資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十二章 二次函數
專題22.3 實際問題與二次函數
課節學習目標
1. 分析實際問題中變量之間的二次函數關系.會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值.
2. 能應用二次函數的性質解決圖形中最大面積問題.
3. 能應用二次函數的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題.
4. 弄清商品銷售問題中的數量關系及確定自變量的取值范圍.
5. 利用二次函數解決拱橋及運動中的有關問題．
課節知識點解讀
知識點1. 一、求二次函數的最大（或最小）值
問題1：二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值由什么決定？
結論：二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值由a及自變量的取值范圍決定.
問題2 當自變量x為全體實數時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值是多少？
問題3 當自變量x有限制時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值如何確定？
當自變量的范圍有限制時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值可以根據以下步驟來確定：
1. 配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸.
2. 畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍.
3. 判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關系.根據二次函數的性質，確定當x取何值時函數有最大或最小值.然后根據x的值，求出函數的最值.
注意：實際問題中求解二次函數最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據自變量的取值范圍.希望同學們能夠理解函數圖象的頂點、端點與最值的關系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值.
知識點2. 實際問題與二次函數
1. 二次函數解決幾何面積最值問題的方法
（1）求出函數解析式和自變量的取值范圍；
（2）配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值；
（3）檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內。
2. 利潤問題中的數量關系
（1）銷售額= 售價×銷售量;
（2）利潤= 銷售額-總成本=單件利潤×銷售量;
（3）單件利潤=售價-進價.
注意：求解最大利潤問題的一般步驟
（1）建立利潤與價格之間的函數關系式：
運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”
（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：
可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.
3. 利用二次函數解決實物拋物線形問題
建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟
(1)實際問題。
（2）建立二次函數模型。
（3）利用二次函數的圖象和性質求解。
（4）確定實際問題的解。
方法總結：求最值的問題的方法歸納起來有以下幾點
（1）運用配方法求最值；
（2）構造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；
（3）建立函數模型求最值；
（4）利用基本不等式或不等分析法求最值．
課節知識點例題講析
【例題1】用一塊邊長為60㎝的正方形薄鋼片制作一個長方體盒子：如果要做成一個沒有蓋的長方體盒子,可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，如圖(1),然后把四邊折合起來，如圖(2)
（1）求做成的盒子底面積y(㎝2)與截去小正方形邊長x(㎝)之間的函數關系式；
（2）當做成的盒子的底面積為900㎝2時,試求該盒子的容積.
【答案】（1）y=4x2-240x+3600；（2）該盒子的容積為13500cm3.
【分析】（1）先表示出盒子的正方形底面的邊長，然后根據正方形的面積公式即可得出x，y的函數關系式；
（2）可將底面積代入（1）的式子中，求出高，然后根據底面積×高=容積，即可得出容積是多少．
【詳解】（1）由題意可得y=(60-2x)2=4x2-240x+3600；
（2）當y=900時(60-2x)2 =900
∴60-2 x=±30
∴x1=15 x2=45
∵x2=45不符合題意∴x=15，
∴該盒子的容積為900×15=13500 （cm3），
答：該盒子的容積為13500cm3.
故答案為：（1）y=4x2-240x+3600；（2）該盒子的容積為13500cm3.
【點睛】本題考查正方形的面積公式的運用，一元二次方程的解法，長方體容器的容積的運用，解答時求出容器的高是解題的關鍵．
【例題2】“五一”期間，恒大影城隆重開業，影城每天運營成本為1000元，試營業期間統計發現，影城每天售出的電影票張數y（張）與電影票售價x（元/張）之間滿足一次函數：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整數），設影城每天的利潤為w（元）（利潤=票房收入﹣運營成本）．
（1）試求w與x之間的函數關系式；
（2）影城將電影票售價定為多少元/張時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）w=﹣4x2+220x﹣1000；（2）影城將電影票售價定為27或28元/張時，每天獲利最大，最大利潤是2024元．
【詳解】
（1）根據題意，得：w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000；
（2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，∴當x=27或28時，w取得最大值，最大值為2024，答：影城將電影票售價定為27或28元/張時，每天獲利最大，最大利潤是2024元．
【例題3】有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時寬20，水位上升3就達到警戒線，這時水面寬度為10.
（1）在如圖的坐標系中，求拋物線的解析式.
（2）若洪水到來時，再持續多少小時才能到拱橋頂？（水位以每小時0.2的速度上升）
【答案】（1）；（2）再持續5到達拱橋頂.
【解析】（1）設所求拋物線的解析式為.
設，則，
把、的坐標分別代入，
得解得
∴.
（2）∵，
∴
∴拱橋頂到的距離為1，.
故再持續5到達拱橋頂.
【點睛】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，將實際問題抽象成二次函數的問題．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 把一個小球以20米/秒的速度豎直向上彈出，它在空中的高度h（米）與時間t（秒），滿足關系h＝20t﹣5t2，當小球達到最高點時，小球的運動時間為（　　）
A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒
【答案】B
【解析】∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，
又∵﹣5＜0，
∴拋物線開口向下，有最高點，
此時，t＝﹣＝2．
【點撥】已知函數式為二次函數解析式，最高點即為拋物線頂點，求達到最高點所用時間，即求頂點的橫坐標．
2. 如圖，拋物線的頂點為（1，1），此拋物線交軸于,兩點．
（1）求拋物線表達式；
（2）求△的面積；
（3）若拋物線上另一點滿足,求點的坐標．
【答案】（1）；
（2）1；
（3）P（，-1）或（，-1）．
【分析】（1）拋物線的頂點為（1，1），設頂點式，,讓拋物線過原點O（0，0）即可，
（2）讓y=0，即，求出與x軸的另一交點B，OB=2，過A作AC⊥OB于C，則AC=1，S△ABO=代入計算即可，
（3）設P（x，h），，
當h=1時，，則P舍去，
當h=-1時，求之，討論要求拋物線上另一點是否滿足條件即可．
【詳解】（1）拋物線的頂點為（1，1），
設拋物線的解析式為,由拋物線過原點O（0，0），代入拋物線，
，
，
，
，
（2）=0，
，
，B(2,0)，
OB=2，
過A作AC⊥OB于C，
則AC=1，
S△ABO=，
（3）拋物線上另一點滿足，
設P（m，h），
，
，
，
，
當h=1時，，解得x=1，則P（1，1）為A，要求拋物線上另一點舍去，
當h=-1時，，
，
，
，
P（，-1）或（，-1），
要求拋物線上另一點，
P（，-1）或（，-1）滿足要求．
【點睛】本題考查拋物線的解析式，拋物線中三角形的面積問題，掌握拋物線的性質，會用待定系數法求拋物線解析式，會求三角形的面積，會利用面積構造方程是解題關鍵．
3.工廠生產一種火爆的網紅電子產品，每件產品成本16元，工廠將該產品進行網絡批發，批發單價y（元）與一次性批發量x（件）（x為正整數）之間滿足如圖所示的函數關系.
（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若一次性批發量不超過60件，當批發量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？
【答案】見解析。
【解析】本題主要考查一次函數和二次函數的應用.
認真觀察圖象，分別寫出該定義域下的函數關系式，定義域取值全部是整數；根據利潤=（售價-成本）×件數，列出利潤的表達式，求出最值．
（1）當0＜x≤20且x為整數時，y=40；
當20＜x≤60且x為整數時，y=-x+50；
當x＞60且x為整數時，y=20；
（2）設所獲利潤w（元），
當0＜x≤20且x為整數時，y=40，
∴w=(40-16)×20=480元，
當0＜x≤20且x為整數時，y=40，
∴當20＜x≤60且x為整數時，y=-x+50，
∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x，
∴w=-x2+34x，
∴w=-（x-34）2+578，
∵-＜0，
∴當x=34時，w最大，最大值為578元．
答：一次批發34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元．
4. （2023甘肅蘭州）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．
【答案】（1）y關于x的函數表達式為；
（2）運動員從起跳點到入水點的水平距離的長為．
【解析】【分析】（1）由題意得拋物線的對稱軸為，經過點，，利用待定系數法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【詳解】（1）由題意得拋物線的對稱軸為，經過點，，
設拋物線的表達式為，
∴，解得，
∴y關于x的函數表達式為；
（2）令，則，
解得（負值舍去），
∴運動員從起跳點到入水點的水平距離的長為．
【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，數形結合并熟練掌握運用待定系數法求拋物線的解析式是解題的關鍵．
5. 某商品的進價為每件40元，在銷售過程中發現，每周的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可以近似看作一次函數y＝kx+b，且當售價定為50元/件時，每周銷售30件，當售價定為70元/件時，每周銷售10件．（1）求k，b的值；（2）求銷售該商品每周的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式，并求出銷售該商品每周可獲得的最大利潤．
【答案】見解析。
【分析】（1）利用待定系數法可求解析式；
（2）由銷售該商品每周的利潤w＝銷售單價×銷售量，可求函數解析式，由二次函數的性質可求解．
【解析】（1）由題意可得：，
∴，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴當x＝60時，w有最大值為400元，
答：銷售該商品每周可獲得的最大利潤為400元．
6．如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．
（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；
（2）求這條拋物線的解析式．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）利用現以O點為原點，拋物線最大高度為6米，底部寬度OM為12米，得出點M及拋物線頂點P的坐標即可；
（2）利用頂點式將P點M點代入求出拋物線解析式即可．
【詳解】（1）∵其最大高度為6米，底部寬度OM為12米，
∴點M及拋物線頂點P的坐標分別為：M（12，0），P（6，6）．
（2）設拋物線解析式為：，
∵拋物線經過點（0，0），
∴，即，
∴拋物線解析式為：，即．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，利用頂點式求二次函數解析式，利用數形結合得出拋物線解析式是解題關鍵．
7.一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖甲所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．
（1）將拋物線放在所給的直角坐標系中(如圖乙所示)，求拋物線的解析式；
（2）求支柱的長度；
（3）拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)？請說明你的理由．
甲 乙
【答案】見解析。
【解析】（1）根據題目條件，的坐標分別是．
設拋物線的解析式為，
將的坐標代入，
得 解得．
所以拋物線的表達式是．
（2）可設，于是
從而支柱的長度是米．
（3）設是隔離帶的寬，
是三輛車的寬度和，則點坐標是．
過點作垂直交拋物線于，
則．
根據拋物線的特點，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．
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第二十二章 二次函數
專題22.3 實際問題與二次函數
課節學習目標
1. 分析實際問題中變量之間的二次函數關系.會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值.
2. 能應用二次函數的性質解決圖形中最大面積問題.
3. 能應用二次函數的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題.
4. 弄清商品銷售問題中的數量關系及確定自變量的取值范圍.
5. 利用二次函數解決拱橋及運動中的有關問題．
課節知識點解讀
知識點1. 一、求二次函數的最大（或最小）值
問題1：二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值由什么決定？
結論：二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值由a及自變量的取值范圍決定.
問題2 當自變量x為全體實數時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值是多少？
問題3 當自變量x有限制時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值如何確定？
當自變量的范圍有限制時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的最值可以根據以下步驟來確定：
1. 配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸.
2. 畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍.
3. 判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關系.根據二次函數的性質，確定當x取何值時函數有最大或最小值.然后根據x的值，求出函數的最值.
注意：實際問題中求解二次函數最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據自變量的取值范圍.希望同學們能夠理解函數圖象的頂點、端點與最值的關系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值.
知識點2. 實際問題與二次函數
1. 二次函數解決幾何面積最值問題的方法
（1）求出函數解析式和自變量的取值范圍；
（2）配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值；
（3）檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內。
2. 利潤問題中的數量關系
（1）銷售額= 售價×銷售量;
（2）利潤= 銷售額-總成本=單件利潤×銷售量;
（3）單件利潤=售價-進價.
注意：求解最大利潤問題的一般步驟
（1）建立利潤與價格之間的函數關系式：
運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”
（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：
可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.
3. 利用二次函數解決實物拋物線形問題
建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟
(1)實際問題。
（2）建立二次函數模型。
（3）利用二次函數的圖象和性質求解。
（4）確定實際問題的解。
方法總結：求最值的問題的方法歸納起來有以下幾點
（1）運用配方法求最值；
（2）構造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；
（3）建立函數模型求最值；
（4）利用基本不等式或不等分析法求最值．
課節知識點例題講析
【例題1】用一塊邊長為60㎝的正方形薄鋼片制作一個長方體盒子：如果要做成一個沒有蓋的長方體盒子,可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，如圖(1),然后把四邊折合起來，如圖(2)
（1）求做成的盒子底面積y(㎝2)與截去小正方形邊長x(㎝)之間的函數關系式；
（2）當做成的盒子的底面積為900㎝2時,試求該盒子的容積.
【例題2】“五一”期間，恒大影城隆重開業，影城每天運營成本為1000元，試營業期間統計發現，影城每天售出的電影票張數y（張）與電影票售價x（元/張）之間滿足一次函數：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整數），設影城每天的利潤為w（元）（利潤=票房收入﹣運營成本）．
（1）試求w與x之間的函數關系式；
（2）影城將電影票售價定為多少元/張時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
【例題3】有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時寬20，水位上升3就達到警戒線，這時水面寬度為10.
（1）在如圖的坐標系中，求拋物線的解析式.
（2）若洪水到來時，再持續多少小時才能到拱橋頂？（水位以每小時0.2的速度上升）
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 把一個小球以20米/秒的速度豎直向上彈出，它在空中的高度h（米）與時間t（秒），滿足關系h＝20t﹣5t2，當小球達到最高點時，小球的運動時間為（　　）
A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒
2. 如圖，拋物線的頂點為（1，1），此拋物線交軸于,兩點．
（1）求拋物線表達式；
（2）求△的面積；
（3）若拋物線上另一點滿足,求點的坐標．
3.工廠生產一種火爆的網紅電子產品，每件產品成本16元，工廠將該產品進行網絡批發，批發單價y（元）與一次性批發量x（件）（x為正整數）之間滿足如圖所示的函數關系.
（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若一次性批發量不超過60件，當批發量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？
4. （2023甘肅蘭州）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．
5. 某商品的進價為每件40元，在銷售過程中發現，每周的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可以近似看作一次函數y＝kx+b，且當售價定為50元/件時，每周銷售30件，當售價定為70元/件時，每周銷售10件．（1）求k，b的值；（2）求銷售該商品每周的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式，并求出銷售該商品每周可獲得的最大利潤．
6.如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．
（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；
（2）求這條拋物線的解析式．
7.一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖甲所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．
（1）將拋物線放在所給的直角坐標系中(如圖乙所示)，求拋物線的解析式；
（2）求支柱的長度；
（3）拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)？請說明你的理由．
甲 乙
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