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中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十四章 整式的乘法與因式分解
專題14.3 因式分解
課節學習目標
1．理解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關系．會用提取公因式的方法分解因式．
2．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特點．掌握運用平方差公式分解因式的方法，能正確運用平方差公式把多項式分解因式．
3．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特點．掌握運用完全平方公式分解因式的方法，能正確運用完全平方公式把多項式分解因式．
課節知識點解讀
知識點1. 運用提取公因式法因式分解
1.因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
2. 因式分解與整式乘法區別：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解的右邊是兩個或幾個因式積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．
注意：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.
（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.
3.公因式：多項式中各項都含有的相同因式，叫作這個多項式的公因式。公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
4．提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
注意：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.
（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變為正數，同時多項式的各項都要變號.
（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變為：“＋1”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.
5.正確找出多項式的公因式的步驟：
（1）定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.
（2）定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母.
（3）定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母的最低次數.
6.注意事項：
（1）分解因式是一種恒等變形；
（2）公因式：要提盡；
（3）不要漏項；
（4）提負號，要注意變號.
知識點2. 運用平方差公式因式分解
1.平方差公式
兩數平方差，等于這兩數的和乘以這兩數的差，字母表達式：
注意：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.
（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.
（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是數字或者字母，也可以是單項式或多項式.
2.因式分解步驟
（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．
3.因式分解注意事項
（1）因式分解的對象是多項式；
（2）最終把多項式化成乘積形式；
（3）結果要徹底，即分解到不能再分解為止．
知識點3. 運用完全平方公式因式分解
1.我們把形如，的式子叫做完全平方式.
a +2ab+b 和a -2ab+b 這這樣的式子叫作完全平方式.
2.完全平方式a2±2ab＋b2的特點：
(1)必須是三項式（或可以看成三項的）；
(2)有兩個同號的數或式的平方；
(3)中間有兩底數之積的±2倍.
首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.
3. 完全平方公式: 即，.
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.
拓展知識：立方和與立方差公式
兩個數的立方和(或者差)等于這兩個數的和(或者差)乘以它們的平方和與它們積的差(或者和)．
a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）
a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）
需補充的公式：
（1）
（2）
（3）
課節知識點例題講析
【例題1】下列因式分解正確的是（　　）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【例題2】因式分解：6x2﹣4xy＝　 　．
【例題3】把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式。
【例題4】下列因式分解正確的是( )
A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1)
C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)
【例題5】分解因式：______．6】因式分解：．
【例題7】分解因式：a3﹣2a2+a＝　 　．
【例題8】因式分解（a﹣b）2+4ab；
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法運算
C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解
2. 因式分解：4m﹣2m2＝　 　．
3. 因式分解：3a2﹣9ab＝　 　．
4. 把8a3b2 + 12ab3c分解因式。
5.因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
6．因式分解：x3y﹣4xy＝　 　．
7. 分解因式：4ax2﹣4ay2＝　 　．
8. 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
9.
10.分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
11. 分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　．
12. 因式分解：
13. 因式分解：4a2b﹣4ab+b＝　 　．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十四章 整式的乘法與因式分解
專題14.3 因式分解
課節學習目標
1．理解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關系．會用提取公因式的方法分解因式．
2．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特點．掌握運用平方差公式分解因式的方法，能正確運用平方差公式把多項式分解因式．
3．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特點．掌握運用完全平方公式分解因式的方法，能正確運用完全平方公式把多項式分解因式．
課節知識點解讀
知識點1. 運用提取公因式法因式分解
1.因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
2. 因式分解與整式乘法區別：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解的右邊是兩個或幾個因式積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．
注意：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.
（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.
3.公因式：多項式中各項都含有的相同因式，叫作這個多項式的公因式。公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
4．提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
注意：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.
（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變為正數，同時多項式的各項都要變號.
（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變為：“＋1”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.
5.正確找出多項式的公因式的步驟：
（1）定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.
（2）定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母.
（3）定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母的最低次數.
6.注意事項：
（1）分解因式是一種恒等變形；
（2）公因式：要提盡；
（3）不要漏項；
（4）提負號，要注意變號.
知識點2. 運用平方差公式因式分解
1.平方差公式
兩數平方差，等于這兩數的和乘以這兩數的差，字母表達式：
注意：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.
（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.
（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是數字或者字母，也可以是單項式或多項式.
2.因式分解步驟
（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．
3.因式分解注意事項
（1）因式分解的對象是多項式；
（2）最終把多項式化成乘積形式；
（3）結果要徹底，即分解到不能再分解為止．
知識點3. 運用完全平方公式因式分解
1.我們把形如，的式子叫做完全平方式.
a +2ab+b 和a -2ab+b 這這樣的式子叫作完全平方式.
2.完全平方式a2±2ab＋b2的特點：
(1)必須是三項式（或可以看成三項的）；
(2)有兩個同號的數或式的平方；
(3)中間有兩底數之積的±2倍.
首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.
3. 完全平方公式: 即，.
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.
拓展知識：立方和與立方差公式
兩個數的立方和(或者差)等于這兩個數的和(或者差)乘以它們的平方和與它們積的差(或者和)．
a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）
a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）
需補充的公式：
（1）
（2）
（3）
課節知識點例題講析
【例題1】下列因式分解正確的是（　　）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【答案】D
【解析】A.原式利用平方差公式分解得到結果，即可做出判斷；
原式=（x+2）（x﹣2），錯誤；
B.原式利用完全平方公式分解得到結果，即可做出判斷；
原式=（x+1）2，錯誤；
C.原式提取公因式得到結果，即可做出判斷；
原式=2m（x﹣2y），錯誤；
D.原式提取公因式得到結果，即可做出判斷．
原式=2（x+2），正確。
【例題2】因式分解：6x2﹣4xy＝　 　．
【答案】2x(3x﹣2y)．
【解析】直接提取公因式2x,即可分解因式得出答案．
6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．
【例題3】把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式。
【答案】(b+c)(2a-3).
【解析】2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
【例題4】下列因式分解正確的是( )
A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1)
C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)
【答案】D
【解析】A.x2－x＝x(x－1),錯誤;
B.a2－3a－4＝(a－4)(a+1),錯誤;
C.a2+2ab－b2不能因式分解,故錯誤;
D.x2－y2＝(x+y)(x－y),是平方差公式。
【例題5】分解因式：______．
【答案】
【解析】直接用平方差公式進行分解．平方差公式：．
本題考查運用平方差公式進行因式分解，熟記公式結構是解題的關鍵．
．
【例題6】因式分解：．
【答案】
【解析】原式
【例題7】分解因式：a3﹣2a2+a＝　 　．
【答案】a（a﹣1）2．
【解析】此多項式有公因式，應先提取公因式a，再對余下的多項式進行觀察，有3項，可利用完全平方公式繼續分解．
a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
【例題8】因式分解（a﹣b）2+4ab；
【答案】（a+b）2
【解析】先根據完全平方公式展開，再根據完全平方公式分解因式即可。
（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法運算
C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解
【答案】C
【解析】本題主要考查了因式分解的定義理解，準確理解因式分解的定義是解題的關鍵．
①左邊多項式，右邊整式乘積形式，屬于因式分解；②左邊整式乘積，右邊多項式，屬于整式乘法；故答案選C．
2. 因式分解：4m﹣2m2＝　 　．
【答案】2m(2﹣m)．
【解析】提取公因式進行因式分解．
4m﹣2m2＝2m(2﹣m)．
3. 因式分解：3a2﹣9ab＝　 　．
【答案】3a（a﹣3b）．
【解析】提取公因式，即可得出答案．
3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b）．
4. 把8a3b2 + 12ab3c分解因式。
【答案】4ab2(2a2+3bc)
【解析】第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即將多項式化為兩個因式的乘積。
8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
5.因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
【答案】見解析。
【解析】(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
6．因式分解：x3y﹣4xy＝　 　．
【答案】xy（x+2）（x﹣2）．
【解析】先提取公因式xy，再利用平方差公式對因式x2﹣4進行分解．
x3y﹣4xy，
＝xy（x2﹣4），
＝xy（x+2）（x﹣2）．
7. 分解因式：4ax2﹣4ay2＝　 　．
【答案】4a（x﹣y）（x+y）．
【解析】首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可．
4ax2﹣4ay2＝4a（x2﹣y2）
＝4a（x﹣y）（x+y）．
8. 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
【答案】（1）(b－a)(3a＋b)；（2）4(m＋2n)(2m＋n)．
【解析】若用平方差公式分解后的結果中有公因式，一定要再用提公因式法繼續分解.
(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
9.
【答案】
【解析】首先根據平方差公式進行因式分解，然后對每項合并同類項．
原式
10.分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
【答案】見解析。
【解析】(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b－1).
11. 分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　．
【答案】2（x﹣1）2．
【解析】先提取公因數2，再利用完全平方公式進行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
12. 因式分解：
【答案】
【解析】利用完全平方公式進行分解因式即可得答案．
=
=．
13. 因式分解：4a2b﹣4ab+b＝　 　．
【答案】b（2a﹣1）2．
【解析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
原式＝b（4a2﹣4a+1）
＝b（2a﹣1）2．
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