資源簡介

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2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十四章 整式的乘法與因式分解
專題14.2 乘法公式
課節學習目標
1．掌握平方差公式的推導和運用，以及對平方差公式的幾何背景的理解．
2．掌握平方差公式的應用．
3．會推導完全平方公式，靈活運用完全平方公式進行計算．
課節知識點解讀
知識點1.平方差公式
文字語言：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差
符號語言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
知識點2.完全平方公式
文字語言：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.
符號語言：
；
溫馨提醒：完全平方公式與公式的靈活變形
（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;
（2）a2+b2=(a-b)2+2ab;
（3）(a+b)2=(a-b)2+4ab;
（4）(a-b)2=(a+b)2-4ab.
課節知識點例題講析
考點1.平方差公式
【例題1】下列運算中，可用平方差公式計算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
考點2.完全平方公式
【例題2】利用完全平方公式計算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
考點3.添括號后運用完全平方公式
【例題3】計算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 利用平方差公式計算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
2. 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．
3. 利用平方差公式簡算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8.
4. 先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
5. 對于任意的正整數n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍數嗎？
6. 王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
7. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 下列運算中，計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 運用乘法公式計算(x＋3)2的結果是（ ）
A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
10. 將二次三項式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式應為　 　．
11. 已知，求代數式的值．
12. 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．
13. 利用乘法公式計算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
14. 已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代數式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十四章 整式的乘法與因式分解
專題14.2 乘法公式
課節學習目標
1．掌握平方差公式的推導和運用，以及對平方差公式的幾何背景的理解．
2．掌握平方差公式的應用．
3．會推導完全平方公式，靈活運用完全平方公式進行計算．
課節知識點解讀
知識點1.平方差公式
文字語言：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差
符號語言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
知識點2.完全平方公式
文字語言：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.
符號語言：
；
溫馨提醒：完全平方公式與公式的靈活變形
（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;
（2）a2+b2=(a-b)2+2ab;
（3）(a+b)2=(a-b)2+4ab;
（4）(a-b)2=(a+b)2-4ab.
課節知識點例題講析
考點1.平方差公式
【例題1】下列運算中，可用平方差公式計算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
【答案】C
【解析】A中含x、y的項符號相同，不能用平方差公式計算，錯誤；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的項符號相同，不能用平方差公式計算，錯誤；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的項符號相同，含y的項符號相反，能用平方差公式計算，正確；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的項符號相同，不能用平方差公式計算，錯誤；故選C.
【方法總結】對于平方差公式，注意兩個多項式均為二項式且兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．
考點2.完全平方公式
【例題2】利用完全平方公式計算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
【答案】見解析
【解析】直接運用完全平方公式進行計算即可．
(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
【方法總結】完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
考點3.添括號后運用完全平方公式
【例題3】計算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
【答案】見解析
【解析】利用整體思想將三項式轉化為二項式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括號的符號法則．
(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.
【方法總結】利用完全平方公式進行計算時，應先將式子變成(a±b)2的形式．注意a，b可以是多項式，但應保持前后使用公式的一致性．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 利用平方差公式計算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
【答案】見解析
【解析】直接利用平方差公式進行計算即可．
(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
【方法總結】應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式．
2. 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．
【答案】見解析
【解析】根據平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根據平方差公式即可算出結果．
2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.
【方法總結】連續使用平方差公式，直到不能使用為止．
3. 利用平方差公式簡算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8.
【答案】見解析
【解析】(1)把20×19寫成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式進行計算；(2)把13.2×12.8寫成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式進行計算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
【方法總結】熟記平方差公式的結構并構造出公式結構是解題的關鍵．
4. 先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
【答案】見解析
【解析】利用平方差公式展開并合并同類項，然后把x、y的值代入進行計算即可得解．
(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當x＝1，y＝2時，原式＝5×12－5×22＝－15.
【方法總結】利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數值直接計算．
5. 對于任意的正整數n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍數嗎？
【答案】見解析
【解析】利用平方差公式對代數式化簡，再判斷是否是10的倍數．
原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n為正整數，∴(n－1)(n＋1)為整數，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍數．
【方法總結】對于平方差中的a和b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式，在探究整除性或倍數問題時，要注意這方面的問題．
6. 王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
【答案】見解析
【解析】根據題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長后的面積，然后比較二者的大小即可．
李大媽吃虧了．理由：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16，∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．
【方法總結】解決實際問題的關鍵是根據題意列出算式，然后根據公式化簡解決問題．
7. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根據單項式除以單項式，完全平方公式，合并同類項，有理數的乘方的運算法則進行計算求解即可．
A中，正確，故符合題意；
B中，錯誤，故不符合題意；
C中，錯誤，故不符合題意；
D中，錯誤，故不符合題意；
故選A．
【點睛】本題考查了單項式除以單項式，完全平方公式，合并同類項以及有理數的乘方．解題的關鍵在于熟練掌握運算法則并正確的計算．
8. 下列運算中，計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根據完全平方公式、同底數冪相乘除，積的乘方進行計算，即可判斷．
，故A選項錯誤，不符合題意；
，故B選項錯誤，不符合題意；
，故C選項正確，符合題意；
，，故D選項錯誤，不符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查了完全平方公式、同底數冪相乘除，積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
9. 運用乘法公式計算(x＋3)2的結果是（ ）
A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
【答案】C
【解析】運用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．
10. 將二次三項式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式應為　 　．
【答案】（x+2）2+1．
【解析】此題主要考查了配方法的應用，正確應用完全平方公式是解題關鍵．
直接利用完全平方公式將原式進行配方得出答案．
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=（x+2）2+1．
11. 已知，求代數式的值．
【答案】5
【解析】先根據，得出，將變形為，最后代入求值即可．
∵，
∴，
∴
【點睛】本題主要考查了代數式求值，完全平方公式，單項式乘多項式，將變形為，是解題的關鍵．
12. 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．
【答案】見解析
【解析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式確定m的值．
∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
【方法總結】兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．
13. 利用乘法公式計算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
【答案】見解析
【解析】原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式計算即可得到結果．
(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.
【方法總結】運用完全平方公式進行簡便運算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．
14. 已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代數式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
【答案】見解析
【解析】(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，將x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化簡(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；
(2)∵(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋[(x－y)2－z2]－xz－yz＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＋x2＋y2－xy－z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20.
【方法總結】通過本題要熟練掌握完全平方公式的變式：(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy.
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