資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學八年級上冊學講練測講義
第十五章 分式
專題15.2 分式的運算
課節學習目標
1．理解并掌握分式加減法法則．會利用分式加減法法則熟練地進行異分母分式加減法計算．
2．掌握分式加減乘除法的法則，并會運用法則進行分式加減乘除法的計算．能夠運用分式加減乘除法則來解決混合運算的實際問題．
3．理解并記住分式乘方的法則．能運用乘方法則熟練地進行分式乘方運算．能分清乘方、乘除的運算順序，進行分式的乘除、乘方混合運算．
4．理解負整數指數冪．掌握整數指數冪的運算性質．
5．會用科學記數法表示小于1的正數．　　　　　　　　　　
課節知識點解讀
知識點1.分式的運算
1．分式的加減法：
（1）同分母分式相加減法則：同分母的分式相加減,分母不變，把分子相加減.用字母表示為
(c≠0)
（2）異分母分式相加減法則：異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進行計算.用字母表示為
±＝.(bd≠0)
2．分式的乘除法：
（1）乘法法則：兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為
（2）除法法則：兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.或者說除以一個分式，等于乘以這個分式的倒數。
÷＝·＝.(bcd≠0)
3. 分式的乘方：. (n為整數，b≠0)
4.分式的混合運算：在分式的混合運算中，應先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算，如果有括號，先算括號里面的．
①實數的各種運算律也適用于分式的運算；
②分式運算的結果要化成最簡分式或整式．
5.整數指數冪
（1）負整數指數冪的意義．
一般地，我們規定：當n是正整數時，
這就是說，a-n (a≠0)是an的倒數.
（2）整數指數冪的運算性質．
1)am·an=am+n ( m、n是整數) ；
2)(am)n=amn ( m、n是整數) ；
3)(ab)n=anbn ( n是整數).
（3）會用科學記數法表示小于1的數．
即利用10的負整數次冪，把一個絕對值小于1的數表示成a×10-n的形式，其中n是正整數，1 ≤a <10. n等于原數第一個非零數字前所有零的個數（特別注意：包括小數點前面這個零）.
知識點2.分式的化簡求值注意事項
1.分式的化簡求值：分式通過化簡后，代入適當的值解決問題，注意代入的值要使分式的分母不為0．靈活應用分式的基本性質，對分式進行通分和約分，一般要先分解因式．化簡求值時，一要注意整體思想，二要注意解題技巧，三要注意代入的值要使分式有意義．
2.分式的自選代值：分式的化簡求值題型中，自選代值多會設“陷阱”，因此代值時要注意：當分式運算中不含除法運算時，自選字母的值要使原分式的分母不為0；當分式運算中含有除法運算時，自選字母的值不僅要使原分式的分母不為0，還要使除式不為0．
課節知識點例題講析
考點1.分式的乘法
【例題1】計算：
(1)·； (2)·.
考點2.分式的除法
【例題2】計算：(1)－3xy÷；
(2)(xy－x2)÷.
考點3.分式的乘除混合運算
【例題3】計算：·÷.
考點4.分式的乘方
【例題4】下列運算結果不正確的是(　　)
A．()2＝()2＝
B．[－()2]3＝－()6＝－
C．[]3＝()3＝
D．(－)n＝
考點5.分式的加減法
【例題5】計算：(1)－；(2)＋.
考點6.分式的混合運算
【例題6】計算：
(1)(－)·；
(2)(x＋)÷(2＋－)．
考點7.負整數指數冪的計算
【例題7】下列式子中正確的是(　　)
A．3－2＝－6 B．3－2＝0.03 C．3－2＝－ D．3－2＝
考點8.整數指數冪的運算
【例題8】計算：
(1)(x3y－2)2；
(2)x2y－2·(x－2y)3；
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
考點9.科學記數法
【例題9】某一種重量為0.000106千克，機身由碳纖維制成，且只有昆蟲大小的機器人是全球最小的機器人，0.000106用科學記數法可表示為(　　)
A．1.06×10－4 B．1.06×10－5 C．10.6×10－5 D．106×10－6
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 若a≠b，則下列分式化簡正確的是（ ）
A. B． C． D．2. 計算的結果是（ ）
A． B． C．1 D．x+1
3. 計算：（a3b）﹣2＝（　　）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
4.化簡的結果是 .
5. 計算：的結果是　　 ．
6. 計算：．
7. 化簡：
8. 先化簡，再求值：，請從不等式組 的整數解中選擇一個合適的數求值．
9．先化簡，再求值（﹣）÷，其中a滿足a2+3a﹣2＝0．
10. 先化簡，再求值：
(1)·，其中x＝，y＝；
(2)÷，其中x＝＋1.
11. 若式子÷有意義，則x的取值范圍是(　　)
A．x≠－2，x≠－4
B．x≠－2
C．x≠－2，x≠－3，x≠－4
D．x≠－2，x≠－3
12. 老王家種植兩塊正方形土地，邊長分別為a米和b米(a≠b)，老李家種植一塊長方形土地，長為2a米，寬為b米．他們種的都是花生，并且總產量相同，試問老王家種植的花生單位面積產量是老李家種植的單位面積產量的多少倍？
13. 用小數表示下列各數：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
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第十五章 分式
專題15.2 分式的運算
課節學習目標
1．理解并掌握分式加減法法則．會利用分式加減法法則熟練地進行異分母分式加減法計算．
2．掌握分式加減乘除法的法則，并會運用法則進行分式加減乘除法的計算．能夠運用分式加減乘除法則來解決混合運算的實際問題．
3．理解并記住分式乘方的法則．能運用乘方法則熟練地進行分式乘方運算．能分清乘方、乘除的運算順序，進行分式的乘除、乘方混合運算．
4．理解負整數指數冪．掌握整數指數冪的運算性質．
5．會用科學記數法表示小于1的正數．　　　　　　　　　　
課節知識點解讀
知識點1.分式的運算
1．分式的加減法：
（1）同分母分式相加減法則：同分母的分式相加減,分母不變，把分子相加減.用字母表示為
(c≠0)
（2）異分母分式相加減法則：異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進行計算.用字母表示為
±＝.(bd≠0)
2．分式的乘除法：
（1）乘法法則：兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為
（2）除法法則：兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.或者說除以一個分式，等于乘以這個分式的倒數。
÷＝·＝.(bcd≠0)
3. 分式的乘方：. (n為整數，b≠0)
4.分式的混合運算：在分式的混合運算中，應先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算，如果有括號，先算括號里面的．
①實數的各種運算律也適用于分式的運算；
②分式運算的結果要化成最簡分式或整式．
5.整數指數冪
（1）負整數指數冪的意義．
一般地，我們規定：當n是正整數時，
這就是說，a-n (a≠0)是an的倒數.
（2）整數指數冪的運算性質．
1)am·an=am+n ( m、n是整數) ；
2)(am)n=amn ( m、n是整數) ；
3)(ab)n=anbn ( n是整數).
（3）會用科學記數法表示小于1的數．
即利用10的負整數次冪，把一個絕對值小于1的數表示成a×10-n的形式，其中n是正整數，1 ≤a <10. n等于原數第一個非零數字前所有零的個數（特別注意：包括小數點前面這個零）.
知識點2.分式的化簡求值注意事項
1.分式的化簡求值：分式通過化簡后，代入適當的值解決問題，注意代入的值要使分式的分母不為0．靈活應用分式的基本性質，對分式進行通分和約分，一般要先分解因式．化簡求值時，一要注意整體思想，二要注意解題技巧，三要注意代入的值要使分式有意義．
2.分式的自選代值：分式的化簡求值題型中，自選代值多會設“陷阱”，因此代值時要注意：當分式運算中不含除法運算時，自選字母的值要使原分式的分母不為0；當分式運算中含有除法運算時，自選字母的值不僅要使原分式的分母不為0，還要使除式不為0．
課節知識點例題講析
考點1.分式的乘法
【例題1】計算：
(1)·； (2)·.
【答案】見解析
【解析】找出公因式，然后進行約分，約分時能分解因式的先分解因式．
(1)·＝－＝－＝－；
(2)·＝·＝·＝－.
【方法總結】分子和分母都是單項式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”進行運算，其運算步驟為：(1)符號運算；(2)按分式的乘法法則運算；(3)各分式中的分子、分母都是多項式時，先因式分解，再約分．
考點2.分式的除法
【例題2】計算：(1)－3xy÷；
(2)(xy－x2)÷.
【答案】見解析
【解析】先將除法變為乘法，再利用分式的乘法法則進行運算，做乘法運算時要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再約分．
(1)－3xy÷＝－3xy·＝－；
(2)(xy－x2)÷＝(xy－x2)·＝－x(x－y)·＝－x2y.
【方法總結】確定商的符號，再把除式的分子、分母的位置顛倒與被除式相乘．
考點3.分式的乘除混合運算
【例題3】計算：·÷.
【答案】a2－a－2.
【解析】先將除法變為乘法，再根據分式的乘法運算法則進行運算．
原式＝··＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.
【方法總結】分式乘除混合運算要注意以下幾點：(1)利用分式除法法則把除法變成乘法；(2)進行約分，計算出結果．特別提醒：分式運算的最后結果是最簡分式或整式．
考點4.分式的乘方
【例題4】下列運算結果不正確的是(　　)
A．()2＝()2＝
B．[－()2]3＝－()6＝－
C．[]3＝()3＝
D．(－)n＝
【答案】D
【解析】A、B、C計算都正確；D中(－)n＝(－1)n，原題計算錯誤．故選D.
【方法總結】分式的乘方就是分子、分母分別乘方，最后化為最簡分式．
考點5.分式的加減法
【例題5】計算：(1)－；(2)＋.
【答案】見解析
【解析】按照同分母分式相加減的方法進行運算．
(1)－＝＝＝＝＝a－b；
(2)＋＝－＝＝.
【方法總結】(1)當分子是多項式，把分子相減時，千萬不要忘記加括號；(2)分式加減運算的結果，必須要化成最簡分式或整式；(3)當兩個分式的分母互為相反數時可變形為同分母的分式．
考點6.分式的混合運算
【例題6】計算：
(1)(－)·；
(2)(x＋)÷(2＋－)．
【答案】見解析
【解析】(1)原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結果；(2)原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加減法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結果．
解：(1)原式＝·＝2a＋12；
（2）原式＝÷
＝·＝.
【方法總結】分式的混合運算，要注意運算順序，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．
考點7.負整數指數冪的計算
【例題7】下列式子中正確的是(　　)
A．3－2＝－6 B．3－2＝0.03 C．3－2＝－ D．3－2＝
【答案】D
【解析】根據負整數指數冪的運算法則可知3－2＝＝.故選D.
【方法總結】負整數指數冪等于對應的正整數指數冪的倒數．
考點8.整數指數冪的運算
【例題8】計算：
(1)(x3y－2)2；
(2)x2y－2·(x－2y)3；
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
【答案】見解析
【解析】先進行冪的乘方，再進行冪的乘除，最后將整數指數冪化成正整數指數冪．
(1)原式＝x6y－4＝；
(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y＝；
(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7＝；
(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝.
【方法總結】正整數指數冪的運算性質推廣到整數范圍后，計算的最后結果常化為正整數指數冪．
考點9.科學記數法
【例題9】某一種重量為0.000106千克，機身由碳纖維制成，且只有昆蟲大小的機器人是全球最小的機器人，0.000106用科學記數法可表示為(　　)
A．1.06×10－4 B．1.06×10－5 C．10.6×10－5 D．106×10－6
【答案】A
【解析】0.000106＝1.06×10－4，故選A.
【方法總結】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10－n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 若a≠b，則下列分式化簡正確的是（ ）
A. B． C． D．
【答案】D．
【解析】根據a≠b，可以判斷各個選項中的式子是否正確，從而可以解答本題．
∵a≠b，
∴，故選項A錯誤；
，故選項B錯誤；
，故選項C錯誤；
，故選項D正確。
【點評】本題考查分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．
2. 計算的結果是（ ）
A． B． C．1 D．x+1
【答案】A
【解析】直接利用分式的加減運算法則計算得出答案．
原式．
【點評】此題主要考查了分式的加減法，正確化簡分式是解題關鍵．
3. 計算：（a3b）﹣2＝（　　）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
【答案】A
【解析】直接利用負整數指數冪的性質分別化簡得出答案．
（a3b）﹣2＝＝．
4.化簡的結果是 .
【答案】。
【解析】原式被除式括號中的第一項分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，再利用乘法分配律將括號外邊的項乘到括號中的每一項，約分后，找出兩分母的最簡公分母，通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分后得到最簡結果：
。
5. 計算：的結果是　　 ．
【答案】．
【解析】原式
．
6. 計算：．
【答案】
【解析】根據分式的加法法則和除法法則計算即可．
，
=，
=，
=．
【點睛】本題考查的是分式的混合運算，掌握分式的加法法則和除法法則是解題關鍵．
7. 化簡：
【答案】
【解析】原式括號中通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，再將分子分母分別因式分解，進而約分得到最簡結果即可．
原式
．
【點睛】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式運算法則是解本題的關鍵．
8. 先化簡，再求值：，請從不等式組 的整數解中選擇一個合適的數求值．
【答案】，3
【解析】根據分式加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后根據不等式組求出a的值并代入原式即可求出答案．
，
，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴，
∵a為整數，
∴a取0，1，2，
∵，
∴a=1，
當a=1時，原式．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練運用分式的加減運算法則以及乘除運算法則，本題屬于基礎題型．
9．先化簡，再求值（﹣）÷，其中a滿足a2+3a﹣2＝0．
【答案】見解析。
【解析】（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝
＝，
∵a2+3a﹣2＝0，
∴a2+3a＝2，
∴原式＝＝1．
10. 先化簡，再求值：
(1)·，其中x＝，y＝；
(2)÷，其中x＝＋1.
【答案】見解析
【解析】(1)利用分式的乘法法則進行計算化簡．(2)將除法轉化為乘法后約分化簡，然后代入求值．
解：(1)原式＝·＝，當x＝，y＝時，原式＝24；
(2)原式＝·＝·＝x－1，當x＝＋1時，原式＝.
【方法總結】根據分式乘除法法則將代數式進行計算化簡，再代入求值．
11. 若式子÷有意義，則x的取值范圍是(　　)
A．x≠－2，x≠－4
B．x≠－2
C．x≠－2，x≠－3，x≠－4
D．x≠－2，x≠－3
【答案】C
【解析】∵≠0，x＋2≠0，∴x＋3≠0且x＋4≠0，
解得x≠－2，x≠－3，x≠－4，故選C.
【方法總結】在分式的除法中，求字母的取值范圍時要使被除式的分母不為0，同時還要使除式的分子、分母不為0.
12. 老王家種植兩塊正方形土地，邊長分別為a米和b米(a≠b)，老李家種植一塊長方形土地，長為2a米，寬為b米．他們種的都是花生，并且總產量相同，試問老王家種植的花生單位面積產量是老李家種植的單位面積產量的多少倍？
【答案】見解析
【解析】不妨設花生的總產量是1，老王家種植的總面積為(a2＋b2)平方米，老李家種植的總面積為2ab平方米，分別求出單位面積產量，再相除即可．
設花生的總產量是1，÷＝(倍)．
答：老王家種植的花生單位面積產量是老李家種植的單位面積產量的倍．
【方法總結】此題考查分式乘除運算的運用，注意理清題意，正確列式計算即可．
13. 用小數表示下列各數：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
【答案】見解析
【解析】小數點向左移動相應的位數即可．
(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
【方法總結】將科學記數法表示的數a×10－n“還原”成通常表示的數，就是把a的小數點向左移動n位所得到的數．
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