資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十四章 圓
專題24.3 正多邊形和圓
課節學習目標
1.了解正多邊形和圓的有關概念。
2.理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長之間的關系。
3.會應用正多邊形和圓的有關知識解決實際問題。
課節知識點解讀
知識點1. 正多邊形和圓
1.正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。
2.正多邊形和圓的關系：只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。
知識點2. 正多邊形的對稱性
1.正多邊形的軸對稱性。正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。
2.正多邊形的中心對稱性。邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。
3.正多邊形的畫法。先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。
知識點3. 正多邊形的性質
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓.
(1)正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心，叫作正多邊形的中心.
(2)外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑.
(3)內切圓的半徑叫作正多邊形的邊心距.
(4)正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.正多邊形的每個中心角都等于
知識點4. 正多邊形的有關計算
(1)正n邊形的中心角怎么計算？
(2)正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r之間有什么關系？
(3)邊長a，邊心距r的正n邊形的面積如何計算？
特別重要：圓內接正多邊形的輔助線
(1)連半徑，得中心角；
(2)作邊心距，構造直角三角形.
方法總結：
1.正n邊形都是軸對稱圖形，都有n條對稱軸，只有邊數為偶數的正多邊形才是中心對稱圖形.
2.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓.
3.正多邊形的有關計算添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距.
4.記憶概念思維導圖
課節知識點例題講析
考點1. 多邊形中心角
【例題1】如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點A，則∠PAB=（　　）
A． 30° B． 35° C． 45° D． 60°
【答案】A
【解析】連接OB，AD，BD，由多邊形是正六邊形可求出∠AOB的度數，再根據圓周角定理即可求出∠ADB的度數，利用弦切角定理∠PAB．
連接OB，AD，BD，
∵多邊形ABCDEF是正多邊形，
∴AD為外接圓的直徑，
∠AOB==60°，
∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．
∵直線PA與⊙O相切于點A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，故選A．
【例題2】如圖，正六邊形內接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】連接OB，OC，由⊙O的周長等于6π，可得⊙O的半徑，又由圓的內接多邊形的性質，即可求得答案．
連接OB，OC，
∵⊙O的周長等于6π，
∴⊙O的半徑為：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的內接正六邊形ABCDEF的邊長為3，
故選：C．
【點睛】此題考查了正多邊形與圓的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
考點2. 正多邊形與圓
【例題3】如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
【答案】A
【解析】先根據五邊形的內角和求∠E＝∠D＝108°，由切線的性質得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五邊形的內角和相減可得結論．
正五邊形的內角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分別與⊙O相切于A、C兩點，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（ ）
A. 2mm B. C. D. 4mm
【答案】D
【解析】如圖，連接CF與AD交于點O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
連接CF與AD交于點O，
∵正六邊形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD為等邊三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六邊形的邊長為4mm，故選：D．
【點睛】考查正多邊形與圓的性質，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關系是解題的關鍵．
2. 如圖，圓內接正六邊形的邊長為4，以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】正六邊形的面積加上六個小半圓的面積，再減去中間大圓的面積即可得到結果．
【詳解】解：正六邊形的面積為：，
六個小半圓的面積為：，中間大圓的面積為：，
所以陰影部分的面積為：，
故選：A．
3.如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（　　）
　
A．2， B．2，π C． ， D． 2，
【答案】D
【解析】正六邊形的邊長與外接圓的半徑相等，構建直角三角形，利用直角三角形的邊角關系即可求出OM，再利用弧長公式求解即可．連接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，故選D．
4. 正六邊形的邊長為4，則它的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】據題意畫出圖形，由正六邊形的特點求出∠AOB的度數及OG的長，再由△OAB的面積即可求解．
如圖，過正六邊形中心O作OG⊥AB于G
∵此多邊形為正六邊形，
∴∠AOB==60°；
∵OA=OB，∠AOB=60°,OG⊥AB
∴△OAB是等邊三角形，
∴OA=AB=4，
∴OG=OA cos30°=4×=2，
∴S△OAB=×AB×OG=×4×2=4，
∴S六邊形=6S△OAB=6×4=24
故選：B．
5. 如圖，正六邊形和正五邊形內接于，且有公共頂點A，則的度數為______度．
【答案】12
【解析】連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．
連接AO，如圖，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多邊形AHIJK是正五邊形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案為：12．
【點睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識，掌握正多邊形中心角的計算方法是解答本題的關鍵．
6. （2023山東菏澤）如圖，正八邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為__________（結果保留）．
【答案】
【解析】先利用正八邊形求出圓心角的度數，再利用扇形的面積公式求解即可．
由題意，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形與圓，扇形的面積等知識，解題的關鍵是記住扇形的面積，正多邊形的每個內角度數為．
7.如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為4，求這個正六邊形的邊心距OM和的長。
【答案】2，
【解析】正六邊形的邊長與外接圓的半徑相等，構建直角三角形，利用直角三角形的邊角關系即可求出OM，再利用弧長公式求解即可．連接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，故選D．
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第二十四章 圓
專題24.3 正多邊形和圓
課節學習目標
1.了解正多邊形和圓的有關概念。
2.理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長之間的關系。
3.會應用正多邊形和圓的有關知識解決實際問題。
課節知識點解讀
知識點1. 正多邊形和圓
1.正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。
2.正多邊形和圓的關系：只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。
知識點2. 正多邊形的對稱性
1.正多邊形的軸對稱性。正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。
2.正多邊形的中心對稱性。邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。
3.正多邊形的畫法。先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。
知識點3. 正多邊形的性質
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓.
(1)正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心，叫作正多邊形的中心.
(2)外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑.
(3)內切圓的半徑叫作正多邊形的邊心距.
(4)正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.正多邊形的每個中心角都等于
知識點4. 正多邊形的有關計算
(1)正n邊形的中心角怎么計算？
(2)正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r之間有什么關系？
(3)邊長a，邊心距r的正n邊形的面積如何計算？
特別重要：圓內接正多邊形的輔助線
(1)連半徑，得中心角；
(2)作邊心距，構造直角三角形.
方法總結：
1.正n邊形都是軸對稱圖形，都有n條對稱軸，只有邊數為偶數的正多邊形才是中心對稱圖形.
2.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓.
3.正多邊形的有關計算添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距.
4.記憶概念思維導圖
課節知識點例題講析
考點1. 多邊形中心角
【例題1】如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點A，則∠PAB=（　　）
A． 30° B． 35° C． 45° D． 60°
【例題2】如圖，正六邊形內接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（ ）
A. B. C. 3 D.
考點2. 正多邊形與圓
【例題3】如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（ ）
A. 2mm B. C. D. 4mm
2. 如圖，圓內接正六邊形的邊長為4，以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（　　）
　
A．2， B．2，π C． ， D． 2，
4. 正六邊形的邊長為4，則它的面積為（ ）
A． B． C． D．
5. 如圖，正六邊形和正五邊形內接于，且有公共頂點A，則的度數為______度．
6. （2023山東菏澤）如圖，正八邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為__________（結果保留）．
7.如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為4，求這個正六邊形的邊心距OM和的長。
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