資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十四章 圓
專題24.4 弧長和扇形面積
課節學習目標
1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程。
2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算。
3.體會圓錐側面積的探索過程。會求圓錐的側面積，并能解決一些簡單的實際問題。
課節知識點解讀
知識點1. 與弧長相關的計算
扇形的弧長l=；
注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.
知識點2. 與扇形面積相關的計算
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積S==．扇形的面積與圓心角、半徑有關.
知識點3. 弓形的面積公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
知識小結：
知識點4. 圓錐
1.圓錐及相關概念
（1）圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點S和底面圓上任一點的連線叫做圓錐的母線．圓錐有無數條母線，它們都相等．
（2）圓錐的高：從圓錐的頂點到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．
注意：如果用r表示圓錐底面的半徑, h表示圓錐的高線長, l表示圓錐的母線長,那么r、h、l 之間數量關系是：r2+h2=l2
2.圓錐的側面展開圖
圓錐的側面展開圖是扇形。
其側面展開圖扇形的半徑=母線的長l
（2）側面展開圖扇形的弧長=底面周長 C=2πr，
（3）圓錐的側面積計算公式(r表示圓錐底面的半徑, l 表示圓錐的母線長 )
圓錐的全面積計算公式
S圓錐全＝側面積＋底面圓面積=πrl＋πr2．
溫馨提醒：求陰影部分面積的幾種常見方法：
（1）公式法；
（2）割補法；
（3）拼湊法；
（4）等積變形構造方程法；
（5）去重法．
重點說明：
1.用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.
2.扇形面積公式
①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；
②公式要理解記憶（即按照上面推導過程記憶）.
課節知識點例題講析
【例題1】（2023大連）圓心角為，半徑為3的扇形弧長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據弧長公式（弧長為l，圓心角度數為n，圓半徑為r），由此計算即可．
該扇形的弧長，
故選：C．
【點睛】本題考查了扇形的弧長計算公式（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為r），正確記憶弧長公式是解答此題的關鍵．
【例題2】某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】A
【解析】如圖，根據切線的性質可得，根據四邊形內角和可得的角度，進而可得所對的圓心角，根據弧長公式進行計算即可求解．如圖，
PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．
，
∠P＝40°，
，
該圓半徑是9cm，
cm．
【點睛】本題考查了切線的性質，求弧長，牢記弧長公式是解題的關鍵．
【例題3】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交弧AB于點E，以點O為圓心，OC的長為半徑作弧CD交OB于點D，若OA＝2，則陰影部分的面積為（　　）
A． B． C．+ D．
【答案】C
【解析】連接OE、AE，
∵點C為OA的中點，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO為等邊三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
【例題4】已知圓錐的高為8，母線長為10，則其側面展開圖的面積為_______．
【答案】60πcm2
【解析】利用勾股定理易得圓錐的底面半徑，那么圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2．
圓錐的高為8cm，母線長為10cm，由勾股定理得，底面半徑=6cm，底面周長=12πcm，
側面展開圖的面積=×12π×10=60πcm2．
【點睛】本題利用了勾股定理，圓的周長公式和扇形面積公式求解．
【例題5】如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側面展開圖的面積是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【答案】C
【解析】【分析】先利用勾股定理計算出AC=25cm，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則可根據扇形的面積公式計算出圓錐的側面積．
【詳解】在中，
cm，
∴它側面展開圖的面積是cm2．
故選：C
【點睛】本題考查了圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關鍵．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 如果圓錐側面展開圖的面積是，母線長是，則這個圓錐的底面半徑是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】根據圓錐側面積公式，進行計算即可求解．
設這個圓錐的底面半徑是，依題意，
∴
故選：A．
【點睛】本題考查了求圓錐底面半徑，熟練掌握圓錐側面積公式是解題的關鍵．
2. 如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據底面周長等于的長，即可求解．
依題意，的長，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓錐的側面展開圖的弧長，熟練掌握圓錐底面周長等于的長是解題的關鍵．
3．某小區內的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內外邊緣均為圓弧，，所在圓的圓心為O，點C，D分別在OA，OB上．已知消防車道半徑OC＝12m，消防車道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，則彎道外邊緣的長為（　　）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
【答案】C
【解析】根據線段的和差得到OA＝OC+AC，然后根據弧長公式即可得到結論．
∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴彎道外邊緣的長為：＝（m）．
4. 一個扇形的面積為，半徑為，則此扇形的圓心角是_____度．
【答案】70
【解析】設扇形的圓心角是 ，根據扇形的面積公式即可得到一個關于n的方程，解方程即可求解．
設扇形的圓心角是，根據扇形的面積公式得：
解得n=70．
故答案是：．
【點睛】此題主要考查扇形的面積公式，解題的關鍵是熟知扇形的面積公式的運用.
5．如圖，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積是 　　．（結果保留π）
【答案】π﹣．
【解析】由∠C＝45°根據圓周角定理得出∠AOB＝90°，根據S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出結論．
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
6．如圖，圓錐的高是4，它的側面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側面積是 　　（結果保留π）．
【答案】6π．
【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，
根據題意得：2πr＝，
解得：l＝3r，
∵高為4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝，
∴母線長為3，
∴圓錐的側面積為πrl＝π××3＝6π．
7. 如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，則煙囪帽的側面積為_______．（結果保留）
【答案】
【解析】根據圓錐側面展開圖是一個扇形，由扇形面積公式代值求解即可得到答案．
圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，
煙囪帽的側面積（），
故答案為：．
【點睛】本題考查圓錐側面展開圖及扇形面積公式，熟記扇形面積公式是解決問題的關鍵．
8．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若母線長為，扇形的圓心角，則圓錐的底面圓半徑為__________．
【答案】2
【解析】結合題意，根據弧長公式，得圓錐的底面圓周長；再根據圓形周長的性質計算，即可得到答案．
∵母線長為，扇形的圓心角
∴圓錐的底面圓周長
∴圓錐的底面圓半徑
9.蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個底面積為35m2，高為3.5m，外圍高為1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（精確到1m2）？
【答案】見解析。
【解析】如圖是一個蒙古包示意圖．
根據題意，下部圓柱的底面積為35m2，高為1.5m；上部圓錐的高為3.5－1.5=2（m）．
圓柱的底面積半徑為
側面積為2π×3.34×1.5≈31.46（平方米），
圓錐的母線長為
側面展開扇形的弧長為
圓錐的側面積為
20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．
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第二十四章 圓
專題24.4 弧長和扇形面積
課節學習目標
1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程。
2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算。
3.體會圓錐側面積的探索過程。會求圓錐的側面積，并能解決一些簡單的實際問題。
課節知識點解讀
知識點1. 與弧長相關的計算
扇形的弧長l=；
注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.
知識點2. 與扇形面積相關的計算
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積S==．扇形的面積與圓心角、半徑有關.
知識點3. 弓形的面積公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
知識小結：
知識點4. 圓錐
1.圓錐及相關概念
（1）圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點S和底面圓上任一點的連線叫做圓錐的母線．圓錐有無數條母線，它們都相等．
（2）圓錐的高：從圓錐的頂點到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．
注意：如果用r表示圓錐底面的半徑, h表示圓錐的高線長, l表示圓錐的母線長,那么r、h、l 之間數量關系是：r2+h2=l2
2.圓錐的側面展開圖
圓錐的側面展開圖是扇形。
其側面展開圖扇形的半徑=母線的長l
（2）側面展開圖扇形的弧長=底面周長 C=2πr，
（3）圓錐的側面積計算公式(r表示圓錐底面的半徑, l 表示圓錐的母線長 )
圓錐的全面積計算公式
S圓錐全＝側面積＋底面圓面積=πrl＋πr2．
溫馨提醒：求陰影部分面積的幾種常見方法：
（1）公式法；
（2）割補法；
（3）拼湊法；
（4）等積變形構造方程法；
（5）去重法．
重點說明：
1.用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.
2.扇形面積公式
①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；
②公式要理解記憶（即按照上面推導過程記憶）.
課節知識點例題講析
【例題1】（2023大連）圓心角為，半徑為3的扇形弧長為（ ）
A. B. C. D.
【例題2】某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【例題3】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交弧AB于點E，以點O為圓心，OC的長為半徑作弧CD交OB于點D，若OA＝2，則陰影部分的面積為（　　）
A． B． C．+ D．
【例題4】已知圓錐的高為8，母線長為10，則其側面展開圖的面積為_______．
【例題5】如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側面展開圖的面積是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 如果圓錐側面展開圖的面積是，母線長是，則這個圓錐的底面半徑是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（ ）
A. B. C. D.
3．某小區內的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內外邊緣均為圓弧，，所在圓的圓心為O，點C，D分別在OA，OB上．已知消防車道半徑OC＝12m，消防車道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，則彎道外邊緣的長為（　　）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
4. 一個扇形的面積為，半徑為，則此扇形的圓心角是_____度．
5．如圖，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積是 　　．（結果保留π）
6．如圖，圓錐的高是4，它的側面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側面積是 　　（結果保留π）．
7. 如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，則煙囪帽的側面積為_______．（結果保留）
8．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若母線長為，扇形的圓心角，則圓錐的底面圓半徑為__________．
9.蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個底面積為35m2，高為3.5m，外圍高為1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（精確到1m2）？
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