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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十三章 旋轉
專題23.4 旋轉單元基礎知識歸納總結
單元課標要求
（1）通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基 本性質：一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等。
（2）了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質: 成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分。
（3）探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質。
（4）認識并欣賞自然界和現實生活中的中心對稱圖形。
單元知識點思維導圖與題型方法總結
一、旋轉的特征
1．旋轉過程中，圖形上每一點都繞旋轉中心按同一旋轉方向旋轉同樣大小的角度．
2．任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離都相等．
3．旋轉前后對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀不變．
二、中心對稱
1．中心對稱
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
2．中心對稱的特征
中心對稱的特征：在成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．
3.中心對稱圖形
把一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心．
三、旋轉變換的應用總結
（1）求角度；
（2）求弧度；
（3）求面積；
（4）證明線段相等；
（5）證明角相等；
（6）證明位置關系；
（7）綜合應用。
解題關鍵就是，要抓住圖形變換過程中的幾何不變性即旋轉不變性、數值不變性等。
四、中心對稱圖形性質解題時注意的地方
（1）中心對稱圖形上的每一對對稱點所連成的線段都被對稱中心平分．
（2）過對稱中心的直線可以把中心對稱圖形分成面積相等的兩部分.
（3）對于這種由兩個中心對稱圖形組成的復合圖形，平分面積時，關鍵找到它們的對稱中心，再過對稱中心作直線.
1.畫旋轉后的圖形方法
(1)畫旋轉后的圖形，要善于抓住圖形特點，作出特殊點的對應點；
(2)旋轉作圖時要明確三個方面：旋轉中心、旋轉角度及旋轉方向(順時針或逆時針)．
五、中心對稱和中心對稱圖形的區別
區別：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系，這兩個圖形關于一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關于點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上。
如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關于中心對稱。
單元考點例題講析
考點一 旋轉的概念及性質的應用
【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，為等腰三角形，，點B到x軸的距離為4，若將繞點O逆時針旋轉，得到，則點的坐標為__________．
考點二 旋轉變換
【例題2】如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A、B的坐標分別是A(3,2) 、B(1,3).
(1)將△AOB繞點O逆時針旋轉90 °后得到△A1OB1，畫出旋轉后的圖形；
（2）畫出△AOB關于原點O對稱的圖形△A2OB2，并寫出點A2, B2的坐標.
【例題3】如圖，與關于O成中心對稱，下列結論中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
考點三 中心對稱
【例題4】下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A B C D
考點四 圖形變換的簡單應用
【例題5】如圖，由圖案（1）到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，不可能用到的圖形變換
是（ ）
A．軸對稱 B．旋轉 C．中心對稱 D．平移
【例題6】如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關于某點中心對稱，已知A, D1 ,D三點的坐標分別是（0,4），（0，3），（0，2）.
(1)對稱中心的坐標；
(2)寫出頂點B、 C、B1 、C1的坐標.
情感態度與價值觀教育--數學家事跡
對中心旋轉有研究的數學家是菲利克斯·克萊因。
菲利克斯·克萊因是19世紀末和20世紀初德國的數學家， 他在幾何學領域進行了思想上的革命， 這場革命被稱為“幾何學的群化”。 克萊因認為， 不同的幾何結構之間應該存在一些聯系， 它們可以通過一組變換來描述。 他提出了所謂的培爾斯背景(Erlangen Program)， 將幾何學的研究從具體的幾何對象中抽象出來， 轉向對它們的變換性質的研究。 克萊因的貢獻不僅在于將幾何學的研究從具體對象中抽象出來， 更重要的是， 他引入了群論這個強有力的工具， 將代數和幾何聯系在了一起。 這種聯系是以前不存在的， 因為傳統的幾何學只關注于幾何對象本身， 而沒有涉及到它們的變換。 克萊因的群化觀點對數學的發展產生了深遠影響， 促進了對于群的研究， 拓展了群論的應用范圍， 同時揭示了幾何之間的內在聯系， 提供了新的研究思路和方法。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十三章 旋轉
專題23.4 旋轉單元基礎知識歸納總結
單元課標要求
（1）通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基 本性質：一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等。
（2）了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質: 成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分。
（3）探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質。
（4）認識并欣賞自然界和現實生活中的中心對稱圖形。
單元知識點思維導圖與題型方法總結
一、旋轉的特征
1．旋轉過程中，圖形上每一點都繞旋轉中心按同一旋轉方向旋轉同樣大小的角度．
2．任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離都相等．
3．旋轉前后對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀不變．
二、中心對稱
1．中心對稱
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
2．中心對稱的特征
中心對稱的特征：在成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．
3.中心對稱圖形
把一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心．
三、旋轉變換的應用總結
（1）求角度；
（2）求弧度；
（3）求面積；
（4）證明線段相等；
（5）證明角相等；
（6）證明位置關系；
（7）綜合應用。
解題關鍵就是，要抓住圖形變換過程中的幾何不變性即旋轉不變性、數值不變性等。
四、中心對稱圖形性質解題時注意的地方
（1）中心對稱圖形上的每一對對稱點所連成的線段都被對稱中心平分．
（2）過對稱中心的直線可以把中心對稱圖形分成面積相等的兩部分.
（3）對于這種由兩個中心對稱圖形組成的復合圖形，平分面積時，關鍵找到它們的對稱中心，再過對稱中心作直線.
1.畫旋轉后的圖形方法
(1)畫旋轉后的圖形，要善于抓住圖形特點，作出特殊點的對應點；
(2)旋轉作圖時要明確三個方面：旋轉中心、旋轉角度及旋轉方向(順時針或逆時針)．
五、中心對稱和中心對稱圖形的區別
區別：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系，這兩個圖形關于一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關于點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上。
如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關于中心對稱。
單元考點例題講析
考點一 旋轉的概念及性質的應用
【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，為等腰三角形，，點B到x軸的距離為4，若將繞點O逆時針旋轉，得到，則點的坐標為__________．
【答案】
【解析】過B作于，過作軸于，構建，即可得出答案．
過B作于，過作軸于，
∴，
∴，
由旋轉可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了旋轉的性質以及如何構造全等三角形求得線段的長度，準確構造全等三角形求得線段長度是解題的關鍵．
【方法總結】 (1)畫旋轉后的圖形，要善于抓住圖形特點，作出特殊點的對應點；
(2)旋轉作圖時要明確三個方面：旋轉中心、旋轉角度及旋轉方向(順時針或逆時針)．
考點二 旋轉變換
【例題2】如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A、B的坐標分別是A(3,2) 、B(1,3).
(1)將△AOB繞點O逆時針旋轉90 °后得到△A1OB1，畫出旋轉后的圖形；
（2）畫出△AOB關于原點O對稱的圖形△A2OB2，并寫出點A2, B2的坐標.
【答案】見解析。
【解析】 (1)因為旋轉角90 °，故用直角三角板及圓規可快速確定對應點的位置；
（2）先根據關于原點對稱的點的坐標確定對稱頂點的坐標，再依次連結得到所要畫的圖形.
解：(1)如圖所示；
如圖所示，點A2的坐標為(-3，-2),B2的坐標為(-1，-3).
【例題3】如圖，與關于O成中心對稱，下列結論中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵對應點的連線被對稱中心平分，
∴，，
即B、D正確，
∵成中心對稱圖形的兩個圖形是全等形，
∴對應線段相等，
即，
∴C正確，故選A．
考點三 中心對稱
【例題4】下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A B C D
【答案】B
【解析】根據中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合。因此，
A．將此圖形繞任一點旋轉180度都不能與原來的圖形重合，這個圖形不是中心對稱圖形；
B．將此圖形繞圓心旋轉180度正好與原來的圖形重合，所以這個圖形是中心對稱圖形；
C．將此圖形繞任一點旋轉180度都不能與原來的圖形重合，這個圖形不是中心對稱圖形；
D．將此圖形繞任一點旋轉180度都不能與原來的圖形重合，這個圖形不是中心對稱圖形。
【方法總結】中心對稱圖形和軸對稱圖形的主要區別在于一個是繞一點旋轉，另一個是沿一條直線對折.這是易錯點，也是辨別它們不同的關鍵.
考點四 圖形變換的簡單應用
【例題5】如圖，由圖案（1）到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，不可能用到的圖形變換
是（ ）
A．軸對稱 B．旋轉 C．中心對稱 D．平移
【答案】D
【解析】圖（2）將圖形繞著中心點旋轉90°的整數倍后均能與原圖形重合，圖案包含旋轉變換和中心對稱．圖（3）中有4條對稱軸，本題圖案包含軸對稱變換．不符合題意；
圖（1）三角形沿某一直線方向移動不能與圖（2）（3）中三角形重合，故沒有用到平移．
故選：D．
【例題6】如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關于某點中心對稱，已知A, D1 ,D三點的坐標分別是（0,4），（0，3），（0，2）.
(1)對稱中心的坐標；
(2)寫出頂點B、 C、B1 、C1的坐標.
【答案】見解析
【解析】（1）根據對稱中心的性質，可得
對稱中心的坐標是D1D的中點，
∵D1，D的坐標分別是（0，3），（0，2），
∴對稱中心的坐標是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐標分別是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的邊長都是：4﹣2=2，
∴B、C的坐標分別是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A1D1=2，D1的坐標是（0，3），
∴A1的坐標是（0，1），
∴B1、C1的坐標分別是（2，1），（2，3），
綜上，可得頂點B、C、B1 、C1的坐標分別是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
情感態度與價值觀教育--數學家事跡
對中心旋轉有研究的數學家是菲利克斯·克萊因。
菲利克斯·克萊因是19世紀末和20世紀初德國的數學家， 他在幾何學領域進行了思想上的革命， 這場革命被稱為“幾何學的群化”。 克萊因認為， 不同的幾何結構之間應該存在一些聯系， 它們可以通過一組變換來描述。 他提出了所謂的培爾斯背景(Erlangen Program)， 將幾何學的研究從具體的幾何對象中抽象出來， 轉向對它們的變換性質的研究。 克萊因的貢獻不僅在于將幾何學的研究從具體對象中抽象出來， 更重要的是， 他引入了群論這個強有力的工具， 將代數和幾何聯系在了一起。 這種聯系是以前不存在的， 因為傳統的幾何學只關注于幾何對象本身， 而沒有涉及到它們的變換。 克萊因的群化觀點對數學的發展產生了深遠影響， 促進了對于群的研究， 拓展了群論的應用范圍， 同時揭示了幾何之間的內在聯系， 提供了新的研究思路和方法。
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