資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十二章 二次函數
專題22.1 二次函數的圖像和性質
課節學習目標
1. 理解掌握二次函數的概念和一般形式.會利用二次函數的概念解決問題.
2. 會用描點法畫出二次函數y=ax2的圖象，概括出圖象的特點. 掌握形如y=ax2的二次函數圖象的性質，并會應用.
3. 會用描點法畫出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的圖象.掌握二次函數y=a(x-h)2+k (a ≠0)的圖象的性質并會應用.
4. 理解二次函數y=a(x-h)2+k (a ≠0)與y=ax2(a ≠0)之間的聯系.
5. 會用配方法或公式法將一般式y＝ax2＋bx＋c化成頂點式y=a(x-h)2+k.
6. 會熟練求出二次函數一般式y＝ax2＋bx＋c的頂點坐標、對稱軸.
7. 會用待定系數法求二次函數的表達式.會根據待定系數法解決關于二次函數的相關問題.
課節知識點解讀
知識點1. 二次函數的定義
1. 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠ 0)的函數叫做二次函數.其中x是自變量，a,b,c分別是二次項系數、一次項系數和常數項.
（1）等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的整式；
（2）a,b,c為常數，且a≠ 0;
（3）等式的右邊最高次數為 2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項.
2. 二次函數定義的應用
（1）考查二次函數的概念，這類題需緊扣概念的特征進行解題.
（2）二次函數自變量的取值范圍一般是全體實數，但是在實際問題中，自變量的取值范圍應使實際問題有意義.
3. 求二次函數的值
此類型題考查二次函數的概念，要抓住二次項系數不為0及自變量指數為2這兩個關鍵條件，求出字母參數的值，得到函數解析式，再用代入法將x的值代入其中，求出y的值.
知識點2. 二次函數y=ax2的圖象與性質
二次函數y=ax2的圖象形如物體拋射時所經過的路線,我們把它叫做拋物線.
重點提示：二次函數y=ax2的圖象關于y軸對稱，因此左右兩部分折疊可以重合，在二次函數比較大小中，我們根據圖象中點具有的對稱性轉變到同一變化區域中(全部為升或全部為降)，根據圖象中函數值高低去比較；對于求不規則的圖形面積，采用等面積割補法，將不規則圖形轉化為規則圖形以方便求解．
知識點3. 二次函數 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性質
方法總結：已知函數圖象上的點，則這點的坐標必滿足函數的表達式，代入即可求得函數解析式．
注意：二次函數y=ax2 與y=a（x-h)2+k的關系
可以看作互相平移得到的.平移規律如圖所示：
一般地，拋物線 y = a(x-h)2+k與y = ax2形狀相同，位置不同.
知識點4. 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質
1.二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標與對稱軸
2.二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質
3.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c的關系
知識點5. 求解二次函數解析式
1. 一般式法求二次函數表達式的方法
這種已知三點求二次函數表達式的方法叫做一般式法.
其步驟是：
①設函數表達式為y=ax2+bx+c；
②代入后得到一個三元一次方程組；
③解方程組得到a,b,c的值；
④把待定系數用數字換掉，寫出函數表達式.
2. 頂點法求二次函數表達式的方法
這種知道拋物線的頂點坐標，求表達式的方法叫做頂點法.其步驟是：
①設函數表達式是y=a(x-h)2+k；
②先代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；
③將另一點的坐標代入原方程求出a值；
④a用數值換掉，寫出函數表達式.
3. 交點法求二次函數表達式的方法
這種知道拋物線與x軸的交點，求表達式的方法叫做交點法.
其步驟是：
①設函數表達式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把兩交點的橫坐標x1, x2代入到表達式中，得到關于a的一元一次方程；
③將方程的解代入原方程求出a值；
④a用數值換掉，寫出函數表達式.
課節知識點例題講析
【例題1】下列函數中，屬于二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】拋物線的共同性質是（ ）
A．開口向上 B．都有最大值 C．對稱軸都是x軸 D．頂點都是原點
【例題3】拋物線y=（x﹣1）2+2的頂點坐標是（　　）
A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
【例題4】（2023河南）二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象一定不經過（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【例題5】二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結論：①a＜0；②ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣2，x2＝4；③9a+c＞0；④b：c＝1：4，其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例題6】過原點的拋物線的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.下列函數解析式中，一定為二次函數的是（　　）
A． y=3x﹣1 B． y=ax2+bx+c C． s=2t2﹣2t+1 D． y=x2+
2．二次函數y=2x2-6x-9的二次項系數、一次項系數、常數項分別為（　　）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
3．若二次函數的開口向下，則m的值是（ ）
A．2 B．-1
C．2或-1 D．以上答案都不對
4．已知拋物線y＝ax2（a＞0）過A（﹣2，y1）、B（1，y2）兩點，則下列關系式一定正確的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
5．拋物線的頂點坐標為（ ）
A． B． C． D．
6.二次函數y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為（　　）
A． x=4 B．x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2
7．二次函數y=x2-3x+2的頂點坐標是（　　）
A．（，-） B．（-，） C．（，） D．（-，-）
8．關于拋物線y＝（x+1）2﹣2，下列結論中正確的是（　　）
A．對稱軸為直線x＝1
B．當x＜﹣3時，y隨x的增大而減小
C．與x軸沒有交點
D．與y軸交于點（0，﹣2）
9.若拋物線y=x2﹣2x+3不動，將平面直角坐標系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應變為（　　）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
10. 點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x-1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
11. 已知拋物線，下列結論錯誤的是（ ）
A. 拋物線開口向上 B. 拋物線的對稱軸為直線
C. 拋物線的頂點坐標為 D. 當時，y隨x的增大而增大
12．對于二次函數，下列說法正確的是(　　　)
A．當，隨的增大而增大 B．當時，有最大值
C．圖象的頂點坐標為 D．圖象與軸有一個交點
13．已知二次函數的圖象經過點（-1，-5），（0，-4）和（1，1），則這二次函數的表達式為（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
14. （2023湖南湘潭）如圖，拋物線與x軸交于點，則下列結論中正確的
是（ ）
A. B. C. D.
15．若是關于的二次函數，則的值為__________．
16．已知長方形的周長為 16cm，其中一邊長為 xcm，面積為 y，則這個長方形的面積 y 與 x 之間的關系可表示為 ______
17．拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標為　 　．
18．如果將拋物線y＝x2向上平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是　 　．
19．拋物線的頂點坐標是______．
20．已知拋物線的對稱軸為x=1，則m=______．
21.已知A（0，3），B（2，3）是拋物線y=﹣x2+bx+c上兩點，該拋物線的頂點坐標是　 。
22．已知二次函數y＝ax2＋4x＋c，當x等于﹣2時，函數值是﹣1；當x＝1時，函數值是5．則此二次函數的表達式為____________．
23．當m為何值時，函數是二次函數．
24．畫函數的圖象．
25．已知，直線與拋物線相交于、兩點，且的坐標是
（1）求，的值；
（2）拋物線的表達式及其對稱軸和頂點坐標．
26．已知拋物線y=ax2+bx+c經過(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三點．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
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第二十二章 二次函數
專題22.1 二次函數的圖像和性質
課節學習目標
1. 理解掌握二次函數的概念和一般形式.會利用二次函數的概念解決問題.
2. 會用描點法畫出二次函數y=ax2的圖象，概括出圖象的特點. 掌握形如y=ax2的二次函數圖象的性質，并會應用.
3. 會用描點法畫出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的圖象.掌握二次函數y=a(x-h)2+k (a ≠0)的圖象的性質并會應用.
4. 理解二次函數y=a(x-h)2+k (a ≠0)與y=ax2(a ≠0)之間的聯系.
5. 會用配方法或公式法將一般式y＝ax2＋bx＋c化成頂點式y=a(x-h)2+k.
6. 會熟練求出二次函數一般式y＝ax2＋bx＋c的頂點坐標、對稱軸.
7. 會用待定系數法求二次函數的表達式.會根據待定系數法解決關于二次函數的相關問題.
課節知識點解讀
知識點1. 二次函數的定義
1. 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠ 0)的函數叫做二次函數.其中x是自變量，a,b,c分別是二次項系數、一次項系數和常數項.
（1）等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的整式；
（2）a,b,c為常數，且a≠ 0;
（3）等式的右邊最高次數為 2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項.
2. 二次函數定義的應用
（1）考查二次函數的概念，這類題需緊扣概念的特征進行解題.
（2）二次函數自變量的取值范圍一般是全體實數，但是在實際問題中，自變量的取值范圍應使實際問題有意義.
3. 求二次函數的值
此類型題考查二次函數的概念，要抓住二次項系數不為0及自變量指數為2這兩個關鍵條件，求出字母參數的值，得到函數解析式，再用代入法將x的值代入其中，求出y的值.
知識點2. 二次函數y=ax2的圖象與性質
二次函數y=ax2的圖象形如物體拋射時所經過的路線,我們把它叫做拋物線.
重點提示：二次函數y=ax2的圖象關于y軸對稱，因此左右兩部分折疊可以重合，在二次函數比較大小中，我們根據圖象中點具有的對稱性轉變到同一變化區域中(全部為升或全部為降)，根據圖象中函數值高低去比較；對于求不規則的圖形面積，采用等面積割補法，將不規則圖形轉化為規則圖形以方便求解．
知識點3. 二次函數 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性質
方法總結：已知函數圖象上的點，則這點的坐標必滿足函數的表達式，代入即可求得函數解析式．
注意：二次函數y=ax2 與y=a（x-h)2+k的關系
可以看作互相平移得到的.平移規律如圖所示：
一般地，拋物線 y = a(x-h)2+k與y = ax2形狀相同，位置不同.
知識點4. 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質
1.二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標與對稱軸
2.二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質
3.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c的關系
知識點5. 求解二次函數解析式
1. 一般式法求二次函數表達式的方法
這種已知三點求二次函數表達式的方法叫做一般式法.
其步驟是：
①設函數表達式為y=ax2+bx+c；
②代入后得到一個三元一次方程組；
③解方程組得到a,b,c的值；
④把待定系數用數字換掉，寫出函數表達式.
2. 頂點法求二次函數表達式的方法
這種知道拋物線的頂點坐標，求表達式的方法叫做頂點法.其步驟是：
①設函數表達式是y=a(x-h)2+k；
②先代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；
③將另一點的坐標代入原方程求出a值；
④a用數值換掉，寫出函數表達式.
3. 交點法求二次函數表達式的方法
這種知道拋物線與x軸的交點，求表達式的方法叫做交點法.
其步驟是：
①設函數表達式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把兩交點的橫坐標x1, x2代入到表達式中，得到關于a的一元一次方程；
③將方程的解代入原方程求出a值；
④a用數值換掉，寫出函數表達式.
課節知識點例題講析
【例題1】下列函數中，屬于二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本題主要考查了二次函數的定義，關鍵是掌握二次函數的定義條件：
二次函數 的定義條件是：a、b、c為常數，a≠0，自變量最高次數為2．
根據一次函數、反比例函數、二次函數的定義判斷各選項即可得出答案．
A.是一次函數，故本題選項錯誤；
B.，是一次函數，故本題選項錯誤；
C. ，是二次函數，故本題選項正確；
D.是反比例函數，故本題選項錯誤．
【例題2】拋物線的共同性質是（ ）
A．開口向上 B．都有最大值 C．對稱軸都是x軸 D．頂點都是原點
【答案】D
【解析】拋物線的開口向上，有最小值，對稱軸為y軸，頂點為原點；
拋物線的開口向下，有最大值，對稱軸為y軸，頂點為原點；
拋物線的開口向上，有最小值，對稱軸為y軸，頂點為原點；
故可知，拋物線的共同性質是頂點是原點．
【例題3】拋物線y=（x﹣1）2+2的頂點坐標是（　　）
A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
【答案】D．
【解析】考查了求拋物線的頂點坐標、對稱軸的方法．熟記二次函數的頂點式的形式是解題的關鍵．
直接利用頂點式的特點可寫出頂點坐標．
∵頂點式y=a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），
∴拋物線y=（x﹣1）2+2的頂點坐標是（1，2）．
【例題4】（2023河南）二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象一定不經過（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸判斷出、的正負情況，再由一次函數的性質解答．
由圖象開口向下可知，
由對稱軸，得．
∴一次函數的圖象經過第一、二、三象限，不經過第四象限．
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數圖象和一次函數圖象的性質，解答本題的關鍵是求出、的正負情況，要掌握它們的性質才能靈活解題，此題難度不大．
【例題5】二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結論：①a＜0；②ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣2，x2＝4；③9a+c＞0；④b：c＝1：4，其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D．
【解析】①∵拋物線開口向上，
∴a＞0，結論①正確；
②∵拋物線與x軸交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，
∴ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣2，x2＝4，結論②正確；
③∵拋物線與x軸交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝1，
∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，
∵當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＝0，∴8a+c＝0，
∵a＞0，∴9a+c＞0，結論③正確；
④∵b＝﹣2a，∴a＝﹣b，
∵當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴﹣2b﹣2b+c＝0，∴4b＝c，
∴b：c＝1：4，結論④正確．
綜上所述，正確的結論有：①②③④．
【點撥】①由拋物線開口向上，可得出a＞0，結論①正確；②由拋物線與x軸交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，可得ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣2，x2＝4，結論②正確；③當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＝0，由拋物線與x軸的交點求得對稱軸，得到b＝﹣2a，代入得8a+c＝0，由a＞0，可得9a+c＞0，結論③正確；④把a＝﹣代入y＝4a﹣2b+c＝0，整理得到4b＝c，可得b：c＝1：4，結論④正確．綜上即可得出結論．
【例題6】過原點的拋物線的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
【答案】D
【解析】經過原點（0，0）的拋物線，當時，y=0代入計算即可判斷．
A．當時，，不符合題意；
B．當時，，不符合題意；
C．當時，，不符合題意；
D．當時，，符合題意。
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.下列函數解析式中，一定為二次函數的是（　　）
A． y=3x﹣1 B． y=ax2+bx+c C． s=2t2﹣2t+1 D． y=x2+
【答案】C．
【解析】本題考查了二次函數的定義，y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數，注意二次函數都是整式．
根據二次函數的定義，可得答案．
A．y=3x﹣1是一次函數，故A錯誤；
B．y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數，故B錯誤；
C．s=2t2﹣2t+1是二次函數，故C正確；
D．y=x2+不是二次函數，故D錯誤。
2．二次函數y=2x2-6x-9的二次項系數、一次項系數、常數項分別為（　　）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
【答案】D
【解析】本題考查了二次函數的一般形式，屬于基礎題，熟知二次函數的一般形式是解題的關鍵．
根據二次函數的標準形式即可得到答案．
二次函數y=2x2-6x-9的二次項系數、一次項系數、常數項分別為2，-6，-9．
3．若二次函數的開口向下，則m的值是（ ）
A．2 B．-1
C．2或-1 D．以上答案都不對
【答案】B
【解析】由二次函數可得，由開口向下可得m-1＜0，問題可解．
∵是二次函數
∴
得m=-1或m=2；
又∵的開口向下
∴m-1＜0
∴m=-1
4．已知拋物線y＝ax2（a＞0）過A（﹣2，y1）、B（1，y2）兩點，則下列關系式一定正確的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【答案】C
【解析】依據拋物線的對稱性可知：（2，y1）在拋物線上，然后依據二次函數的性質解答即可．
∵拋物線y＝ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）關于y軸對稱點的坐標為（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
5．拋物線的頂點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據拋物線的頂點式即可得到答案．
二次函數y＝x2的圖象的頂點坐標為（0，0）．
6.二次函數y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為（　　）
A． x=4 B．x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2
【答案】D．
【解析】直接利用拋物線的對稱軸公式代入求出即可．
二次函數y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為：x=﹣=﹣=﹣2．
7．二次函數y=x2-3x+2的頂點坐標是（　　）
A．（，-） B．（-，） C．（，） D．（-，-）
【答案】A
【解析】把二次函數解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標即可得出答案．
∵二次函數解析式為，
∴二次函數頂點式為，
故頂點坐標為：（）。
8．關于拋物線y＝（x+1）2﹣2，下列結論中正確的是（　　）
A．對稱軸為直線x＝1
B．當x＜﹣3時，y隨x的增大而減小
C．與x軸沒有交點
D．與y軸交于點（0，﹣2）
【答案】B
【解析】直接利用二次函數的性質分別分析得出答案．
拋物線y＝（x+1）2﹣2，對稱軸為直線x＝﹣1，故此選項A錯誤；
當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故選項B正確；
∵拋物線y＝（x+1）2﹣2，開口向上，頂點坐標為：（﹣1，﹣2），
∴與x軸有2個交點，故選項C錯誤；
當x＝0時，y＝﹣1，故圖象與y軸交于點（0，﹣1），故選項D錯誤．
9.若拋物線y=x2﹣2x+3不動，將平面直角坐標系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應變為（　　）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
【答案】C．
【解析】思想判定出拋物線的平移規律，根據左加右減，上加下減的規律即可解決問題．
將平面直角坐標系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，這個相當于把拋物線向左平移有關單位，再向下平移3個單位，
∵y=（x﹣1）2+2，
∴原拋物線圖象的解析式應變為y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1
10. 點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x-1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據y1＜y2列出關于m的不等式即可解得答案．
∵點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x-1）2+n的圖象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據已知列出關于m的不等式．
11. 已知拋物線，下列結論錯誤的是（ ）
A. 拋物線開口向上 B. 拋物線的對稱軸為直線
C. 拋物線的頂點坐標為 D. 當時，y隨x的增大而增大
【答案】D
【解析】根據二次函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標以及增減性對各選項分析判斷即可得解．
拋物線中，a＞0，拋物線開口向上，因此A選項正確，不符合題意；
由解析式得，對稱軸為直線，因此B選項正確，不符合題意；
由解析式得，當時，y取最小值，最小值為1，所以拋物線的頂點坐標為，因此C選項正確，不符合題意；
因為拋物線開口向上，對稱軸為直線，因此當時，y隨x的增大而減小，因此D選項錯誤，符合題意．
【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在中，對稱軸為，頂點坐標為．
12．對于二次函數，下列說法正確的是(　　　)
A．當，隨的增大而增大 B．當時，有最大值
C．圖象的頂點坐標為 D．圖象與軸有一個交點
【答案】B
【解析】將二次函數化為頂點式，即可得出二次函數圖象的開口方向以及二次函數圖象的對稱軸、頂點坐標，利用根的判別式可判斷出二次函數圖象于x軸的交點的個數．
∵
∴圖象的頂點坐標為，選項C錯誤；
∵
∴二次函數圖象開口向下，當時，有最大值，選項B正確；
∵當，隨的增大而減小，當，隨的增大而增大，選項A錯誤；
∵關于x的方程，，有兩個不相等的實數根，
∴二次函數，圖象與軸有兩個交點，選項D錯誤。
13．已知二次函數的圖象經過點（-1，-5），（0，-4）和（1，1），則這二次函數的表達式為（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
【答案】D
【解析】設所求函數的解析式為y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分別代入，
得：解得
所求的函數的解析式為y=2x2+3x-4．
14. （2023湖南湘潭）如圖，拋物線與x軸交于點，則下列結論中正確的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】根據圖象的開口方向可判斷選項A；根據圖象與y軸的交點位置，可判斷選項B；根據拋物線和x軸的交點個數可判斷選項C；時函數值的情況，可判斷選項D．
A、由函數圖象得，拋物線開口向下，故，故A錯誤；
B、圖象與y軸的交點在原點上方，故，故B正確；
C、因為拋物線和x軸有兩個交點，故，故C錯誤．
D、當時，，故D正確；
故選：BD．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象和系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的有關性質、以及二次函數的圖象的特點．
15．若是關于的二次函數，則的值為__________．
【答案】2
【解析】根據二次函數的定義解答．
是關于的二次函數，
∴，
解得：
16．已知長方形的周長為 16cm，其中一邊長為 xcm，面積為 y，則這個長方形的面積 y 與 x 之間的關系可表示為 ______
【答案】
【解析】∵矩形周長為
∴兩鄰邊之和為
∴若一邊長為，則另一邊長為；面積為
∴即．
17．拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標為　 　．
【答案】（1，8）．
【解析】已知拋物線頂點式y＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k）．
∵拋物線y＝3（x﹣1）2+8是頂點式，
∴頂點坐標是（1，8）．
18．如果將拋物線y＝x2向上平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是　 　．
【答案】y＝x2+3．
【分析】直接根據拋物線向上平移的規律求解．
【解析】拋物線y＝x2向上平移3個單位得到y＝x2+3．
19．拋物線的頂點坐標是______．
【答案】(1,2)．
【解析】已知拋物線的解析式是一般式，用配方法轉化為頂點式，根據頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標．
∵，
∴拋物線的頂點坐標是（1,2），
故答案為：（1,2）．
【點睛】此題考查了二次函數的性質．二次函數y=a（x-h）2+k的頂點坐標為（h，k），對稱軸為x=h，此題還考查了配方法求頂點式．
20．已知拋物線的對稱軸為x=1，則m=______．
【答案】-2
【解析】利用拋物線的對稱軸方程得到，解方程即得到m的值.
拋物線的對稱軸為直線，
∴m＝-2.故答案為：-2
【點睛】本題考查了二次函數的性質，掌握二次函數的對稱軸是直線x=是解答此題的關鍵.
21.已知A（0，3），B（2，3）是拋物線y=﹣x2+bx+c上兩點，該拋物線的頂點坐標是　 。
【答案】（1，4）．
【解析】把A、B的坐標代入函數解析式，即可得出方程組，求出方程組的解，即可得出解析式，化成頂點式即可．
∵A（0，3），B（2，3）是拋物線y=﹣x2+bx+c上兩點，
∴代入得：，
解得：b=2，c=3，
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣（x﹣1）2+4，
頂點坐標為（1，4）
22．已知二次函數y＝ax2＋4x＋c，當x等于﹣2時，函數值是﹣1；當x＝1時，函數值是5．則此二次函數的表達式為____________．
【答案】y＝2x2＋4x－1
【解析】把兩組對應值代入y＝ax2＋4x＋c得到關于a、c的方程組，然后解方程組即可．
根據題意得：，
解得，
所以拋物線解析式為y＝2x2＋4x－1，
故填：y＝2x2＋4x－1．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．
23．當m為何值時，函數是二次函數．
【答案】m=3
【解析】∵函數是二次函數
∴
解得：m=3
即當m=3時，函數是二次函數．
24．畫函數的圖象．
【答案】答案見詳解．
【解析】本題考查了圖象的作法，比較簡單，屬于基礎題，熟練掌握二次函數的性質以及函數圖象的作法是解題的關鍵．利用列表、描點、連線的方法作出函數的圖象即可．
列表：
描點、連線如下圖所示：
25．已知，直線與拋物線相交于、兩點，且的坐標是
（1）求，的值；
（2）拋物線的表達式及其對稱軸和頂點坐標．
【答案】（1）m=9,a=1；（2）拋物線的表達式為y=x2，對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）．
【分析】（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，從而確定A點坐標，再把A點坐標代入線y=ax2可計算出m；
（2）由（1）易得拋物線的表達式為y=x2，然后根據二次函數的性質確定對稱軸和頂點坐標．
【詳解】解：（1）把A的坐標（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A點坐標為（-3，9），
把A（-3，9）代入線y=ax2得9a=9，解得a=1．
綜上所述，m=9,a=1．
（2）拋物線的表達式為y=x2，根據拋物線特點可得：對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）．
【點睛】本題考查了用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，以及二次函數的圖形的特點，熟練掌握待定系數法和函數特點是解答此題的關鍵．
26．已知拋物線y=ax2+bx+c經過(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三點．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）拋物線的開口向上，對稱軸為x=，頂點坐標為（，﹣）．
【分析】（1）將三點代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程組，解方程組即可得到a，b，c的值，從而得到拋物線的解析式．
（2）把解析式化成頂點式，根據拋物線的性質即可得出結論．
【詳解】解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，
得，解得．
所以，這個拋物線的表達式為y=2x2﹣x﹣3．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，
所以，拋物線的開口向上，對稱軸為x=，頂點坐標為（，﹣）
【點睛】考查待定系數法求二次函數解析式及二次函數的性質．熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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