資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十一章 一元二次方程
專題21.1 一元二次方程
課節學習目標
1.正確理解一元二次方程的意義，并能判斷一個方程是否是一元二次方程；
2.知道一元二次方程的一般形式是是常數，） ，能說出二次項及其系數，一次項及其系數和常數項；
3.理解并會用一元二次方程一般形式中a≠0這一條件；
4.能利用一元二次方程的根的定義解決一些問題。
課節知識點解讀
知識點1. 一元二次方程的概念
只含有一個未知數的整式方程，并且都可以化為 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)的形式，這
樣的方程叫做一元二次方程．
知識點2. 一元二次方程的一般形式
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c為常數，a≠0)
（1）二次項為： ax2
（2）二次項系數為：a
（3）一次項為： bx
（4）一次項系數為：b
（5）常數項為：c
知識點3.一元二次方程的根
能使方程左右兩邊相等的未知數的值就叫方程的解。只含有一個未知數的方程的解也叫做根。使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
溫馨提醒：
1.與一元二次方程的定義有關問題解題要領
抓住一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數的最高次數是2；
（2）二次項系數不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數．
2.與一元二次方程的根有關問題解題要領
緊扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。
課節知識點例題講析
考點1.一元二次方程的定義
【例題1】若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是關于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
【例題2】已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是(　　)
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
【答案】A
【解析】將原來方程化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數不能等于0.
(m－3)x2＋m x＝1+2mx2
化為一般形式(m+3)x2-m x+1＝0
所以(m+3) ≠0
m ≠-3
考點2. 一元二次方程的一般形式
【例題3】方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是　 　．
【答案】6x2﹣5x﹣11＝0
【解析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）．ax2叫二次項，a叫二次項系數；bx叫一次項，b叫一次項系數；c叫常數項．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括號，再移項，最后合并即可．
（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括號：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移項：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同類項：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式為：6x2﹣5x﹣11＝0
【例題4】一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一元二次方程的二次項系數是3，一次項系數-4，常數項-5．
考點3. 一元二次方程的根
【例題5】已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則m的值為（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3
【答案】B
【解析】把x=1代入x2+mx+3=0得：1+m+3=0，
解得m=﹣4．
【例題6】若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，則代數式2023﹣a2a的值是　 　．
【答案】2022
【解析】∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，
∴2a2+a＝2，
∴2023﹣a2-a＝2023-（2a2+a）＝20232＝2022．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.下列說法中，錯誤的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解析】①方程是一元二次方程，故①正確，②方程是一元一次方程，故②錯誤，③方程是分式方程，故③錯誤，④方程，a≠0時，是一元二次方程的一般形式，故④錯誤.
2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一個根為1，則k的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B．
【解析】根據一元二次方程的解的定義，把把x=1代入方程得關于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．
把x=1代入方程得1+k﹣3=0，
解得k=2．
3.關于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，則m的值為（　　）
A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．無解
【答案】B
【解析】根據一元二次方程未知數項的最高次數是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，計算即可求解.
因為一元二次方程的最高次數是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因為m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m＝1，故選B.
4．若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是關于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
5．某學校準備修建一個面積為200平方米的矩形花圃，它的長比寬多10米，設花圃的寬為x米，則可列方程為(　　)
A． x(x－10)＝200 B． 2x＋2(x－10)＝200
C． x(x＋10)＝200 D． 2x＋2(x＋10)＝200
【答案】C
【解析】∵花圃的長比寬多10米，花圃的寬為x米，
∴長為(x＋10)米，
∵花圃的面積為200，
∴可列方程為x(x＋10)＝200．
6. 已知x=2是關于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一個根，則k的值為　　．
【答案】﹣3．
【解析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因為k≠0，
所以k的值為﹣3．
7. 若關于的一元二次方程的一個解是，則的值是_______．
【答案】1
【解析】根據一元二次方程解的定義把代入到進行求解即可．
∵關于x的一元二次方程的一個解是，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關鍵．
8．方程是一元二次方程，則m=_____．
【答案】-2
【解析】根據一元二次方程的定義，二次項系數不為0，未知數的次數為2，可得，可求得m=-2.故答案為：-2
9.將方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式為　 ．
【答案】3x2﹣5x﹣4＝0　
【解析】3x（x﹣1）＝2（x+2），
3x2﹣3x＝2x+4，
3x2﹣3x﹣2x﹣4＝0，
3x2﹣5x﹣4＝0．
10.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是　 　；其中二次項系數是　 　．
【答案】6x2﹣5x﹣11＝0；6．
【解析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）．ax2叫二次項，a叫二次項系數；bx叫一次項，b叫一次項系數；c叫常數項．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括號，再移項，最后合并即可．
解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括號：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移項：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同類項：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式為：6x2﹣5x﹣11＝0，
二次項系數為：6．
11. 若是方程的根，則____________．
【答案】1
【解析】本題根據一元二次方程的根的定義，把x=1代入方程得到a的值．
把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．
12.學完一元二次方程后，在一次數學課上，同學們說出了一個方程的特點：
①它的一般形式為ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）
②它的二次項系數為5
③常數項是二次項系數的倒數的相反數
你能寫出一個符合條件的方程嗎？
【答案】這個方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
【解析】由（1）知這是一元二次方程，由（2）（3）可確定，而的值不唯一確定，可為任意數，熟悉一元二次方程的定義及特征是解答本題的關鍵．
這個方程是5x2－2x－=0.
13.已知關于的方程．
（1）為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項。
【答案】見解析
【解析】本題是含有字母系數的方程問題．根據一元一次方程和一元二次方程的定義，分別進行討論求解.
（1）由題意得，時，即時，
方程是一元一次方程.
（2）由題意得，時，即時，方程是一元二次方程.此方程的二次項系數是、一次項系數是、常數項是.
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第二十一章 一元二次方程
專題21.1 一元二次方程
課節學習目標
1.正確理解一元二次方程的意義，并能判斷一個方程是否是一元二次方程；
2.知道一元二次方程的一般形式是是常數，） ，能說出二次項及其系數，一次項及其系數和常數項；
3.理解并會用一元二次方程一般形式中a≠0這一條件；
4.能利用一元二次方程的根的定義解決一些問題。
課節知識點解讀
知識點1. 一元二次方程的概念
只含有一個未知數的整式方程，并且都可以化為 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)的形式，這
樣的方程叫做一元二次方程．
知識點2. 一元二次方程的一般形式
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c為常數，a≠0)
（1）二次項為： ax2
（2）二次項系數為：a
（3）一次項為： bx
（4）一次項系數為：b
（5）常數項為：c
知識點3.一元二次方程的根
能使方程左右兩邊相等的未知數的值就叫方程的解。只含有一個未知數的方程的解也叫做根。使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
溫馨提醒：
1.與一元二次方程的定義有關問題解題要領
抓住一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數的最高次數是2；
（2）二次項系數不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數．
2.與一元二次方程的根有關問題解題要領
緊扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。
課節知識點例題講析
考點1.一元二次方程的定義
【例題1】若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【例題2】已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是(　　)
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
考點2. 一元二次方程的一般形式
【例題3】方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是　 　．
【例題4】一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（ ）
A． B． C． D．
考點3. 一元二次方程的根
【例題5】已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則m的值為（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3
【例題6】若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，則代數式2023﹣a2a的值是　 　．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.下列說法中，錯誤的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一個根為1，則k的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3.關于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，則m的值為（　　）
A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．無解
4．若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
5．某學校準備修建一個面積為200平方米的矩形花圃，它的長比寬多10米，設花圃的寬為x米，則可列方程為(　　)
A． x(x－10)＝200 B． 2x＋2(x－10)＝200
C． x(x＋10)＝200 D． 2x＋2(x＋10)＝200
6. 已知x=2是關于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一個根，則k的值為　　．
7. 若關于的一元二次方程的一個解是，則的值是_______．
8．方程是一元二次方程，則m=_____．
9.將方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式為　 ．
10.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是　 　；其中二次項系數是　 　．
11. 若是方程的根，則____________．
12.學完一元二次方程后，在一次數學課上，同學們說出了一個方程的特點：
①它的一般形式為ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）
②它的二次項系數為5
③常數項是二次項系數的倒數的相反數
你能寫出一個符合條件的方程嗎？
13.已知關于的方程．
（1）為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項。
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