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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024--2025學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)講練測講義
第十五章 分式
專題15.1 分式
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解分式的概念，能判斷一個代數(shù)式是否為分式，會求分式的值．
2．理解當(dāng)分母不為零時分式才有意義；在分式有意義的條件下，會求分式的分母中所含字母的取值范圍；會確定分式的值為零的條件．
3．理解并掌握分式的基本性質(zhì)和符號法則．
4．理解分式的約分、通分的意義，明確分式約分、通分的理論依據(jù)．能正確、熟練地運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，對分式進(jìn)行約分和通分．
課節(jié)知識點(diǎn)解讀
知識點(diǎn)1. 分式的概念
1．分式：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母且B不等于0，那么式子叫做分式．分式中，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
三個條件缺一不可：①是形如的式子；②A，B為整式；③分母B中含有字母且B≠0．
2．有意義的條件：分母B的值不為零 (B≠0) .
3.分式的值為零的條件：當(dāng)分子為零，且分母不為零時，分式的值為零．(A=0且B≠0)
知識點(diǎn)2. 分式的基本性質(zhì)
分式的基本性質(zhì)：， (M為不等于零的整式)．
知識點(diǎn)3. 分式的約分與通分
1．約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
2．最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．
3．通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最簡公分母：幾個分式中，各分母的所有因式的最高次冪的積．
5. 變號法則： ．
課節(jié)知識點(diǎn)例題講析
考點(diǎn)1. 分式的概念
【例題1】在式子、、、、＋、9x＋中，分式的個數(shù)有(　　)
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【解析】、、9x＋這3個式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故選B.
【方法總結(jié)】分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常數(shù)．
【例題2】觀察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)．
(1)根據(jù)上述分式的規(guī)律寫出第6個分式；
(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第n(n為正整數(shù))個分式，并簡單說明理由．
【答案】見解析
【解析】(1)根據(jù)已知分式的分子與分母的次數(shù)與系數(shù)關(guān)系得出答案；(2)利用(1)中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律得出答案．
解：(1)觀察各分式的規(guī)律可得：第6個分式為－；(2)由已知可得：第n(n為正整數(shù))個分式為(－1)n＋1×，理由：∵分母的底數(shù)為y，次數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)，分子底數(shù)是x，次數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，且偶數(shù)個為負(fù)，∴第n(n為正整數(shù))個分式為(－1)n＋1×.
【方法總結(jié)】此題主要考查了分式的定義以及數(shù)字變化規(guī)律，得出分子與分母的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【例題3】每千克m元的糖果x千克與每千克n元的糖果y千克混合成雜拌糖，這樣混合后的雜拌糖果每千克的價格為(　　)
A.元 B.元 C.元 D.(＋)元
【答案】B
【解析】由題意可得雜拌糖每千克的價格為元．故選B.
【方法總結(jié)】解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系，列出代數(shù)式．
考點(diǎn)2.分式有意義或無意義的條件
【例題4】分式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是(　　)
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上結(jié)果都不對
【答案】C
【解析】∵分式有意義，∴(x－1)(x－2)≠0，
∴x－1≠0且x－2≠0，
∴x≠1且x≠2.
故選C.
【方法總結(jié)】分式有意義的條件是分母不等于零．
【例題5】使分式無意義的x的值是(　　)
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
【答案】C
【解析】由分式有意義的條件得3x－1≠0，解得x≠.
則分式無意義的條件是x＝，故選C.
【方法總結(jié)】分式無意義的條件是分母等于零．
【例題6】若使分式的值為零，則x的值為(　　)
A．－1 B．1或－1 C．1 D．以上都不對
【答案】C
【解析】由題意得x2－1＝0且x＋1≠0，
解得x＝1，故選C.
【方法總結(jié)】分式的值為零的條件：(1)分子為0；(2)分母不為0.這兩個條件缺一不可．
考點(diǎn)3. 分式的基本性質(zhì)
【例題7】下列式子從左到右的變形一定正確的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【答案】C
【解析】A中在分式的分子與分母上同時加上3不符合分式的基本性質(zhì)，故A錯誤；B中當(dāng)c＝0時不成立，故B錯誤；C中分式的分子與分母同時除以3，分式的值不變，故C正確；D中分式的分子與分母分別乘方，不符合分式的基本性質(zhì)，故D錯誤；故選C.
【方法總結(jié)】考查分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變．
【例題8】不改變分式的值，把它的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，所得結(jié)果正確的
為(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用分式的基本性質(zhì)，把的分子、分母都乘以10得.故選C.
【方法總結(jié)】觀察分式的分子和分母，要使分子與分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，只需根據(jù)分式的基本性質(zhì)讓分子和分母同乘以某一個數(shù)即可．
【例題9】不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”號．
(1)； (2)； (3).
【答案】見解析
【解析】在分子的符號，分母的符號，分式本身的符號三者當(dāng)中同時改變其中的兩個，分式的值不變．
解：(1)原式＝－；(2)原式＝－；(3)原式＝－.
【方法總結(jié)】這類題目容易出現(xiàn)的錯誤是把分子的符號，分母的項(xiàng)的符號，特別是首項(xiàng)的符號當(dāng)成分子或分母的符號．
考點(diǎn)4.最簡分式、分式的約分和通分
【例題10】下列分式是最簡分式的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A中該分式的分子、分母含有公因式a，則它不是最簡分式．錯誤；B中該分式的分子、分母含有公因數(shù)3，則它不是最簡分式．錯誤；C中分子為(x＋1)(x－1)，所以該分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，則它不是最簡分式．錯誤；D中該分式符合最簡分式的定義．正確．故選D.
【方法總結(jié)】最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含公因式．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無公因式．
【例題11】約分：(1)；(2).
【答案】見解析
【解析】先找分子、分母的公因式，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)把公因式約去．
(1)＝＝－；
(2)＝＝.
【方法總結(jié)】約分的步驟：(1)找公因式．當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時應(yīng)先分解因式；(2)約去分子、分母的公因式．
【例題12】通分：
(1)，，；
(2)，，.
【答案】見解析
【解析】確定最簡公分母再通分．
(1)最簡公分母為30a2b2c2，＝，＝－，＝；
(2)最簡公分母為a(a＋2)(a－2)，＝，＝，＝.
【方法總結(jié)】通分的一般步驟：(1)確定分母的最簡公分母．(2)用最簡公分母分別除以各分母求商．(3)用所得到的商分別乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．
深化對課節(jié)知識點(diǎn)理解的試題專煉
1. 代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（　　）
A.2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】B
【解析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可．
分母中含有字母的是，，，
∴分式有3個，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．
2．在，，，2m，，中，不是分式的式子有(　　)個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C　
【解析】形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.
，2m，不是分式．
3. 從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個構(gòu)成分式，共可以構(gòu)成________個分式．
【答案】6　
【解析】以a－1為分母，可構(gòu)成3個分式；以x2＋5為分母，可構(gòu)成3個分式，所以共可構(gòu)成6個分式．
4. 若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
【答案】D
【解析】分式有意義的條件是分母不為0．
∵代數(shù)式有意義，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3．
【點(diǎn)撥】本題運(yùn)用了分式有意義的條件知識點(diǎn)，關(guān)鍵要知道分母不為0是分式有意義的條件．
5.下列各式與相等的是( )
A. ; B. ; C. D.
【答案】C
【解析】 分式的基本性質(zhì)是一切分式運(yùn)算的基礎(chǔ),分子與分母只能同乘以(或除以)同一個不等于零的整式,而不能同時加上(或減去)同一個整式.
根據(jù)分式的基本性質(zhì)易發(fā)現(xiàn)C成立.
6.下列分式的變形是否正確，為什么？
（1） （2）
【答案】見解析。
【解析】（1）∵已知分式中已隱含了，∴用分別乘以分式的分子、分母，分式的值不變，故（1）是正確的.
（2）因?yàn)橐阎质街校瑳]限制，可以取任意數(shù)，當(dāng)然也包括了，當(dāng)分式的分子、分母都乘以時，分式?jīng)]意義，故（2）是錯誤的.
7.已知不論取什么數(shù)時，分式（）都是一個定值，求、應(yīng)滿足的關(guān)系式，并求出這個定值.
【答案】見解析。
【解析】在研究某些有關(guān)特值的數(shù)學(xué)問題時，我們可以不考慮一般值，而是直接利用取符合條件特殊值代入研究解決，這就是所謂的特殊值法.
當(dāng)時，
時，
∵不論取什么實(shí)數(shù)，是一個定值
∴，∴
∵ ∴
把代入原式，得
∴、的關(guān)系為；定值為
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第十五章 分式
專題15.1 分式
課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解分式的概念，能判斷一個代數(shù)式是否為分式，會求分式的值．
2．理解當(dāng)分母不為零時分式才有意義；在分式有意義的條件下，會求分式的分母中所含字母的取值范圍；會確定分式的值為零的條件．
3．理解并掌握分式的基本性質(zhì)和符號法則．
4．理解分式的約分、通分的意義，明確分式約分、通分的理論依據(jù)．能正確、熟練地運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，對分式進(jìn)行約分和通分．
課節(jié)知識點(diǎn)解讀
知識點(diǎn)1. 分式的概念
1．分式：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母且B不等于0，那么式子叫做分式．分式中，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
三個條件缺一不可：①是形如的式子；②A，B為整式；③分母B中含有字母且B≠0．
2．有意義的條件：分母B的值不為零 (B≠0) .
3.分式的值為零的條件：當(dāng)分子為零，且分母不為零時，分式的值為零．(A=0且B≠0)
知識點(diǎn)2. 分式的基本性質(zhì)
分式的基本性質(zhì)：， (M為不等于零的整式)．
知識點(diǎn)3. 分式的約分與通分
1．約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
2．最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．
3．通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最簡公分母：幾個分式中，各分母的所有因式的最高次冪的積．
5. 變號法則： ．
課節(jié)知識點(diǎn)例題講析
考點(diǎn)1. 分式的概念
【例題1】在式子、、、、＋、9x＋中，分式的個數(shù)有(　　)
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【例題2】觀察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)．
(1)根據(jù)上述分式的規(guī)律寫出第6個分式；
(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第n(n為正整數(shù))個分式，并簡單說明理由．
【例題3】每千克m元的糖果x千克與每千克n元的糖果y千克混合成雜拌糖，這樣混合后的雜拌糖果每千克的價格為(　　)
A.元 B.元 C.元 D.(＋)元
考點(diǎn)2.分式有意義或無意義的條件
【例題4】分式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是(　　)
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上結(jié)果都不對
【例題5】使分式無意義的x的值是(　　)
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
【例題6】若使分式的值為零，則x的值為(　　)
A．－1 B．1或－1 C．1 D．以上都不對
考點(diǎn)3. 分式的基本性質(zhì)
【例題7】下列式子從左到右的變形一定正確的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【例題8】不改變分式的值，把它的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，所得結(jié)果正確的
為(　　)
A. B. C. D.
【例題9】不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”號．
(1)； (2)； (3).
考點(diǎn)4.最簡分式、分式的約分和通分
【例題10】下列分式是最簡分式的是(　　)
A. B. C. D.
【例題11】約分：(1)；(2).
【例題12】通分：
(1)，，；
(2)，，.
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1. 代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（　　）
A.2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
2．在，，，2m，，中，不是分式的式子有(　　)個．
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個構(gòu)成分式，共可以構(gòu)成________個分式．
4. 若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
5.下列各式與相等的是( )
A. ; B. ; C. D.
6.下列分式的變形是否正確，為什么？
（1） （2）
7.已知不論取什么數(shù)時，分式（）都是一個定值，求、應(yīng)滿足的關(guān)系式，并求出這個定值.
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