等腰三角形．
又∵DM⊥BC，∴BM＝EM.
【方法總結(jié)】本題綜合考查了等腰和等邊三角形的性質(zhì)，其中“三線合一”的性質(zhì)是證明線段相等、角相等和線段垂直關(guān)系的重要方法．
13. △ABC為正三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，∠BQM等于多少度？
【答案】見解析。
【解析】先根據(jù)已知條件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得∠BQM＝∠ABC＝60°.
∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
在△AMB和△BNC中，
∵∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
【方法總結(jié)】等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)探究三角形全等．
14. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)；
（2）求證：FB＝FE．
【答案】見解析。
【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．
15. 圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．
(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；
(2)如圖②，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
【答案】見解析。
【解析】(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，
∵∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
（2）△CEF是等邊三角形．證明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.在△ACE和△MCF中，∵
∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．
【方法總結(jié)】等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件．
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第十三章 軸對稱
專題13.3 等腰三角形
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)；會運用等腰三角形的概念及性質(zhì)解決相關(guān)問題.
2.理解等腰三角形的判定方法.
3.了解等邊三角形是特殊的等腰三角形；理解等邊三角形的性質(zhì)與判定。
4.理解含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)；能用含30°銳角的直角三角形性質(zhì)解決簡單的實際問題。
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 等腰三角形的性質(zhì)及判定
1.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．
2.等腰三角形的性質(zhì)：
（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
（2）等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．
注意1：解題方法：設(shè)輔助未知數(shù)法與拼湊法．
注意2：重要的數(shù)學(xué)思想方法：方程思想、整體思想和轉(zhuǎn)化思想．
3.等腰三角形的判定定理：
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
注意3：等腰三角形的判定方法
(1)根據(jù)定義判定；
(2)兩個角相等的三角形是等腰三角形．
知識點2. 等邊三角形的性質(zhì)及判定
1．等邊三角形的定義：三條邊相等的三角形叫做等邊三角形．
2. 等邊三角形的性質(zhì)和判定：
性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。
判定1. 三個角都相等的三角形是等邊三角形。
判定2. 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
知識點3. 含30°角的直角三角形的性質(zhì)
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
課節(jié)知識點例題講析
考點1.等腰三角形的概念
【例題1】如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是(　　)
A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm
考點2.等腰三角形的性質(zhì)
【例題2】等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80°
考點3.等腰三角形的判定
【例題3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有(　　)
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
考點4.等邊三角形的性質(zhì)
【例題4】如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．
考點5.等邊三角形的判定
【例題5】 等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．
考點6.含30°角的直角三角形的性質(zhì)
【例題6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．
2. 如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.
3. 如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求證：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，如圖②，求證：AF⊥BC.
4. 如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.
(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形；
(2)請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．
(3)如果BC＝10，求AB＋AE的長．
5. 如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（　　）
A．125° B．145° C．175° D．190°
6. 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
7. 已知平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(－2，3)，在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有(　　)
A．3個 B．4個 C．5個 D．6
8. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．
9. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求證：△DEF是等腰三角形；
(2)當(dāng)∠A＝50°時，求∠DEF的度數(shù)．
10. 等腰三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，求該等腰三角形的頂角的度數(shù).
11. 如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．
12. 如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：BM＝EM.
13. △ABC為正三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，∠BQM等于多少度？
14. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)；
（2）求證：FB＝FE．
15. 圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．
(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；
(2)如圖②，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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