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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十三章 旋轉
專題23.2 中心對稱
課節學習目標
1.理解中心對稱的定義.掌握中心對稱的性質及其應用.
2.會識別中心對稱圖形.會運用中心對稱圖形的性質解決實際問題.
3. 掌握兩點關于原點對稱時，橫縱坐標的關系.
4. 會在平面直角坐標系內作關于原點對稱的圖形.
5. 進一步體會數形結合的思想.
課節知識點解讀
知識點1.概念：如果把一個圖形(如△ABO)繞定點O旋轉180 ，它能夠與另一個圖形(如△CDO)重合，那么就說這兩個圖形△ABO與圖形△CDO關于點O的對稱或中心對稱，點O就是對稱中心.
如圖，△OCD與△OAB關于點O中心對稱 ，則O是對稱中心，點A與C是對稱點， 點B與D是對稱點.
（1）中心對稱是一種特殊的旋轉.其旋轉角是180 °.
（2）中心對稱是兩個圖形之間一種特殊的位置關系.
知識點2.中心對稱的性質
（1）成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經過對稱中心，且被對稱中心平分.（即對稱點與對稱中心三點共線）
（2）中心對稱的兩個圖形是全等形.
注意：中心對稱與軸對稱的異同
溫故知新：軸對稱圖形問題回顧
1．對稱軸：把一個圖形沿某條直線對折，如果它與另一個圖形重合，就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。
2．軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。
3．軸對稱的性質：
（1）關于某條直線成軸對稱的兩個圖形是全等形。
（2）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
（3）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。
（4）軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。
知識點3.探究中心對稱圖形的概念
1.中心對稱圖形的定義
把一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心. 注意：中心對稱圖形是指一個圖形.
2.探究中心對稱圖形的性質
經過對稱中心的直線把原圖形分成面積相等的兩部分。
3. 關于原點對稱的點的坐標關系特點
點P(a,b)關于原點對稱的點的坐標為P′（-a,-b)；
點P(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為P′（a,-b)；
點P(a,b)關于y軸對稱的點的坐標為P′（-a, b).
簡記為：“關于誰，誰不變，關于原點都改變”
4.作關于原點對稱的圖形的步驟：
(1) 寫出圖形頂點坐標；
(2) 寫出圖形頂點關于原點的對稱點的坐標；
(3) 描點；
(4) 順次連接；
(5) 下結論.
課節知識點例題講析
【例題1】繞一定點旋轉180°后與原來圖形重合的圖形是中心對稱圖形，正六邊形就是這樣的圖形.小明發現將正六邊形繞著它的中心旋轉一個小于180°的角，也可以使它與原來的正六邊形重合，請你寫出小明發現的一個旋轉角的度數_____.
【例題2】下列圖標中，屬于中心對稱的是 （ ）
【例題3】如圖，菱形對角線交點與坐標原點重合，點，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 下圖中△A′B′C′與△ABC關于點O是成中心對稱,你能從圖中找到哪些等量關系
2. 有一個正n邊形旋轉后與自身重合，則n為（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
3. 下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如圖是一個中心對稱圖形，則此圖形的對稱中心為（　　）
A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
6. 在平面直角坐標系中點A（2, 3）關于y軸對稱點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
7．若點P（2，）與點Q（，）關于原點對稱，則m＋n的值分別為（ ）
A． B． C．1 D．5
8. 如圖，已知△AOB與△DOC成中心對稱，△AOB的面積是12，AB＝3，則△DOC中CD邊上的高為________.
9. 平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是，求點關于軸的對稱點的坐標．
10.如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，點B，點O均為格點（每個小正方形的頂點叫做格點）．
（1）作點A關于點O的對稱點A1；
（2）連接A1B，將線段A1B繞點A1順時針旋轉90°得點B對應點B1，畫出旋轉后的線段A1B1；
（3）連接AB1，求出四邊形ABA1B1的面積．
11. 規定：在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉對稱圖形，且有兩個旋轉角．根據以上規定，回答問題：
（1）下列圖形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是________；
A．矩形 B．正五邊形 C．菱形 D．正六邊形
（2）下列圖形中，是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是60度的有：________（填序號）；
（3）下列三個命題：①中心對稱圖形是旋轉對稱圖形；②等腰三角形是旋轉對稱圖形；③圓是旋轉對稱圖形，其中真命題的個數有（ ）個；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如圖2的旋轉對稱圖形由等腰直角三角形和圓構成，旋轉角有45°，90°，135°，180°，將圖形補充完整．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十三章 旋轉
專題23.2 中心對稱
課節學習目標
1.理解中心對稱的定義.掌握中心對稱的性質及其應用.
2.會識別中心對稱圖形.會運用中心對稱圖形的性質解決實際問題.
3. 掌握兩點關于原點對稱時，橫縱坐標的關系.
4. 會在平面直角坐標系內作關于原點對稱的圖形.
5. 進一步體會數形結合的思想.
課節知識點解讀
知識點1.概念：如果把一個圖形(如△ABO)繞定點O旋轉180 ，它能夠與另一個圖形(如△CDO)重合，那么就說這兩個圖形△ABO與圖形△CDO關于點O的對稱或中心對稱，點O就是對稱中心.
如圖，△OCD與△OAB關于點O中心對稱 ，則O是對稱中心，點A與C是對稱點， 點B與D是對稱點.
（1）中心對稱是一種特殊的旋轉.其旋轉角是180 °.
（2）中心對稱是兩個圖形之間一種特殊的位置關系.
知識點2.中心對稱的性質
（1）成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經過對稱中心，且被對稱中心平分.（即對稱點與對稱中心三點共線）
（2）中心對稱的兩個圖形是全等形.
注意：中心對稱與軸對稱的異同
溫故知新：軸對稱圖形問題回顧
1．對稱軸：把一個圖形沿某條直線對折，如果它與另一個圖形重合，就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。
2．軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。
3．軸對稱的性質：
（1）關于某條直線成軸對稱的兩個圖形是全等形。
（2）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
（3）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。
（4）軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。
知識點3.探究中心對稱圖形的概念
1.中心對稱圖形的定義
把一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心. 注意：中心對稱圖形是指一個圖形.
2.探究中心對稱圖形的性質
經過對稱中心的直線把原圖形分成面積相等的兩部分。
3. 關于原點對稱的點的坐標關系特點
點P(a,b)關于原點對稱的點的坐標為P′（-a,-b)；
點P(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為P′（a,-b)；
點P(a,b)關于y軸對稱的點的坐標為P′（-a, b).
簡記為：“關于誰，誰不變，關于原點都改變”
4.作關于原點對稱的圖形的步驟：
(1) 寫出圖形頂點坐標；
(2) 寫出圖形頂點關于原點的對稱點的坐標；
(3) 描點；
(4) 順次連接；
(5) 下結論.
課節知識點例題講析
【例題1】繞一定點旋轉180°后與原來圖形重合的圖形是中心對稱圖形，正六邊形就是這樣的圖形.小明發現將正六邊形繞著它的中心旋轉一個小于180°的角，也可以使它與原來的正六邊形重合，請你寫出小明發現的一個旋轉角的度數_____.
【答案】60°
【解析】因為正六邊形是中心對稱圖形，所以，解題時要充分利用中心對稱圖形的有關知識.正六邊形繞著它的中心旋轉60°或120°都可以使它與原來的正六邊形重合.
【例題2】下列圖標中，屬于中心對稱的是 （ ）
【答案】C
【解析】根據中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合。因此所給圖標中，屬于中心對稱的是C。故選C。
【例題3】如圖，菱形對角線交點與坐標原點重合，點，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據菱形的中心對稱性，A、C坐標關于原點對稱，利用橫反縱也反的口訣求解即可．
∵菱形是中心對稱圖形，且對稱中心為原點，
∴A、C坐標關于原點對稱，
∴C的坐標為．
【點睛】本題考查了菱形的中心對稱性質，原點對稱，熟練掌握菱形的性質，關于原點對稱點的坐標特點是解題的關鍵．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 下圖中△A′B′C′與△ABC關于點O是成中心對稱,你能從圖中找到哪些等量關系
【答案】見解析。
【解析】成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經過對稱中心，且被對稱中心平分.（即對稱點與對稱中心三點共線）中心對稱的兩個圖形是全等形.
(1) OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′
（2）△ABC≌△A′B′C′
2. 有一個正n邊形旋轉后與自身重合，則n為（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】C
【解析】根據選項求出每個選項對應的正多邊形的中心角度數，與一致或有倍數關系的則符合題意．
如圖所示，計算出每個正多邊形中心角，是的3倍，則可以旋轉得到．
A.B.C.D.
觀察四個正多邊形的中心角，可以發現正12邊形旋轉90°后能與自身重合
故選C．
【點睛】本題考查正多邊形中心角與旋轉的知識，解決本題的關鍵是求出中心角的度數并與旋轉度數建立關系．
3. 下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據軸對稱和中心對稱的定義逐項判斷即可．軸對稱圖形是把一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合；中心對稱圖形是把一個圖形繞某一點旋轉180°，旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合．
A.既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；
B.軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；
C.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；
D.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，不符合題意．
【點睛】此題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形，解決本題的關鍵是熟練地掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的判斷方法．
4. 下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；
D、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意．
【點評】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180°后與原圖重合．
5．如圖是一個中心對稱圖形，則此圖形的對稱中心為（　　）
A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
【答案】B
【解析】如圖所示：
點A與點C是對應點，點D與點E是對應點，線段AC與DE相交于點B，
所以點B是對稱中心．故選B．
6. 在平面直角坐標系中點A（2, 3）關于y軸對稱點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據點的坐標關于坐標軸對稱的方法進行判斷，關于y軸對稱，則縱坐標不變，橫坐標互為相反數，進而問題得到解決．
由題意得：點關于y軸對稱點的坐標是．
【點睛】本題主要考查點的坐標關于坐標軸對稱，熟練掌握點的坐標關于坐標軸對稱的特征是解題的關鍵．
7．若點P（2，）與點Q（，）關于原點對稱，則m＋n的值分別為（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】B
【解析】∵P（2，-n）與點Q（-m，-3）關于原點對稱，
∴2=-（-m），-n=-（-3），
∴m=2，n=-3,
∴ ．
8. 如圖，已知△AOB與△DOC成中心對稱，△AOB的面積是12，AB＝3，則△DOC中CD邊上的高為________.
【答案】8
【解析】設AB邊上的高為h，因為△AOB的面積是12，AB＝3，易得h＝8.
又因為△AOB與△DOC成中心對稱，△COD≌△AOB，所以△DOC中CD邊上的高是8.
9. 平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是，求點關于軸的對稱點的坐標．
【答案】1
【解析】關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，
，
．
點，
關于軸對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標不變，
點的坐標為．
10.如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，點B，點O均為格點（每個小正方形的頂點叫做格點）．
（1）作點A關于點O的對稱點A1；
（2）連接A1B，將線段A1B繞點A1順時針旋轉90°得點B對應點B1，畫出旋轉后的線段A1B1；
（3）連接AB1，求出四邊形ABA1B1的面積．
【答案】見解析。
【解析】（1）依據中心對稱的性質，即可得到點A關于點O的對稱點A1；
（2）依據線段A1B繞點A1順時針旋轉90°得點B對應點B1，即可得出旋轉后的線段A1B1；
（3）依據割補法進行計算，即可得到四邊形ABA1B1的面積．
解：（1）如圖所示，點A1即為所求；
（2）如圖所示，線段A1B1即為所求；
（3）如圖，連接BB1，過點A作AE⊥BB1，過點A1作A1F⊥BB1，則
四邊形ABA1B1的面積=24
11. 規定：在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉對稱圖形，且有兩個旋轉角．根據以上規定，回答問題：
（1）下列圖形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是________；
A．矩形 B．正五邊形 C．菱形 D．正六邊形
（2）下列圖形中，是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是60度的有：________（填序號）；
（3）下列三個命題：①中心對稱圖形是旋轉對稱圖形；②等腰三角形是旋轉對稱圖形；③圓是旋轉對稱圖形，其中真命題的個數有（ ）個；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如圖2的旋轉對稱圖形由等腰直角三角形和圓構成，旋轉角有45°，90°，135°，180°，將圖形補充完整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）見解析
【解析】（1）根據旋轉對稱圖形的定義進行判斷；
（2）先分別求每一個圖形中的旋轉角，然后再進行判斷；
（3）根據旋轉對稱圖形的定義進行判斷；
（4）利用旋轉對稱圖形的定義進行設計．
解：（1）矩形、正五邊形、菱形、正六邊形都是旋轉對稱圖形，但正五邊形不是中心對稱圖形，
故選：B．
（2）是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案為：(1)(3)(5)．
（3）①中心對稱圖形，旋轉180°一定會和本身重合，是旋轉對稱圖形；故命題①正確；
②等腰三角形繞一個定點旋轉一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能與自身重合，只有等邊三角形是旋轉對稱圖形，故②不正確；
③圓具有旋轉不變性，繞圓心旋轉任意角度一定能與自身重合，是旋轉對稱圖形；故命題③正確；
即命題中①③正確，
故選：C．
（4）圖形如圖所示：
【點撥】本題考查旋轉對稱圖形，中心對稱圖形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
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