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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十二章 二次函數
專題22.2 二次函數和一元二次方程
課節學習目標
1.通過探索，理解二次函數與一元二次方程(不等式）之間的聯系.
2.能運用二次函數及其圖象、性質確定方程的解或不等式的解集.
3.了解用圖象法求一元二次方程的近似根.
課節知識點解讀
知識點1. 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關系
知識點2. 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次不等式的關系
課節知識點例題講析
【例題1】若二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c＝0的解為（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
例題2】二次函數y=﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一個解x1=3，另一個解x2=（　　）
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A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【例題3】若二次函數y=ax2+1的圖象經過點（-2，0），則關于x的方程a（x-2）2+1=0的實數根為（　　）
A．， B．，
C．， D．，
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.拋物線y=2x2﹣2x+1與坐標軸的交點個數是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0
（a≠0）的兩根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定
3. 已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根為-3，在二次函數y=x2+bx-3的圖象上有三點、、，y1、y2、y3的大小關系是（　　）
A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2
4. 已知函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關于x的方程ax2+bx+c0的根的情況是（　　）
A．無實數根 B．有兩個相等實數根
C．有兩個異號實數根 D．有兩個同號不等實數根
，已知拋物線y=x2+bx+c經過點（0，﹣3），請你確定一個b的值，使該拋物線與x
軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間．你確定的b的值是　 .
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6.孔明同學在解一元二次方程x2﹣3x+c=0時，正確解得x1=1，x2=2，則c的值為　　．
7.已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過點A(m，3)，B(n，3)兩點，若線段AB的長不大于4，則代數式a2＋a＋1的最小值是 ．
8. 已知：關于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．
（1）當x取何值時，二次函數y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的對稱軸是x=﹣2；
（2）求證：a取任何實數時，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0總有實數根．
（1）﹣2 （2）a取任何實數。
9. 已知二次函數y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m為常數，且m≠0）．
（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有公共點；
（2）設該函數的圖象與y軸交于點A，若點A在x軸上方，求m的取值范圍；
（3）該函數圖象所過的象限隨m的值變化而變化，直接寫出函數圖象所經過的象限及對應的m的取值范圍．
10. 已知拋物y＝ax2+bx+c（b＜0）與x軸只有一個公共點．
（1）若拋物線與x軸的公共點坐標為（2，0），求a、c滿足的關系式；
（2）設A為拋物線上的一定點，直線l：y＝kx+1﹣k與拋物線交于點B、C，直線BD垂直于直線y＝﹣1，垂足為點D．當k＝0時，直線l與拋物線的一個交點在y軸上，且△ABC為等腰直角三角形．
①求點A的坐標和拋物線的解析式；
②證明：對于每個給定的實數k，都有A、D、C三點共線．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十二章 二次函數
專題22.2 二次函數和一元二次方程
課節學習目標
1.通過探索，理解二次函數與一元二次方程(不等式）之間的聯系.
2.能運用二次函數及其圖象、性質確定方程的解或不等式的解集.
3.了解用圖象法求一元二次方程的近似根.
課節知識點解讀
知識點1. 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關系
知識點2. 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次不等式的關系
課節知識點例題講析
【例題1】若二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c＝0的解為（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
【答案】C
【解析】直接利用拋物線與x軸交點求法以及結合二次函數對稱性得出答案．
∵二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0一定有一個解為：x＝﹣1，
∵拋物線的對稱軸為：直線x1，
∴二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象與x軸的另一個交點為：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的解為：x1＝﹣1，x2＝3．
【例題2】二次函數y=﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一個解x1=3，另一個解x2=（　　）
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A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【答案】B
【解析】先把x1=3代入關于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根據根與系數的關系即可求出另一個解x2的值．
∵把x1=3代入關于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，
﹣9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化為：﹣x2+2x+3=0，
∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故選B．
【例題3】若二次函數y=ax2+1的圖象經過點（-2，0），則關于x的方程a（x-2）2+1=0的實數根為（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】二次函數y=ax2+1的圖象經過點（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到結論．
∵二次函數y=ax2+1的圖象經過點（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0為：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.拋物線y=2x2﹣2x+1與坐標軸的交點個數是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】對于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對應y與x的值，即可確定出拋物線與坐標軸的交點個數．
拋物線y=2x2﹣2x+1，
令x=0，得到y=1，即拋物線與y軸交點為（0，1）；
令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，
解得：x1=x2=，即拋物線與x軸交點為（，0），
則拋物線與坐標軸的交點個數是2。
2.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0
（a≠0）的兩根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定
【答案】C．
【解析】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關系是解答此題的關鍵．
設ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，
∵由二次函數的圖象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
設方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b，則a+b=﹣=﹣+，
∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．
3. 已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根為-3，在二次函數y=x2+bx-3的圖象上有三點、、，y1、y2、y3的大小關系是（　　）
A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2
【答案】A
【解析】本題考點有二次函數圖象上點的坐標特征、一元二次方程的解．
將x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函數y=x2+bx-3的解析式，再根據拋物線的對稱軸，開口方向確定增減性，比較y1、y2、y3的大小關系．
把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，
∴二次函數解析式為y=x2+2x-3，拋物線開口向上，對稱軸為x=-1，∴y1＜y2＜y3．故選A．
4. 已知函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關于x的方程ax2+bx+c0的根的情況是（　　）
A．無實數根 B．有兩個相等實數根
C．有兩個異號實數根 D．有兩個同號不等實數根
【答案】D
【解析】利用函數圖象平移即可求解．
函數y＝ax2+bx+c向上平移個單位得到y′＝ax2+bx+c，
而y′頂點的縱坐標為﹣2，
故y′＝ax2+bx+c與x軸有兩個交點，且兩個交點在x軸的右側，
故ax2+bx+c0有兩個同號不相等的實數根，
5. 如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過點（0，﹣3），請你確定一個b的值，使該拋物線與x
軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間．你確定的b的值是　 .
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【答案】．
【解析】把（0，－3）代入拋物線的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之間取一個點，把它的坐標代入解析式即可求出答案．
把（0，﹣3）代入拋物線的解析式得：c=－3，∴y=x2+bx－3.∵確定一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間，假如過（2，0），代入，得0=4+2b﹣3，∴b=．故答案為．
6.孔明同學在解一元二次方程x2﹣3x+c=0時，正確解得x1=1，x2=2，則c的值為　　．
【答案】2．
【解析】根據兩根x1=1，x2=2，得出兩根之積求出c的值即可．
解方程x2﹣3x+c=0得x1=1，x2=2，
∴x1x2=c=1×2，
∴c=2．
7.已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過點A(m，3)，B(n，3)兩點，若線段AB的長不大于4，則代數式a2＋a＋1的最小值是 ．
【答案】．
【解析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是根據線段AB的長不大于4，求出a的取值范圍，再利用二次函數的增減性求代數式a2＋a＋1的最小值．
∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，
∴該拋物線的頂點坐標為(－2，1)，對稱軸為直線x＝－2．
∵拋物線過點A(m，3)，B(n，3)兩點，
∴當y＝3時，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，當a＞0時，x＝－2±．
∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)．
∴AB＝2．
∵線段AB的長不大于4，
∴2≤4．
∴a≥．
∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋，
∴當a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝．
8. 已知：關于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．
（1）當x取何值時，二次函數y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的對稱軸是x=﹣2；
（2）求證：a取任何實數時，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0總有實數根．
【答案】（1）﹣2 （2）a取任何實數。
【解析】（1）根據二次函數對稱軸求法得出x=﹣==﹣2，即可求出；
當對稱軸是x=﹣2，
∴x=﹣ QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 ==﹣2，
解得：a=﹣1；
（2）利用一元二次方程根的判別式，證明其大于等于0即可．
∵△=（1﹣3a）2﹣4a（2a﹣1）=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，
∴a取任何實數時，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0總有實數根．
9. 已知二次函數y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m為常數，且m≠0）．
（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有公共點；
（2）設該函數的圖象與y軸交于點A，若點A在x軸上方，求m的取值范圍；
（3）該函數圖象所過的象限隨m的值變化而變化，直接寫出函數圖象所經過的象限及對應的m的取值范圍．
【答案】見解析。
【解析】（1）證明：當y＝0時，m（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝m+3，
當m+3＝1，即m＝﹣2時，方程有兩個相等的實數根；
當m+3≠1，即m≠﹣2時，方程有兩個不相等的實數根，
∴不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有公共點；
（2）解：當x＝0時，y＝m2+3m，
∴點A坐標為（0，m2+3m），
∵該函數的圖象與y軸交于點A，點A在x軸上方，
∴m2+3m＞0．
設z＝m2+3m，即z是m的二次函數，當m＝0或﹣3時，z＝0．
∵拋物線開口向上，
∴當m＞0或m＜﹣3時，z＞0．
∴m的取值范圍是m＞0或m＜﹣3；
（3）①當m＞0時，圖象經過一、二、四象限；
②當﹣3＜m＜0（m≠﹣2）時，圖象經過一、三、四象限；
③當m＝﹣2時，圖象經過三、四象限；
④當m＜﹣3時，圖象經過一、二、三、四象限．
10. 已知拋物y＝ax2+bx+c（b＜0）與x軸只有一個公共點．
（1）若拋物線與x軸的公共點坐標為（2，0），求a、c滿足的關系式；
（2）設A為拋物線上的一定點，直線l：y＝kx+1﹣k與拋物線交于點B、C，直線BD垂直于直線y＝﹣1，垂足為點D．當k＝0時，直線l與拋物線的一個交點在y軸上，且△ABC為等腰直角三角形．
①求點A的坐標和拋物線的解析式；
②證明：對于每個給定的實數k，都有A、D、C三點共線．
【答案】見解析。
【解析】（1）拋物線與x軸的公共點坐標即為函數頂點坐標，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，
則c＝4a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1過定點（1，1），
且當k＝0時，直線l變為y＝1平行x軸，與軸的交點為（0，1），
又△ABC為等腰直角三角形，
∴點A為拋物線的頂點；
①c＝1，頂點A（1，0），
拋物線的解析式：y＝x2﹣2x+1，
②，
x2﹣（2+k）x+k＝0，
x＝（2+k±），
xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1；
則D，
yC＝（2+k2+k，
C，A（1，0），
∴直線AD表達式中的k值為：kAD＝＝，
直線AC表達式中的k值為：kAC＝，
∴kAD＝kAC，點A、C、D三點共線．
【點撥】（1）拋物線與x軸的公共點坐標即為函數頂點坐標，即可求解；
（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1過定點（1，1），且當k＝0時，直線l變為y＝1平行x軸，與軸的交點為（0，1），可求解；②計算直線AD表達式中的k值、直線AC表達式中的k值，兩個k值相等即可求解．
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