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中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十一章 一元二次方程
專題21.3 韋達定理（拓展）
課節學習目標
1.探索一元二次方程的根與系數的關系.
2.不解方程,利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.
課節知識點解讀
韋達定理（一元二次方程根與系數的關系）
如果方程的兩個實數根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。
課節知識點例題講析
【例題1】若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，則+的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【答案】C．
【解析】∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣．
【例題2】 （2023內蒙古包頭）若是一元二次方程的兩個實數根，則________．
【答案】##
【解析】由一元二次方程的根與系數的關系得，，，然后代入求解即可．
由一元二次方程的根與系數的關系得，，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，代數式求值．解題的關鍵在于熟練掌握：一元二次方程的兩個實數根，滿足，．
【例題3】（2023湖北天門）已知關于x的一元二次方程．
（1）求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；
（2）設該方程的兩個實數根為a，b，若，求m的值．
【答案】（1）證明見解析 （2）的值為1或
【解析】【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式可進行求解；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系可進行求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根．
（2）∵的兩個實數根為，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值為1或．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1． 已知關于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，且x12+x22＝5，則k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】利用根與系數的關系得出x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，進而得出關于k的一元二次方程求出即可．
∵關于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1．
2.若關于的一元二次方程的兩個實數根分別是,且滿足.則的值為（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
【答案】C注意:的值不僅須滿足,更須在一元二次方程有根的大前提下才有意義,即的值必須使得△才可以.)
【解析】由一元二次方程根與系數的關系可得：，
∵，∴，解得，.
當時,△＝,此時方程無實數根,故不合題意,舍去.
當時,△＝,故 符合題意.綜上所述,.故選C.
3. 設x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則x1+x2的值為（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根據一元二次方程的根與系數的關系x1+x2＝﹣可以直接求得x1+x2的值．
∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次項系數是a＝1，二次項系數b＝2，
∴由韋達定理，得
x1+x2＝2．
4．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的兩根，則x1﹣x1x2+x2的值是（　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的兩根，
∴x1+x2=﹣=﹣，x1 x2==﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=．
5. 已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（ ）
A. 7 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】根據根與系數關系求出=3，a=3，再求代數式的值即．
∵一元二次方程的兩根分別記為，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．故選B．
【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數關系，代數式的值，掌握一元二次方程的根與系數關系，代數式的值是解題關鍵．
6．關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數根x1，x2，滿足x1x2＝2，則（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【答案】C
【解析】根據一元二次方程根與系數的關系得到x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，進而求得m＝2或m＝﹣1，從而求得x1+x2＝﹣4或2，把原式變形，代入計算即可．
關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數根x1，x2，滿足x1x2＝2，
則x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣4或2，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
當x1+x2＝﹣4時，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
當x1+x2＝2時，原式＝22+2×22﹣4×2+4＝8．
7．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣5x1﹣2x2的值為（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
【答案】A
【解析】根據根與系數的關系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，將其代入變形后的代數式中即可求出結論．
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
8． 已知關于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數根x1，x2，則（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
【答案】D
【解析】根據判別式的意義得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，再利用根與系數的關系得到x1+x2＝2，x1x2＝m，然后對各選項進行判斷．
根據題意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，
所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．
9. （2023湖南岳陽）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數_________．
【答案】3
【解析】利用一元二次方程有兩個不相等的實數根求出m的取值范圍，由根與系數關系得到，代入，解得的值，根據求得的m的取值范圍，確定m的值即可．
【詳解】∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合題意，舍去），
∴
故答案為：3
【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數關系，熟練掌握根的判別式和根與系數關系的內容是解題的關鍵．
10. （2023湖北黃岡）已知一元二次方程兩個實數根為，若，則實數_____．
【答案】
【解析】根據一元二次方程的根與系數的關系，得出，代入已知等式，即可求解．
∵一元二次方程的兩個實數根為，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．
11．關于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【解析】根據根與系數的關系結合x1+x2=x1 x2可得出關于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根據方程有實數根結合根的判別式即可得出關于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，從而可確定k的值．
∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數根分別是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1 x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1 x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4
12. 已知是一元二次方程的兩個根，則__________．
【答案】
【解析】運用一元二次方程根與系數的關系求解即可．
∵是一元二次方程的兩個根，
根據根與系數的關系得：，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟知是解題關鍵．
13．已知實數a、b滿足+|b+3|＝0，若關于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數根分別為x1、x2，則+＝　　．
【答案】﹣．
【解析】根據非負數的性質得出a＝2，b＝3，根據根與系數的關系可得x1+x2＝2，x1 x2＝3，將+變形為，整體代入即可求得．
∵實數a、b滿足+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵關于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數根分別為x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1 x2＝b＝﹣3，
∴+＝＝﹣．
14. 設是關于x的方程的兩個根，且，則_______．
【答案】2
【解析】先利用根與系數的關系中兩根之和等于3，求出該方程的兩個根，再利用兩根之積得到k的值即可．由根與系數的關系可得：，，
∵，
∴，∴，∴，
∴．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數之間的關系，解決本題的關鍵是牢記公式，即對于一元二次方程，其兩根之和為 ，兩根之積為．
15. 已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的兩根分別為m，n，則+的值為 　　．
【答案】．
【解析】由根與系數的關系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的兩根分別為m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝．
16．一元二次方程的兩根為，則_____
【答案】
【解析】根據根與系數的關系表示出和即可；
∵，∴，，，
∴，，
∴
=
=．
17. 已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數根分別為x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【答案】見解析。
【解析】（1）根據判別式的意義得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解關于m的不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整體代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解關于m的方程即可．
【解答】（1）根據題意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范圍是m≤0；
（2）根據題意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值為﹣2．
18．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實數根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在實數m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析。
【解析】（1）先利用判別式的意義得到m≤5，再利用根與系數的關系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范圍確定m的值．
解：（1）根據題意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
19. 已知關于x方程有兩實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）設方程兩實數根分別為、，且，求實數k的值．
【答案】（1）k≤3；（2）．
【解析】（1）根據方程有兩個實數根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根與系數的關系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根據條件可得到關于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進行取舍．
解：（1）∵關于x的一元二次方程有兩個實數根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范圍為：k≤3．
（2）由根與系數的關系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2值，可得：
解得：，（舍去），
經檢驗，是原方程的根，
故．
【點睛】考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△＝0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根以及根與系數的關系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要驗根．
20. 已知關于x的一元二次方程有實數根．
（1）求實數k的取值范圍．
（2）設方程的兩個實數根分別為，若，求k的值．
【答案】（1）k； （2）k=3
【解析】（1）∵一元二次方程有實數根．
∴ 0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的兩個實數根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系式，熟練掌握一元二次方程有關知識是解題的關鍵．
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十一章 一元二次方程
專題21.3 韋達定理（拓展）
課節學習目標
1.探索一元二次方程的根與系數的關系.
2.不解方程,利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.
課節知識點解讀
韋達定理（一元二次方程根與系數的關系）
如果方程的兩個實數根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。
課節知識點例題講析
【例題1】若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，則+的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【例題2】 （2023內蒙古包頭）若是一元二次方程的兩個實數根，則________．
【例題3】（2023湖北天門）已知關于x的一元二次方程．
（1）求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；
（2）設該方程的兩個實數根為a，b，若，求m的值．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1． 已知關于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，且x12+x22＝5，則k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
2.若關于的一元二次方程的兩個實數根分別是,且滿足.則的值為（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
3. 設x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則x1+x2的值為（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
4．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的兩根，則x1﹣x1x2+x2的值是（　）
A． B． C． D．
5. 已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（ ）
A. 7 B. C. 6 D.
6．關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數根x1，x2，滿足x1x2＝2，則（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
7．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣5x1﹣2x2的值為（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
8． 已知關于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數根x1，x2，則（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
9. （2023湖南岳陽）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數_________．
10. （2023湖北黃岡）已知一元二次方程兩個實數根為，若，則實數_____．
11．關于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____．
12. 已知是一元二次方程的兩個根，則__________．
13．已知實數a、b滿足+|b+3|＝0，若關于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數根分別為x1、x2，則+＝　　．
14. 設是關于x的方程的兩個根，且，則_______．
15. 已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的兩根分別為m，n，則+的值為 　　．
16．一元二次方程的兩根為，則_____
17. 已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數根分別為x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
18．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實數根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在實數m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．
19. 已知關于x方程有兩實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）設方程兩實數根分別為、，且，求實數k的值．
20. 已知關于x的一元二次方程有實數根．
（1）求實數k的取值范圍．
（2）設方程的兩個實數根分別為，若，求k的值．
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