資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十一章 一元二次方程
專題21.2 解一元二次方程
課節學習目標
1. 會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.
2. 運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
3. 了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.
4. 經歷求根公式的推導過程.會用公式法解簡單系數的一元二次方程.
5. 理解并會計算一元二次方程根的判別式.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況.
6. 理解用因式分解法解方程的依據.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
7. 會根據方程的特點選用恰當的方法解一元二次方程.
課節知識點解讀
知識點. 一元二次方程的解法
有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法。
（1）直接開方法。適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：
①化簡——把方程化為一般形式，并把二次項系數化為1；
②移項——把常數項移項到等號的右邊；
③配方——兩邊同時加上b2，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；
④開方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。當b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的實數根可寫為：
的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根。
，
②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根。
③b2-4ac＜0時，方程無實數根。
定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
課節知識點例題講析
考點1. 解一元二次方程
【例題1】一元二次方程(x+2000)2＝1的解為（ ）
A．﹣1999，﹣2001 B．﹣1999 C．﹣2001 D．﹣2000
【例題2】一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化為（　　）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
【例題3】解方程：x2﹣2x﹣1=0．
【例題4】方程2x2+1=3x解為________．
考點2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式的應用
【例題5】 （2023吉林省）一元二次方程根的判別式的值是（ ）
A. 33 B. 23 C. 17 D.
【例題6】 （2023四川廣元）關于x的一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（　　）
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根 D. 無法確定
【例題7】（2023江蘇揚州）關于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是______．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．有下列方程：
①x2-2x=0； ②9x2-25=0； ③(2x-1)2=1； ④．
其中能用直接開平方法做的是( )
A． B． C． D．
2. 用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（　　）
A. B. C. D.
3．用配方法解方程，變形結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．關于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解為（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
5．已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實根，則k的值為（ ）
A． B． C．2或3 D．或
6. 對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則它根的情況為（　　）
A．沒有實數根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個不相等的實數根
7．關于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解為（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
8．如果關于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0經配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____．
10. 若一元二次方程有兩個相等的實數根，則________．
11.設與為一元二次方程的兩根，則的值為______．
12．若關于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數解，那么實數a的取值范圍是　 　．
13．關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是_____．
14．解方程：(x+5)2+16=80；
15.解方程：．
16. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
17．選擇因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x
18.用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
19.我們知道，那么就可轉化
為，請你用上面的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
20.用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接開平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十一章 一元二次方程
專題21.2 解一元二次方程
課節學習目標
1. 會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.
2. 運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
3. 了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.
4. 經歷求根公式的推導過程.會用公式法解簡單系數的一元二次方程.
5. 理解并會計算一元二次方程根的判別式.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況.
6. 理解用因式分解法解方程的依據.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
7. 會根據方程的特點選用恰當的方法解一元二次方程.
課節知識點解讀
知識點. 一元二次方程的解法
有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法。
（1）直接開方法。適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：
①化簡——把方程化為一般形式，并把二次項系數化為1；
②移項——把常數項移項到等號的右邊；
③配方——兩邊同時加上b2，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；
④開方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。當b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的實數根可寫為：
的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根。
，
②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根。
③b2-4ac＜0時，方程無實數根。
定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
課節知識點例題講析
考點1. 解一元二次方程
【例題1】一元二次方程(x+2000)2＝1的解為（ ）
A．﹣1999，﹣2001 B．﹣1999 C．﹣2001 D．﹣2000
【答案】A
【解析】（x+2000）2=1
x+2000=±1，
所以x1=-2001，x2=-1999．
【例題2】一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化為（　　）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
【答案】B．
【解析】y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
【例題3】解方程：x2﹣2x﹣1=0．
【答案】x1=1+，x2=1﹣．
【解析】a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有兩個不相等的實數根，
x===1，
則x1=1+，x2=1﹣．
【例題4】方程2x2+1=3x解為________．
【答案】
【解析】先移項，再利用因式分解法解答，即可求解．
移項得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關鍵．
考點2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式的應用
【例題5】 （2023吉林省）一元二次方程根的判別式的值是（ ）
A. 33 B. 23 C. 17 D.
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判別式求出答案．
∵，，，
∴．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關鍵．
【例題6】 （2023四川廣元）關于x的一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（　　）
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根 D. 無法確定
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得．
，
其中，，，
∴，
∴方程沒有實數根．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
【例題7】（2023江蘇揚州）關于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是______．
【答案】k＜1．
【解析】由方程有兩個不等實數根可得出關于k的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．
∵關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數根，
∴△=，
解得：，
故答案為.
【點睛】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關鍵是得出關于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有兩個不相等的實數根，則△=”是解答本題的關鍵.
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．有下列方程：
①x2-2x=0； ②9x2-25=0； ③(2x-1)2=1； ④．
其中能用直接開平方法做的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①x2-2x=0，因式分解法；
②9x2-25=0，直接開平方法；
③(2x-1)2=1，直接開平方法；
④，直接開平方法，
則能用直接開平方法做的是②③④.
2. 用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果．
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
3．用配方法解方程，變形結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據配方法的定義,將方程的二次項系數化為1, 得：
，配方得，
即:．
4．關于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解為（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C．
【解析】x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3
5．已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實根，則k的值為（ ）
A． B． C．2或3 D．或
【答案】A
【解析】∵方程有兩個相等的實根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k=．
6. 對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則它根的情況為（　　）
A．沒有實數根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個不相等的實數根
【答案】A
【解析】根據方程的系數結合根的判別式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，進而可得出該方程沒有實數根（若方程有實數根，再利用根與系數的關系去驗證B，C兩個選項）．
∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0沒有實數根．
7．關于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解為（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
【解析】x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3
8．如果關于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
【答案】
【解析】直接利用一元二次方程的定義得出m的取值范圍，再代入方程解方程即可．
由題意得：，
∴m=1，
原方程變為：﹣x2+2=0，
x=
9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0經配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____．
【答案】3
【解析】x2﹣4x=﹣k，
x2﹣4x+4=4﹣k，
（x﹣2）2=4﹣k，
所以4﹣k=1，
解得：k=3．
10. 若一元二次方程有兩個相等的實數根，則________．
【答案】2
【解析】由方程有兩個相等的實數根可知，利用根的判別式等于0即可求m的值，
由題意可知：
，，
，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式求參數：方程有兩個不相等的實數根時，；方程有兩個相等的實數根時，；方程無實數根時，等知識．會運用根的判別式和準確的計算是解決本題的關鍵．
11.設與為一元二次方程的兩根，則的值為______．
【答案】20
【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案為：20；
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解題關鍵．
12．若關于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數解，那么實數a的取值范圍是　 　．
【答案】a≥﹣1．
【解析】此題考查了根的判別式，注意本題分a=0與a≠0兩種情況討論是解決本題的關鍵．并且利用了一元二次方程若有實數根則應有△≥0．
當a=0時，方程是一元一次方程，有實數根，
當a≠0時，方程是一元二次方程，
若關于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數解，
則△=[2（a+2）]2﹣4a a≥0，
解得：a≥﹣1．
13．關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是_____．
【答案】且k≠0
【解析】∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴
解得：﹣≤k＜且k≠0
故答案為﹣≤k＜且k≠0．
14．解方程：(x+5)2+16=80；
【答案】x1=-13，x2=3
【解析】（x+5）2+16=80，
移項，得（x+5）2=64，
∴x+5=±8，∴x=-5±8，
∴x1=-13，x2=3。
15.解方程：．
【答案】，
【解析】首先將方程進行因式分解，然后根據因式分解的結果求出方程的解．
∴或
∴，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握因式分解法求解方程．
16. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【答案】x1=3或x2=．
【解析】移項后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移項得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=．
17．選擇因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x
【答案】x1＝1，x2＝﹣．
【解析】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
18.用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
【答案】見解析
【解析】用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后正確代入求根公式
，即可.
（1），，,
∴,
∴,
∴，．
（2）將方程化為一般形式，
∴，，,
∴,
∴，∴，．
（3），，,
∴，
∵在實數范圍內，負數不能開平方，∴此方程無實數根．
19.我們知道，那么就可轉化
為，請你用上面的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1），.
（2），.
（3），.
【解析】（1）∵，∴，
∴或，∴，.
（2）∵，∴，
∴或，∴，.
（3）∵，∴，
∴或，∴，.
20.用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接開平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【答案】見解析。
【解析】（1）方程變形后，利用平方根的定義開方即可求出解；
（2）方程常數項移到右邊，兩邊加上一次項系數一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方即可求出解；
（3）方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，當根的判別式大于等于0時，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左邊提取公因式化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．
解：（1）方程變形得：（x﹣1）2＝9，
開方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程變形得：x2x，
配方得：x2x（x）2，
開方得：x±，
則x1，x2；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
這里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x，
則x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
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