資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十四章 圓
專題24.2 點和圓、直線和圓的位置關系
課節學習目標
1. 掌握不在同一直線上的三點確定一個圓．
2. 理解三角形的外接圓和三角形外心的概念．
3. 會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點作圓的切線.
4. 理解并掌握圓的切線的判定定理及性質定理.能運用圓的切線的判定定理和性質定理解決問題.
5. 了解三角形內切圓、內心的概念，會作三角形內切圓；掌握切線長定理，并會用其解決有關問題．
課節知識點解讀
知識點1. 點和圓的文字關系
1.點和圓的位置關系幾何圖
設已知圓的半徑為r,點p到圓心的距離為d．則
(1)d(2)d=r 點p在⊙O上；
(3)d>r 點p在⊙O外．
判斷點與圓之間的位置關系，將該點的圓心距與半徑作比較即可．解決這類問題體現了數形結合的思想。
2.定理
不在同一直線上的三個點確定一個圓. 有且只有一個圓.
3.三角形的外接圓及外心
（1）三角形的外接圓
⊙O叫做△ABC的外接圓， △ABC叫做⊙O的內接三角形.
（2）三角形的外心
定義：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.
作圖：三角形三邊中垂線的交點.
性質：到三角形三個頂點的距離相等.
歸納總結：經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.
4.反證法的定義
先假設命題的結論不成立，然后由此經過推理得出矛盾(常與公理、定理、定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．
反證法的一般步驟驟
（1）假設命題的結論不成立
（2）從這個假設出發，經過推理，得出矛盾
（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確
知識點2. 直線與圓的位置關系
1.用定義判斷直線與圓的位置關系
(1) 相離、相切、相交
（2）圓的切線
直線和圓有唯一的公共點（即直線和圓相切）時，這條直線叫做圓的切線（如圖直線l），這個唯一的公共點叫做切點（如圖點A）.
2.用數量關系判斷直線與圓的位置關系
用圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關系來區分）
（1）直線和圓相交，d< r
（2）直線和圓相切，d= r
（3）直線和圓相離，d> r
體現了數形結合思想。
3．歸納：直線和圓的位置關系
位置關系 相離 相切 相交
圖形
公共點個數 0個 1個 2個
數量關系 d>r d=r d由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關于圓的位置或計算題中常常出現分類討論多解的情況．
知識點3. 圓的切線
1.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
OA為⊙O的半徑，BC ⊥ OA于A。則BC為⊙O的切線。
注意：在此定理中，“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線。
2.判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：
（1）定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;
（2）數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；
（3）判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
3.證切線時輔助線的添加方法
(1) 有交點，連半徑,證垂直;
(2) 無交點，作垂直,證半徑.
4.有切線時常用輔助線添加方法
見切點，連半徑，得垂直.
5.切線的其他重要結論
(1)經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點;
(2)經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.
6.切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．
直線l是⊙O 的切線，A是切點， 直線l ⊥OA.
說明：利用切線的性質解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點，構造直角三角形，再利用直角三角形的相關性質解題.
知識點4. 切線長（拓展）
1.切線長的定義：切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長．
2.切線長與切線的區別
①切線是直線，不能度量.
②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．
3切線長定理:過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
幾何語言:PA、PB分別切☉O于A、B，則PA = PB， ∠OPA=∠OPB
注意：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.
知識點5. 三角形的內心
1.三角形的內切圓及作法
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各邊都相切的圓.
作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O.
2.過點O作OD⊥BC.垂足為D.
3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.
☉O就是所求的圓.
（1）與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內切圓.
（2）三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.
（3）這個三角形叫做這個圓的外切三角形.
2.三角形的內心的性質
（1）三角形的內心在三角形的角平分線上.
（2）三角形的內心到三角形的三邊距離相等.
注意：解決本專題問題輔助線連接技巧
（1）分別連接圓心和切點；
（2）連接兩切點；
（3）連接圓心和圓外一點.
注意：運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程.
課節知識點例題講析
【例題1】已知⊙O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，則點A與⊙O的位置關系是( )
A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內 C．點A在⊙O外 D．點A與圓心O重合
【例題2】如圖，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圓半徑.
【例題3】已知⊙O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，則點A與⊙O的位置關系是（ ）
A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內 C．點A在⊙O外 D．點A與圓心O重合
【例題4】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，若∠BAC＝35°，則∠ACB的大小為（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【例題5】如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 點O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為 　　 ．
2. 已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO=2，則直線l與⊙O的位置關系是（ ）
A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交
3．如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，PO的延長線交⊙O于點B，若∠P=40°，則∠B的度數為 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
4．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C=40°．則∠ABD的度數是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C為⊙O上一點，則∠ACB的度數為（　?。?br/>A．110° B．120° C．125° D．130°
6. 如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4.
（1）以A為圓心，4為半徑作⊙A，則點B、C、D與⊙A的位置關系如何？
（2）若以A點為圓心作⊙A，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍？（直接寫出答案）
7. 已知：不在同一直線上的三點A、B、C.
求作： ⊙O,使它經過點A、B、C.
8. 如圖，將△AOB置于平面直角坐標系中，O為原點，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圓與y軸交于點D(0，3)．
(1)求∠DAO的度數；
(2)求點A的坐標和△AOB外接圓的面積．
9. 求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°.
10. 如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
11.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P， PE⊥AC于E.
求證:PE是⊙O的切線.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第二十四章 圓
專題24.2 點和圓、直線和圓的位置關系
課節學習目標
1. 掌握不在同一直線上的三點確定一個圓．
2. 理解三角形的外接圓和三角形外心的概念．
3. 會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點作圓的切線.
4. 理解并掌握圓的切線的判定定理及性質定理.能運用圓的切線的判定定理和性質定理解決問題.
5. 了解三角形內切圓、內心的概念，會作三角形內切圓；掌握切線長定理，并會用其解決有關問題．
課節知識點解讀
知識點1. 點和圓的文字關系
1.點和圓的位置關系幾何圖
設已知圓的半徑為r,點p到圓心的距離為d．則
(1)d(2)d=r 點p在⊙O上；
(3)d>r 點p在⊙O外．
判斷點與圓之間的位置關系，將該點的圓心距與半徑作比較即可．解決這類問題體現了數形結合的思想。
2.定理
不在同一直線上的三個點確定一個圓. 有且只有一個圓.
3.三角形的外接圓及外心
（1）三角形的外接圓
⊙O叫做△ABC的外接圓， △ABC叫做⊙O的內接三角形.
（2）三角形的外心
定義：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.
作圖：三角形三邊中垂線的交點.
性質：到三角形三個頂點的距離相等.
歸納總結：經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.
4.反證法的定義
先假設命題的結論不成立，然后由此經過推理得出矛盾(常與公理、定理、定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．
反證法的一般步驟驟
（1）假設命題的結論不成立
（2）從這個假設出發，經過推理，得出矛盾
（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確
知識點2. 直線與圓的位置關系
1.用定義判斷直線與圓的位置關系
(1) 相離、相切、相交
（2）圓的切線
直線和圓有唯一的公共點（即直線和圓相切）時，這條直線叫做圓的切線（如圖直線l），這個唯一的公共點叫做切點（如圖點A）.
2.用數量關系判斷直線與圓的位置關系
用圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關系來區分）
（1）直線和圓相交，d< r
（2）直線和圓相切，d= r
（3）直線和圓相離，d> r
體現了數形結合思想。
3．歸納：直線和圓的位置關系
位置關系 相離 相切 相交
圖形
公共點個數 0個 1個 2個
數量關系 d>r d=r d由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關于圓的位置或計算題中常常出現分類討論多解的情況．
知識點3. 圓的切線
1.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
OA為⊙O的半徑，BC ⊥ OA于A。則BC為⊙O的切線。
注意：在此定理中，“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線。
2.判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：
（1）定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;
（2）數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；
（3）判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
3.證切線時輔助線的添加方法
(1) 有交點，連半徑,證垂直;
(2) 無交點，作垂直,證半徑.
4.有切線時常用輔助線添加方法
見切點，連半徑，得垂直.
5.切線的其他重要結論
(1)經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點;
(2)經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.
6.切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．
直線l是⊙O 的切線，A是切點， 直線l ⊥OA.
說明：利用切線的性質解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點，構造直角三角形，再利用直角三角形的相關性質解題.
知識點4. 切線長（拓展）
1.切線長的定義：切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長．
2.切線長與切線的區別
①切線是直線，不能度量.
②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．
3切線長定理:過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
幾何語言:PA、PB分別切☉O于A、B，則PA = PB， ∠OPA=∠OPB
注意：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.
知識點5. 三角形的內心
1.三角形的內切圓及作法
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各邊都相切的圓.
作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O.
2.過點O作OD⊥BC.垂足為D.
3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.
☉O就是所求的圓.
（1）與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內切圓.
（2）三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.
（3）這個三角形叫做這個圓的外切三角形.
2.三角形的內心的性質
（1）三角形的內心在三角形的角平分線上.
（2）三角形的內心到三角形的三邊距離相等.
注意：解決本專題問題輔助線連接技巧
（1）分別連接圓心和切點；
（2）連接兩切點；
（3）連接圓心和圓外一點.
注意：運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程.
課節知識點例題講析
【例題1】已知⊙O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，則點A與⊙O的位置關系是( )
A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內 C．點A在⊙O外 D．點A與圓心O重合
【答案】C
【解析】直接根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．
∵O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，
即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，∴點A在⊙O外．
【例題2】如圖，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圓半徑.
【答案】6.5cm.
【解析】設Rt△ABC 的外接圓的外心為O，連接OC，則OA=OB=OC.
∴O是斜邊AB 的中點.
∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圓半徑為6.5cm.
【例題3】已知⊙O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，則點A與⊙O的位置關系是（ ）
A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內 C．點A在⊙O外 D．點A與圓心O重合
【答案】C
【解析】直接根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．
∵O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，
即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，
∴點A在⊙O外．
【例題4】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，若∠BAC＝35°，則∠ACB的大小為（　?。?br/>A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】先根據切線的性質得到∠ABC＝90°，然后利用互余計算出∠ACB的度數．
∵BC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
【例題5】如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由切線性質得出，根據三角形的內角和是、對頂角相等求出，即可得出答案；
PA與⊙O相切于點A，AD是⊙O的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查圓內求角的度數，涉及知識點：切線的性質、對頂角相等、等腰三角形的性質、三角形的內角和是，解題關鍵根據切線性質推出．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 點O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為 　　 ．
【答案】55°或125°．
【解析】由題意可知，需要分兩種情況：①△ABC是銳角三角形；②△ABC是鈍角三角形，再分別求解即可．
解：①△ABC是銳角三角形，如圖，
∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC是鈍角三角形，如圖，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
2. 已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO=2，則直線l與⊙O的位置關系是（ ）
A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交
【答案】D
【解析】根據直線與圓的位置關系來判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相離：d＞r（d為直線與圓的距離，r為圓的半徑）．因此，分OP垂直于直線l，OP不垂直直線l兩種情況討論：
當OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d=2=r，⊙O與l相切；
當OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d=2＜r，⊙O與直線l相交．
故直線l與⊙O的位置關系是相切或相交．
3．如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，PO的延長線交⊙O于點B，若∠P=40°，則∠B的度數為 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】連接OA，由切線的性質可得∠OAP=90°，繼而根據直角三角形兩銳角互余可得∠AOP=50°，再根據圓周角定理即可求得答案.
連接OA，如圖：
∵PA是⊙O的切線，切點為A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=1/2∠AOB=25°
4．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C=40°．則∠ABD的度數是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】B
【解析】∵AC為切線 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°
∴∠ABD=∠ODB=25°.
5．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C為⊙O上一點，則∠ACB的度數為（　?。?br/>A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】由切線的性質得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四邊形內角和可求∠AOB＝110°，再利用圓周角定理可求∠ADB＝55°，再根據圓內接四邊形對角互補可求∠ACB．
如圖所示，連接OA，OB，在優弧AB上取點D，連接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O切線，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圓內接四邊形的對角互補，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
6. 如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4.
（1）以A為圓心，4為半徑作⊙A，則點B、C、D與⊙A的位置關系如何？
（2）若以A點為圓心作⊙A，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍？（直接寫出答案）
【答案】見解析。
【解析】（1）AD=4=r，故D點在⊙A上
AB=3AC=5>r，故C點在⊙A外
（2）37. 已知：不在同一直線上的三點A、B、C.
求作： ⊙O,使它經過點A、B、C.
【答案】見解析。
【解析】作法：
1．連結AB，作線段AB的垂直平分線MN；
2．連接AC，作線段AC的垂直平分線EF，交MN于點O；
3．以O為圓心，OB為半徑作圓。
所以⊙O就是所求作的圓.
8. 如圖，將△AOB置于平面直角坐標系中，O為原點，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圓與y軸交于點D(0，3)．
(1)求∠DAO的度數；
(2)求點A的坐標和△AOB外接圓的面積．
【答案】見解析。
【解析】(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
(2)∵點D的坐標是(0，3)，∴OD＝3.
在直角△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝ ，
AD＝2OD＝6，
∴點A的坐標是( ，0)．
∵∠AOD＝90°，∴AD是圓的直徑，
∴△AOB外接圓的面積是9π.
9. 求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°.
已知：△ABC
求證：△ABC中至少有一個內角小于或等于60°.
證明：假設△ABC中沒有一個內角小于或等于60° ，
則∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°。
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，
即三角形的內角和為180度 .
這與∠A+∠B+∠C>180°矛盾．假設不成立．
∴△ABC中至少有一個內角小于或等于60°．
10. 如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由切線性質得出，根據三角形的內角和是、對頂角相等求出，即可得出答案；
PA與⊙O相切于點A，AD是⊙O的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查圓內求角的度數，涉及知識點：切線的性質、對頂角相等、等腰三角形的性質、三角形的內角和是，解題關鍵根據切線性質推出．
11.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P， PE⊥AC于E.
求證:PE是⊙O的切線.
證明：連接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE為⊙O的切線.
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