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中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十四章 圓
專題24.5 探索四點共圓的條件（拓展）
課節學習目標
1.通過四點共圓的條件的探索和猜想的證明，體會由特殊到一般、轉化的數學思想。
2.能用四點共圓的條件解決圓的有關問題。
課節知識點解讀
四點共圓的判定定理：對角互補的四邊形的四個頂點共圓。
幾何語言：在四邊形ABCD中
∵∠B+∠D=180°
∴過 A、B、C、D四點可作一個圓。
四點共圓的判定定理推論1：若一個四邊形的外角等于它的內對角，則這個四邊形的四個頂點共圓。
幾何語言：在四邊形ABCD中
∵∠DCE=∠A
∴過A、B、C、D四點可作一個圓。
四點共圓的判定定理推論2：共斜邊的直角三角形的頂點共圓。
幾何語言：若∠BAC=∠BDC=90°，則A、B、C、D四點共圓.
四點共圓的判定定理推論3：同邊的兩個三角形夾角相等，且在同一邊的同側，則四點共圓。
幾何語言：若∠BAC=∠BDC=90°，則A、B、C、D四點共圓。
課節知識點例題講析
【例題1】如圖，經過四邊形ABCD的四個頂點可以做一個圓，若∠A=120°，則∠C的度數為_________.
【例題2】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，則∠ABD的度數為_______.
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.如圖，矩形ABCD對角線AC與BD相交于點O．求證：A、B、C、D四點在以O為圓心的同一個圓上．
2. 已知：在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180 °
求證：過A、B、C、D四點可作一個圓
3. 如圖，AD、BE、CF為△ABC的三條高，H為垂心，問：
（1）圖中有多少組四點共圓？
（2）求證：∠ADF=∠ADE.
4. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC， DE⊥AC，DF⊥AB．
求證：B、F、E、C四點共圓．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十四章 圓
專題24.5 探索四點共圓的條件（拓展）
課節學習目標
1.通過四點共圓的條件的探索和猜想的證明，體會由特殊到一般、轉化的數學思想。
2.能用四點共圓的條件解決圓的有關問題。
課節知識點解讀
四點共圓的判定定理：對角互補的四邊形的四個頂點共圓。
幾何語言：在四邊形ABCD中
∵∠B+∠D=180°
∴過 A、B、C、D四點可作一個圓。
四點共圓的判定定理推論1：若一個四邊形的外角等于它的內對角，則這個四邊形的四個頂點共圓。
幾何語言：在四邊形ABCD中
∵∠DCE=∠A
∴過A、B、C、D四點可作一個圓。
四點共圓的判定定理推論2：共斜邊的直角三角形的頂點共圓。
幾何語言：若∠BAC=∠BDC=90°，則A、B、C、D四點共圓.
四點共圓的判定定理推論3：同邊的兩個三角形夾角相等，且在同一邊的同側，則四點共圓。
幾何語言：若∠BAC=∠BDC=90°，則A、B、C、D四點共圓。
課節知識點例題講析
【例題1】如圖，經過四邊形ABCD的四個頂點可以做一個圓，若∠A=120°，則∠C的度數為_________.
【答案】60°
【解析】因為A、B、C、D四點共圓，所以
∠A+∠C=180°
∵∠A=120°，
∴∠C=180°-∠A=180°-120°=60°
【例題2】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，則∠ABD的度數為_______.
【答案】60°
【解析】∵在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
所以A、B、C、D四點共圓，
所以∠CBD=∠CAD=16°，
∠ABD=90°-∠CBD=90°-16°=74°
深化對課節知識點理解的試題專煉
1.如圖，矩形ABCD對角線AC與BD相交于點O．求證：A、B、C、D四點在以O為圓心的同一個圓上．
【答案】見解析。
【解析】根據矩形的性質得出AC=BD，OA=OC=1/2AC
OB=OD=1/2BD
推出OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D四點在以O圓心的同一個圓上．
2. 已知：在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180 °
求證：過A、B、C、D四點可作一個圓
證明:假設過A、B、C、D四點不能作一個圓。　　　　　　　　　　　　　　
過A、B、C三點一定可作圓，則點D在圓內或圓外。
①點Ｄ在圓內，延長AD交圓于點E,連接CE，
根據圓內接四邊形性質
∠B+∠E=180 °
又∵∠B+∠ADC=180 °　　　　　　
∴∠ADC=∠E　　　　　　　　　　　
這與∠ADC>∠E矛盾,假設不成立．
∴過A、B、C、D四點能作一個圓。
②點D在圓外，設AD與圓交點E，連接CE，
∴∠B+∠AEC=180 °
又∵∠B+∠ADC=180 °
∴∠AEC=∠ADC
這與∠AEC>∠ADC矛盾，假設不成立。
∴過A、B、C、D四點能作一個圓。
綜合①、②，過A、B、C、D四點能作一個圓。
3. 如圖，AD、BE、CF為△ABC的三條高，H為垂心，問：
（1）圖中有多少組四點共圓？
（2）求證：∠ADF=∠ADE.
【答案】見解析。
【解析】（1）因為AD、BE、CF為△ABC的三條高，
所以AD⊥BC，CF⊥AB，BE⊥AC，
∠AFC=90°,∠AEB=90°,∠BFC=90°,∠BEC=90°,∠ABD=90°,∠ADC=90°
所以在四邊形AFHE中，∠AFH+∠AEH=180°
A、F、H、E四點共圓；
在四邊形EHDC中，∠CEH+∠CDH=180°
C、E、H、D四點共圓；
在四邊形BFHD中，∠BFH+∠BDH=180°
B、F、H、D四點共圓；
在四邊形AFEC中，
∠BFC=90°,∠BEC=90°,
∠BFC=∠BEC,
所以B、F、E、C四點共圓；
同理，在四邊形AFDC中，
A、F、D、C四點共圓；
在四邊形ABDE中，
A、B、D、E四點共圓。
所以圖中有6組四點共圓。
（2）證明：
在ΔABE和ΔAFC中，
因為∠AEB=90°∠AFC=90°,
所以∠AEB=∠AFC,
又∠A=∠A,
所以∠ABE=∠ACF,
因為B、F、H、D四點共圓，
∠ADF=∠ABE.
因為D、H、E、C四點共圓，
所以∠ADE=∠ACF,
從而∠ADF=∠ADE.
4. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC， DE⊥AC，DF⊥AB．
求證：B、F、E、C四點共圓．
證明 ∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠AFD＋∠AED=180°，
即A、F、D、E四點共圓，
∠AFE=∠ADE．
又∵AD⊥BC，∠ADE＋∠CDE=90°，
∠CDE＋∠ECD=90°，
∠ADE=∠ECD．
∴∠AFE=∠ECD，
∠BFE＋∠ECB=180°，
即B、F、E、C四點共圓．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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