資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十三章 軸對稱
專題13.4 最短路徑問題
課節學習目標
1．能用軸對稱解決簡單最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想．
2．利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題．　　　　　　　　　　　　
課節知識點解讀
一、最短路徑問題
“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.
1.牧人飲馬問題--可抽象為的數學問題
如圖，牧馬人從點A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？
作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.
證明：如圖，在直線l 上任取一點C′(與點C 不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
即　AC +BC 最短．
2. 造橋選址問題
如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？
如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.
理由:另任作橋M1N1，連接AM1，BN1，A1N1.
由平移性質可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1
AM+MN+BN轉化為AA1＋A1B，而AM1＋M1N1＋BN1轉化為AA1＋A1N1＋BN1.
在△A1N1B中，因為A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1＋M1N1＋BN1＞ AM+MN+BN.
證明：由平移的性質，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.
二、解決最短路徑問題的方法
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.
1．最短路徑問題
(1)求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
現在假設點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB,與直線l相交于一點C.
根據是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.
(2)求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．
為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：
證明：由作圖可知，點B和B′關于直線l對稱，
所以直線l是線段BB′的垂直平分線．
因為點C與C′在直線l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
2.運用軸對稱解決距離最短問題
運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同．
利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求　根據軸對稱的性質、利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導致答非所問．
3．利用平移確定最短路徑選址
選址問題的關鍵是把各條線段轉化到一條線段上．如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．
解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．
4．生活中的距離最短問題
由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉化在一條線段上，從而解決這個問題，運用軸對稱性質，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長．所以作已知點關于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法．
5.運用軸對稱解決距離之差最大問題
利用軸對稱和三角形的三邊關系是解決幾何中的最大值問題的關鍵．先做出其中一點關于對稱軸的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，所得直線與對稱軸的交點，即為所求．根據垂直平分線的性質和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．
破疑點 解決距離的最值問題的關鍵　運用軸對稱變換及三角形三邊關系是解決一些距離的最值問題的有效方法．
課節知識點例題講析
考點1. 兩點的所有連線中，線段最短
【例題1】如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個村莊，現在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應在河上哪一點修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)
【答案】見解析
【解析】利用兩點之間線段最短得出答案．
如圖所示，連接AB交直線a于點P，此時橋到這兩村莊的距離之和最短．理由：兩點之間線段最短．
【方法總結】求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
考點2. 運用軸對稱解決距離最短問題
【例題2】在圖中直線l上找到一點M，使它到A，B兩點的距離和最小．
【答案】見解析
【解析】先確定其中一個點關于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點M即為所求的點．
如圖：(1)作點B關于直線l的對稱點B′；(2)連接AB′交直線l于點M；(3)點M即為所求的點．
【方法總結】利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求，據軸對稱的性質、用三角形三邊關系求解．
考點3. 最短路徑選址問題
【例題3】如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．
(1)若要使廠址到A，B兩村的距離相等，則應選擇在哪建廠(要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)
(2)若要使廠址到A，B兩村的水管最短，應建在什么地方？
【答案】見解析
【解析】(1)欲求到A、B兩村的距離相等，即作出AB的垂直平分線與EF的交點即可，交點即為廠址所在位置；(2)利用軸對稱求最短路線的方法是作出A點關于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，即可得出答案．
解：(1)作出AB的垂直平分線與EF的交點M，交點M即為廠址所在位置；
　　
(2)如圖所示：作A點關于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，點N即為所求．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．
【答案】見解析
【解析】此題的突破點是作點A(或B)關于直線l的對稱點A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點C，把問題轉化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決．
如圖所示，以直線l為對稱軸，作點A關于直線l的對稱點A′，A′B的連線交l于點C，則點C即為所求．理由：在直線l上任找一點C′(異于點C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因為點A，A′關于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因為點C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.
【方法總結】如果兩點在一條直線的同側，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．
2. 如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能確定
【答案】B
【解析】△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關于直線AD對稱.
∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.
方法總結：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關鍵，而后將求線段長的和轉化為求某一線段的長，而再根據已知條件求解.
3.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【解析】考點有軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關系，三角形外角性質，等腰三角形的性質。
根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和ED的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，進而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如圖，作A關于BC和ED的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值。作DA延長線AH。
4. 如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（　　）
A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
【答案】A
【解析】作B點關于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．
方法總結：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.
5．如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．
【答案】12
【解析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據三角形的三邊關系即可得出結論．
如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6∴2∴2∴則的最大值與最小值的差為12．
故答案為：12
【點睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關系，解題關鍵在于添加輔助線構建全等三角形把AD轉化為BE從而求解，是一道較好的中考題．
6. 如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．
　
【答案】見解析。
【解析】此題的突破點是作點A(或B)關于直線l的對稱點A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點C，把問題轉化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決．
如圖所示，以直線l為對稱軸，作點A關于直線l的對稱點A′，A′B的連線交l于點C，則點C即為所求．理由：在直線l上任找一點C′(異于點C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因為點A，A′關于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因為點C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.
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第十三章 軸對稱
專題13.4 最短路徑問題
課節學習目標
1．能用軸對稱解決簡單最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想．
2．利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題．　　　　　　　　　　　　
課節知識點解讀
一、最短路徑問題
“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.
1.牧人飲馬問題--可抽象為的數學問題
如圖，牧馬人從點A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？
作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.
證明：如圖，在直線l 上任取一點C′(與點C 不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
即　AC +BC 最短．
2. 造橋選址問題
如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？
如圖，平移A到A，使AA等于河寬，連接AB交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.
理由:另任作橋MN，連接AM，BN，AN.
由平移性質可知，AM＝AN，AA＝MN＝MN，AM＝AN
AM+MN+BN轉化為AA＋AB，而AM＋MN＋BN轉化為AA＋AN＋BN.
在△ANB中，因為AN+BN＞AB.
因此AM＋MN＋BN＞ AM+MN+BN.
證明：由平移的性質，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.
二、解決最短路徑問題的方法
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.
1．最短路徑問題
(1)求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
現在假設點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB,與直線l相交于一點C.
根據是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.
(2)求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．
為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：
證明：由作圖可知，點B和B′關于直線l對稱，
所以直線l是線段BB′的垂直平分線．
因為點C與C′在直線l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
2.運用軸對稱解決距離最短問題
運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同．
利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求　根據軸對稱的性質、利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導致答非所問．
3．利用平移確定最短路徑選址
選址問題的關鍵是把各條線段轉化到一條線段上．如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．
解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．
4．生活中的距離最短問題
由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉化在一條線段上，從而解決這個問題，運用軸對稱性質，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長．所以作已知點關于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法．
5.運用軸對稱解決距離之差最大問題
利用軸對稱和三角形的三邊關系是解決幾何中的最大值問題的關鍵．先做出其中一點關于對稱軸的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，所得直線與對稱軸的交點，即為所求．根據垂直平分線的性質和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．
破疑點 解決距離的最值問題的關鍵　運用軸對稱變換及三角形三邊關系是解決一些距離的最值問題的有效方法．
課節知識點例題講析
考點1. 兩點的所有連線中，線段最短
【例題1】如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個村莊，現在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應在河上哪一點修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)
考點2. 運用軸對稱解決距離最短問題
【例題2】在圖中直線l上找到一點M，使它到A，B兩點的距離和最小．
考點3. 最短路徑選址問題
【例題3】如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．
(1)若要使廠址到A，B兩村的距離相等，則應選擇在哪建廠(要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)
(2)若要使廠址到A，B兩村的水管最短，應建在什么地方？
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．
2. 如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能確定
3.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
4. 如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（　　）
A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
5．如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．
6. 如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．
　
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