資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024--2025學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)講練測講義
第十五章 分式
專題15.3 分式方程
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解分式方程的概念.
2．掌握分式方程的解法，會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗一個數(shù)是不是原方程的增根.
3．會分析題意找出等量關(guān)系.列出可化為一元一次方程的分式方程解決實際問題.
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 分式方程定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數(shù)；③是方程．
知識點2．解分式方程
1. 解分式方程的基本思想：
把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解這個整式方程，然后驗根，從而確定分式方程的解．
2. 解分式方程的一般方法和步驟：
①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；
②解整式方程：去括號、移項、合并同類項等；
③檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．
簡稱為一化，二解，三檢驗．
3. 分式方程的特殊解法——換元法：
換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法．
4．增根：使分式方程的最簡公分母為0的根．
（1）產(chǎn)生增根的原因：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，將其轉(zhuǎn)化為整式方程后沒有此條件限制了．
（2）分式方程的增根與無解的區(qū)別：分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．
知識點3. 分式方程的應(yīng)用
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟
(1)審清題意，并設(shè)未知數(shù)；
(2)找相等關(guān)系；
(3)列出方程；
(4)解這個分式方程；
(5)驗根（包括兩方面 :是否是分式方程的根； 是否符合題意）；
寫答案.
課節(jié)知識點例題講析
【例題1】下列方程中是分式方程的個數(shù)為　　 個。
（1） （2）
（3）　 （4）（a為字母系數(shù)）
【答案】1
【解析】分式方程首先應(yīng)為方程，然后還必須滿足有分母，并且分母中含有未知數(shù)．其中（3）是分式方程，其他的均不符合分式方程的定義。
【例題2】分式方程+1＝的解是（　?。?br/>A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝2
【答案】D
【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
去分母得：x+x﹣1＝3，
解得：x＝2，
經(jīng)檢驗x＝2是分式方程的解．
【例題3】若分式方程有增根，則a的值是(　　)
A．4 B．0或4 C．0 D．0或﹣4
【答案】A
【解析】方程兩邊同時乘以x-3得，1+x-3=a-x，
∵方程有增根，
∴x-3=0，解得x=3．
∴1+3-3=a-3，解得a=4．
【例題4】若關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【解析】直接解分式方程，再根據(jù)分母為0列方程即可．
，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
當(dāng)時，方程無解，
解得．
【例題5】若關(guān)于x的分式方程5的解為正數(shù)，則m的取值范圍為（　?。?br/>A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化為整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解為正數(shù)求出m的范圍即可．
【解析】去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），
解得：x，
由方程的解為正數(shù)，得到m+10＞0，且m+10≠4，
則m的范圍為m＞﹣10且m≠﹣6，
【例題6】若關(guān)于x=1是分式方程＋＝的解，則m的值為（ ）
A.2 B.9 C.-2 D.-9
【答案】D
【解析】將x=1帶入分式方程＋＝，
得：-2+（-m/3）=1，m=-9
D選項正確。
【例題7】根據(jù)市場需求，某藥廠要加速生產(chǎn)一批藥品，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)藥品比原計劃平均每天多生產(chǎn)500箱，現(xiàn)在生產(chǎn)6000箱藥品所需時間與原計劃生產(chǎn)4500箱藥品所需時間相同，那么原計劃平均每天生產(chǎn)多少箱藥品 設(shè)原計劃平均每天可生產(chǎn)箱藥品，則下面所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)原計劃平均每天可生產(chǎn)箱藥品，則實際每天生產(chǎn)箱藥品，再根據(jù)“生產(chǎn)6000箱藥品所需時間與原計劃生產(chǎn)4500箱藥品所需時間相同”建立方程求解即可．
解：設(shè)原計劃平均每天可生產(chǎn)箱藥品，則實際每天生產(chǎn)箱藥品，
原計劃生產(chǎn)4500箱所需要的時間為：，
現(xiàn)在生產(chǎn)6000箱所需要的時間為：，
由題意得：．
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1.解分式方程1時，去分母變形后正確的是（　?。?br/>A．2﹣（x+2）＝1 B．2﹣x+2＝x﹣1
C．2﹣（x+2）＝x﹣1 D．2+（x+2）＝x﹣1
【答案】C
【解析】分式方程變形后，乘以x﹣1去分母得到結(jié)果，即可作出判斷．
分式方程兩邊同乘（x﹣1），
去分母得：2﹣（x+2）＝x﹣1．
2．分式方程+＝1的解為（　?。?br/>A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
【答案】A
【解析】分式方程整理后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
分式方程整理得：﹣＝1，
去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
檢驗：當(dāng)x＝2時，x﹣3≠0，
∴分式方程的解為x＝2．
3．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】根據(jù)分式方程有增根可求出，方程去分母后將代入求解即可.
∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
將代入，得，
解得．
4．已知關(guān)于x的分式方程＝1的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（　　）
A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3
【答案】B
【解析】先解分式方程，令其分母不為零，再根據(jù)題意令分式方程的解大于等于0，綜合得出m的取值范圍．根據(jù)題意解分式方程，得x═，
∵2x﹣1≠0，
∴x≠，即≠，解得m≠﹣3，
∵x≥0，
∴≥0，解得m≥﹣4，
綜上，m的取值范圍是m≥﹣4且m≠﹣3．
5. 分式方程的解是_____．
【答案】x=
【解析】根據(jù)分式方程的解題步驟解出即可．
方程左右兩邊同乘x－2,得 3－x－x=x－2．
移項合并同類項,得 x=．經(jīng)檢驗, x=是方程的解．故答案為: x=．
【點睛】本題考查分式方程的解法,關(guān)鍵在于熟練掌握解法步驟注意檢驗．
6．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為_______．
【答案】1
【解析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．
方程兩邊都乘，得
∵原方程有增根，∴最簡公分母，解得，
當(dāng)時，故m的值是1，故答案為1
7．若關(guān)于x的方程無解，則m的值為________．
【答案】-1或5或
【解析】直接解方程再利用一元一次方程無解和分式方程無解分別分析得出答案.
去分母得：，可得：，
當(dāng)時，一元一次方程無解，此時，當(dāng)時，則，
解得：或.故答案為：或或.
8．若關(guān)于x的方程無解，則m的值為_______．
【答案】-1或5或
【解析】去分母得：，
可得：，
當(dāng)時，一元一次方程無解，
此時，
當(dāng)時，
則，
解得：或.
故答案為：或或.
9．解關(guān)于x的方程﹣= 時產(chǎn)生了增根，請求出所有滿足條件的k的值．
【答案】﹣5或﹣
【解析】試題分析：根據(jù)等式的性質(zhì)，可得整式方程，根據(jù)方程的增跟適合整式方程，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
試題解析：方程去分母后得：（k+2）x=-3，分以下兩種情況：
令x=1，k+2=-3，
∴k=-5
令x=-2，-2（k+2）=-3，
∴k=-，
綜上所述，k的值為-5，或-．
10．已知關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是 .
【答案】且．
【解析】∵分式方程解為負(fù)數(shù)，∴.
由得和∴的取值范圍是且．
11．某工廠計劃加工一批零件240個，實際每天加工零件的個數(shù)是原計劃的1.5倍，結(jié)果比原計劃少用2天．設(shè)原計劃每天加工零件x個，可列方程　 ．
【答案】2．
【解析】設(shè)原計劃每天加工零件x個，則實際每天加工零件1.5x個，根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率結(jié)合實際比原計劃少用2天，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
設(shè)原計劃每天加工零件x個，則實際每天加工零件1.5x個，
依題意，得：2．
12. 方程的解為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
去分母得：，
去括號得：，
移項、合并同類項得：，
解得：x=9，
經(jīng)檢驗：x=9是原分式方程的解，故選：C．
【點睛】考查解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗，避免出現(xiàn)增根．
13. 為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊買了兩種價格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費30元，熒光棒共花費40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價為x元，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br/>A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【答案】B
【解析】若設(shè)熒光棒的單價為x元，則繽紛棒單價是1.5x元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比熒光棒少20根”可列方程即可．
若設(shè)熒光棒的單價為x元，則繽紛棒單價是1.5x元，
根據(jù)題意可得：﹣＝20．
14. 八年級學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍．設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時，則所列方程正確的是（　?。?br/>A．-=20 B．-=20 C．-= D．=
【答案】C
【解析】根據(jù)八年級學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到哪個選項是正確的．
由題意可得，-=，故選：C．
15. 關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組的解集為，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 20
【答案】A
【解析】先通過分式方程求出a的一個取值范圍，再通過不等式組的解集求出a的另一個取值范圍，兩個范圍結(jié)合起來就得到a的有限個整數(shù)解．
【詳解】由分式方程的解為整數(shù)可得：
解得：
又題意得：且
∴且，
由得：
由得：
∵解集為
∴
解得：
綜上可知a的整數(shù)解有：3，4，6
它們的和為：13, 故選：A．
【點睛】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等數(shù)組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是本題關(guān)鍵．
16．方程的解是______．
【答案】
【解析】方程兩邊都乘以，化分式方程為整式方程，得出的值，再檢驗即可得出方程的解．
方程兩邊都乘以，得：，解得：，
檢驗：時，，所以分式方程的解為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．
17．為增加學(xué)生閱讀量，某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍，購買“科普類”圖書花費了3600元，購買“文學(xué)類”圖書花費了2700元，其中“科普類”圖書的單價比“文學(xué)類”圖書的單價多20%，購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本．
（1）求這兩種圖書的單價分別是多少元？
（2）學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本，且總費用不超過1600元，求最多能購買“科普類”圖書多少本？
【答案】見解析。
【解析】（1）首先設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價為x元/本，則“科普類”圖書的單價為（1+20%）x元/本，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：3600元購買的科普類圖書的本數(shù)﹣20＝用2700元購買的文學(xué)類圖書的本數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．
（2）設(shè)“科普類”書購a本，則“文學(xué)類”書購（100﹣a）本，根據(jù)“費用不超過1600元”列出不等式并解答．
解：（1）設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價為x元/本，則“科普類”圖書的單價為（1+20%）x元/本，
依題意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
經(jīng)檢驗，x＝15是所列分程的根，且合實際，
所以（1+20%）x＝18．
答：科普類書單價為18元/本，文學(xué)類書單價為15元/本；
（2）設(shè)“科普類”書購a本，則“文學(xué)類”書購（100﹣a）本，
依題意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤．
因為a是正整數(shù)，
所以a最大值＝33．
答：最多可購“科普類”圖書33本．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024--2025學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)講練測講義
第十五章 分式
專題15.3 分式方程
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解分式方程的概念.
2．掌握分式方程的解法，會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗一個數(shù)是不是原方程的增根.
3．會分析題意找出等量關(guān)系.列出可化為一元一次方程的分式方程解決實際問題.
課節(jié)知識點解讀
知識點1. 分式方程定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數(shù)；③是方程．
知識點2．解分式方程
1. 解分式方程的基本思想：
把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解這個整式方程，然后驗根，從而確定分式方程的解．
2. 解分式方程的一般方法和步驟：
①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；
②解整式方程：去括號、移項、合并同類項等；
③檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．
簡稱為一化，二解，三檢驗．
3. 分式方程的特殊解法——換元法：
換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法．
4．增根：使分式方程的最簡公分母為0的根．
（1）產(chǎn)生增根的原因：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，將其轉(zhuǎn)化為整式方程后沒有此條件限制了．
（2）分式方程的增根與無解的區(qū)別：分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．
知識點3. 分式方程的應(yīng)用
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟
(1)審清題意，并設(shè)未知數(shù)；
(2)找相等關(guān)系；
(3)列出方程；
(4)解這個分式方程；
(5)驗根（包括兩方面 :是否是分式方程的根； 是否符合題意）；
寫答案.
課節(jié)知識點例題講析
【例題1】下列方程中是分式方程的個數(shù)為　　 個。
（1） （2）
（3）　 （4）（a為字母系數(shù)）
【例題2】分式方程+1＝的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝2
【例題3】若分式方程有增根，則a的值是(　　)
A．4 B．0或4 C．0 D．0或﹣4
【例題4】若關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【例題5】若關(guān)于x的分式方程5的解為正數(shù)，則m的取值范圍為（　?。?br/>A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
例題6】若關(guān)于x=1是分式方程＋＝的解，則m的值為（ ）
A.2 B.9 C.-2 D.-9
【例題7】根據(jù)市場需求，某藥廠要加速生產(chǎn)一批藥品，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)藥品比原計劃平均每天多生產(chǎn)500箱，現(xiàn)在生產(chǎn)6000箱藥品所需時間與原計劃生產(chǎn)4500箱藥品所需時間相同，那么原計劃平均每天生產(chǎn)多少箱藥品 設(shè)原計劃平均每天可生產(chǎn)箱藥品，則下面所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉
1.解分式方程1時，去分母變形后正確的是（　?。?br/>A．2﹣（x+2）＝1 B．2﹣x+2＝x﹣1
C．2﹣（x+2）＝x﹣1 D．2+（x+2）＝x﹣1
2．分式方程+＝1的解為（　?。?br/>A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
3．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知關(guān)于x的分式方程＝1的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（　?。?br/>A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3
5. 分式方程的解是_____．
6．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為_______．
7．若關(guān)于x的方程無解，則m的值為________．
8．若關(guān)于x的方程無解，則m的值為_______．
9．解關(guān)于x的方程﹣= 時產(chǎn)生了增根，請求出所有滿足條件的k的值．
10．已知關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是 .
11．某工廠計劃加工一批零件240個，實際每天加工零件的個數(shù)是原計劃的1.5倍，結(jié)果比原計劃少用2天．設(shè)原計劃每天加工零件x個，可列方程　 ．
12. 方程的解為（ ）
A. B. C. D.
13. 為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊買了兩種價格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費30元，熒光棒共花費40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價為x元，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br/>A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
14. 八年級學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍．設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時，則所列方程正確的是（　?。?br/>A．-=20 B．-=20 C．-= D．=
15. 關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組的解集為，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 20
16．方程的解是______．
17．為增加學(xué)生閱讀量，某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍，購買“科普類”圖書花費了3600元，購買“文學(xué)類”圖書花費了2700元，其中“科普類”圖書的單價比“文學(xué)類”圖書的單價多20%，購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本．
（1）求這兩種圖書的單價分別是多少元？
（2）學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本，且總費用不超過1600元，求最多能購買“科普類”圖書多少本？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑