資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十四章 圓
專題24.6 圓單元基礎知識歸納總結
單元課標要求
（1）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念；探索并掌握點與圓位置關系。
（2）探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩 條弧。
（3）探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同?。ɑ虻然。?所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它 所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角 所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補。
（4）了解三角形的內心與外心。
（5）了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念。
（6）能用尺規作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外 接圓、內切圓；作圓的內接正方形和內接正六邊形。
（7）能用尺規作圖：過圓外一點作圓的切線。
（8）*探索并證明切線長定理：過圓外一點的兩條切線長相等。
（9）會計算圓的弧長、扇形的面積。
（10）了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。
單元知識點思維導圖與題型方法總結
1.判定切線的方法
（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；
（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：
①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；
②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善于進行由此及彼的聯想、要總結常添加的輔助線.
2.與圓有關的計算
計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復雜，無規律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數學思想方法有：
（1）構造思想：①構建矩形轉化線段；②構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數.
（2）方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發現其中的相等關系建立方程，解決問題。
（3）建模思想：借助基本圖形的結論發現問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發現圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關系。
3. 圓中常用輔助線的添法順口溜
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。
圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
切線長度的計算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。
弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個內接圓，內角平分線夢圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓，經過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。
要作等角添個圓，證明題目少困難。
輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。
假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。
解題還要多心眼，經?？偨Y方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。
分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學加苦練，成績上升成直線。
4. 圓問題拓展知識
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
重要結論：PA PB=PC PD
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
重要結論：CE2=AE BE
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
重要結論：PA2=PC PB
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
重要結論：PC PB=PD PE
正多邊形的常用公式
邊長 （Rn為正多邊形外接圓的半徑）
周長 Pn=n an 外角/中心角度數
面積 Sn=an rn n 對角線條數
邊心距 rn=Rn cos 內角和 （ n-2 ）×180°.
內角度數 n邊形的邊數 （內角和÷180°）＋2
（an 、Rn、rn為構成直角三角形的三邊長，已知其中兩個值，第三個值可以借助勾股定理求解.）
6. 正多邊形與圓的計算問題
正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關系，故可以把正n邊形的計算轉化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算。
單元考點例題講析
考查題型一 垂徑定理的實際應用
【例題1】為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內，測得的有關數據如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
考查題型二 圓周角定理及其推論
【例題2】如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數為（　?。?br/>A．27° B．108° C．116° D．128°
考查題型三 點和圓的位置關系
【例題3】如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內且點在外時，的值可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
考查題型四 直線和圓的位置關系
【例題4】如圖，為弦，交于點，交過點的直線于點，且．
試判斷直線與的位置關系，并說明理由.
考查題型五 切線的性質與判定
【例題5】如圖，P為⊙O外一點，PA，PB分別切⊙O于A，B，CD切⊙O于點E，分別交PA，PB于點C，D．若PA＝5，則△PCD的周長和∠COD分別為（　　）
A．5，（90°+∠P） B．7，90°+
C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P
【對點練習】如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫⊙O，交AC于點D，半徑OE∥BD，連接BE、DE、BD，BE交AC于點F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BF＝BC，求證：四邊形OEDB是菱形．
考查題型六 三角形內切圓
【例題6】如圖，在中，的內切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則_________．
考查題型七 求解切線長
【例題7】 為⊙外一點，與⊙相切于點，，，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【對點練習】如圖，AB與⊙O相切于點C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長為_____．
考查題型八 三角形內切圓與外接圓綜合
【例題8】如圖，△ABC中，I是內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D.
求證：DI＝DB.
考查題型九 正多邊形與圓
【例題9】將一個正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角的大小不可能是（ ）
A. 60° B. 90° C. 180° D. 360°
考查題型十 求其它不規則圖形面積
【例題10】如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，以OB為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是　　 ．
考查題型十一 弧長、扇形面積及圓錐的實際應用
【例題11】如圖，某數學興趣小組用一張半徑為的扇形紙板做成一個圓錐形帽子（接縫忽略不計），如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為，那么這張扇形紙板的面積為_____．（結果保留）
【對點練習1】 “萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（ ）
A. B. C. D.
【對點練習2】如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側面積為240πcm2，則這個扇形的圓心角的度數是 　 　度．
情感態度與價值觀教育--數學家事跡
一道家庭作業題
高斯的大學老師每天都會給高斯布置三道家庭作業題，這天老師有事情，沒來得及找好高斯的家庭作業，于是隨意想了兩道題再從自己桌子上隨手抓了一道題，湊滿了三道給了高斯。高斯以為這個和平時的作業一樣，就拿著回住處去了。他老師沒發現，自己將如何用尺規畫正十七邊形這道千年難題，拿給了19歲的高斯當家庭作業。
高斯在完成作業的時候發現，老師布置的最后一道題怎么感覺比平日里難很多，他以為老師只想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答問題。
題目是讓用尺規畫出正十七邊形，高斯并不知道這道題難倒過阿基米德，還以為是老師能解開的題目，于是不服輸的他用了一個晚上，終于將正十七邊形的畫法推導出來。
高斯先通過三等分角判定方程，建立了基本等價方程式，初步獲得解決方案后，他又建立了等價的一元二次方程， 最終只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七邊形的尺規作圖法。
用高斯的方法，主要是將 2π/17這個非特殊角度，通過轉換，用特殊角度的組合表示。其次就是對于三角函數的恒等變換，這一步工作看似相當基礎，實則關系重大，高斯正是通過這一系列繁雜的恒等變換，層層推進證明出正十七邊形的可作圖。這是高斯一個晚上完成的結果，當它第二天頂著黑眼圈去上課交作業時，把老師驚呆了，這個2000年無人解答的問題，到高斯手里一個晚上就出來了。值得注意的是，高斯并沒有直接畫圓，他只證明了正十七邊形可以用尺規作圖法。這就好比，建造一座大樓，高斯是設計師，但他不參與修建過程。后世在高斯證明的引導下，畫出了正十七邊形。
步驟如下：先畫一個圓O，作兩垂直的直徑AB、CD。 然后在OA上作一個E點，要使O點到E點的距離是半徑的四分之一，再將C點和E點連接起來。將∠CEB平分線得到平分線EF再將∠FEB平分線，平分線為EG，與CO交于P點。作∠GEH，度數45°，并且交CD于Q點。
以CQ為直徑作圓，與OB交于K。再以P為圓心，PK為半徑，畫一個圓，與CD交于L與M兩點。分別過M、L作CD的垂線，與圓O于N與R。兩點作弧NR的中點S，以SN為半徑將圓O分成17等份。
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十四章 圓
專題24.6 圓單元基礎知識歸納總結
單元課標要求
（1）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念；探索并掌握點與圓位置關系。
（2）探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩 條弧。
（3）探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同?。ɑ虻然。?所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它 所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角 所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補。
（4）了解三角形的內心與外心。
（5）了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念。
（6）能用尺規作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外 接圓、內切圓；作圓的內接正方形和內接正六邊形。
（7）能用尺規作圖：過圓外一點作圓的切線。
（8）*探索并證明切線長定理：過圓外一點的兩條切線長相等。
（9）會計算圓的弧長、扇形的面積。
（10）了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。
單元知識點思維導圖與題型方法總結
1.判定切線的方法
（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；
（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：
①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；
②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善于進行由此及彼的聯想、要總結常添加的輔助線.
2.與圓有關的計算
計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復雜，無規律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數學思想方法有：
（1）構造思想：①構建矩形轉化線段；②構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數.
（2）方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發現其中的相等關系建立方程，解決問題。
（3）建模思想：借助基本圖形的結論發現問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發現圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關系。
3. 圓中常用輔助線的添法順口溜
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。
圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
切線長度的計算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。
弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個內接圓，內角平分線夢圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓，經過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。
要作等角添個圓，證明題目少困難。
輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。
假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。
解題還要多心眼，經?？偨Y方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。
分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學加苦練，成績上升成直線。
4. 圓問題拓展知識
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
重要結論：PA PB=PC PD
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
重要結論：CE2=AE BE
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
重要結論：PA2=PC PB
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
重要結論：PC PB=PD PE
正多邊形的常用公式
邊長 （Rn為正多邊形外接圓的半徑）
周長 Pn=n an 外角/中心角度數
面積 Sn=an rn n 對角線條數
邊心距 rn=Rn cos 內角和 （ n-2 ）×180°.
內角度數 n邊形的邊數 （內角和÷180°）＋2
（an 、Rn、rn為構成直角三角形的三邊長，已知其中兩個值，第三個值可以借助勾股定理求解.）
6. 正多邊形與圓的計算問題
正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關系，故可以把正n邊形的計算轉化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算。
單元考點例題講析
考查題型一 垂徑定理的實際應用
【例題1】為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內，測得的有關數據如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（　?。?br/>A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【解析】連接AB、CO交于點D，
由題意得，OC⊥AB，
則AD＝DB＝AB＝4，
設圓的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
則該鐵球的直徑為10cm．
【提示】垂徑定理內容是垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
考查題型二 圓周角定理及其推論
【例題2】如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數為（　?。?br/>A．27° B．108° C．116° D．128°
【答案】B
【解析】∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°．
【提示】圓周角定理內容是：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
考查題型三 點和圓的位置關系
【例題3】如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內且點在外時，的值可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】先利用勾股定理可得，再根據“點在內且點在外”可得，由此即可得出答案．
在中，，，，
，
點在內且點在外，
，即，
觀察四個選項可知，只有選項C符合，
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵．
考查題型四 直線和圓的位置關系
【例題4】如圖，為弦，交于點，交過點的直線于點，且．
試判斷直線與的位置關系，并說明理由.
【答案】相切，證明見詳解
【解析】連接OB，根據等腰三角形性質得出，，從而求出，再根據切線的判定得出結論.
證明：連接OB，如圖所示：
，
，，
，
，
，即，
，
，
為半徑，經過點O，
直線與的位置關系是相切．
【點睛】考查切線的證明，垂徑定理的性質，等腰三角形，勾股定理，三角函數等知識點，熟練掌握相關知識并靈活應用是解決此題的關鍵，抓住直角三角形邊的關系求解線段長度是解題的主線思路．
考查題型五 切線的性質與判定
【例題5】如圖，P為⊙O外一點，PA，PB分別切⊙O于A，B，CD切⊙O于點E，分別交PA，PB于點C，D．若PA＝5，則△PCD的周長和∠COD分別為（　　）
A．5，（90°+∠P） B．7，90°+
C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P
【答案】C
【解析】∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周長＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周長＝2PA＝10，；
如圖，連接OA、OE、OB．
由切線性質得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
∵AO＝OE＝OB，
易證△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB，
∴∠AOB＝180°﹣∠P，
∴∠COD＝90°﹣∠P．
【對點練習】如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫⊙O，交AC于點D，半徑OE∥BD，連接BE、DE、BD，BE交AC于點F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BF＝BC，求證：四邊形OEDB是菱形．
【答案】見解析
【解析】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）∵OE∥BD，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵BF＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵∠DEB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠OBE，
∴ED∥OB，
∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB，
∴四邊形OEDB是菱形．
考查題型六 三角形內切圓
【例題6】如圖，在中，的內切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則_________．
【答案】##度
【解析】【分析】如圖所示，連接，設交于H，由內切圓的定義結合三角形內角和定理求出，再由切線長定理得到，進而推出是的垂直平分線，即，則．
【詳解】如圖所示，連接，設交于H，
∵是的內切圓，
∴分別是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵與分別相切于點，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分線，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了三角形內切圓，切線長定理，三角形內角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
考查題型七 求解切線長
【例題7】 為⊙外一點，與⊙相切于點，，，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】連接OT，根據切線的性質求出求，結合利用含 的直角三角形的性質求出OT，再利用勾股定理求得PT的長度即可．
【詳解】連接OT，如下圖．
∵與⊙相切于點，
∴ ．
∵，，
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】考查了切線的性質，含的直角三角形的性質，勾股定理，求出OT的長度是解答關鍵．
【對點練習】如圖，AB與⊙O相切于點C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長為_____．
【答案】
【解析】根據切線的性質得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．
連接OC，
∵AB與⊙O相切于點C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，熟練掌握切線的性質是解題關鍵．切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．
考查題型八 三角形內切圓與外接圓綜合
【例題8】如圖，△ABC中，I是內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D.
求證：DI＝DB.
【答案】見解析。
【解析】證明：連接BI.
∵I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
考查題型九 正多邊形與圓
【例題9】將一個正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角的大小不可能是（ ）
A. 60° B. 90° C. 180° D. 360°
【答案】B
【解析】根據旋轉的性質，以及正多邊形的中心角的度數，進行判斷即可．
正六邊形的中心角的度數為：，
∴正六邊形繞其中心旋轉或的整數倍時，仍與原圖形重合，
∴旋轉角的大小不可能是；
故選B．
【點睛】本題考查旋轉圖形，正多邊形的中心角．熟練掌握旋轉的性質，正多邊形的中心角的度數的求法，是解題的關鍵．
考查題型十 求其它不規則圖形面積
【例題10】如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，以OB為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是　　 ．
【答案】﹣．
【解析】根據題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長、∠DOB的度數，然后根據圖形可知陰影部分的面積是△ABC的面積減去△COD的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題．
連接OD，過D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴陰影部分的面積是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案為：﹣．
考查題型十一 弧長、扇形面積及圓錐的實際應用
【例題11】如圖，某數學興趣小組用一張半徑為的扇形紙板做成一個圓錐形帽子（接縫忽略不計），如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為，那么這張扇形紙板的面積為_____．（結果保留）
【答案】
【解析】根據圓錐底面半徑，可以求出圓錐底面周長，底面圓周長即是扇形的弧長，根據扇形面積公式可求出扇形面積．
【詳解】帽子底面圓周長為：，
則扇形弧長為， 扇形面積
故答案為：
【點睛】本題考查了扇形面積的計算，掌握圓錐的性質和扇形的面積公式是求解的關鍵．
【對點練習1】 “萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據等邊三角形的性質及弧長公式求解即可．
∵等邊三角形的邊長為3，，
∴，
∴該“萊洛三角形”的周長，
故選：B．
【點睛】考查等邊三角形的性質，弧長公式，熟練掌握等邊三角形的性質和弧長公式是解題的關鍵．
【對點練習2】如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側面積為240πcm2，則這個扇形的圓心角的度數是 　 　度．
【答案】150
【解析】根據扇形面積公式求出圓錐的母線長，再根據弧長公式計算，得到答案．
設圓錐的母線長為lcm，扇形的圓心角為n°，
∵圓錐的底面圓周長為20πcm，
∴圓錐的側面展開圖扇形的弧長為20πcm，
由題意得：×20π×l＝240π，
解得：l＝24，
則＝20π，
解得，n＝150，即扇形的圓心角為150°．
情感態度與價值觀教育--數學家事跡
一道家庭作業題
高斯的大學老師每天都會給高斯布置三道家庭作業題，這天老師有事情，沒來得及找好高斯的家庭作業，于是隨意想了兩道題再從自己桌子上隨手抓了一道題，湊滿了三道給了高斯。高斯以為這個和平時的作業一樣，就拿著回住處去了。他老師沒發現，自己將如何用尺規畫正十七邊形這道千年難題，拿給了19歲的高斯當家庭作業。
高斯在完成作業的時候發現，老師布置的最后一道題怎么感覺比平日里難很多，他以為老師只想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答問題。
題目是讓用尺規畫出正十七邊形，高斯并不知道這道題難倒過阿基米德，還以為是老師能解開的題目，于是不服輸的他用了一個晚上，終于將正十七邊形的畫法推導出來。
高斯先通過三等分角判定方程，建立了基本等價方程式，初步獲得解決方案后，他又建立了等價的一元二次方程， 最終只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七邊形的尺規作圖法。
用高斯的方法，主要是將 2π/17這個非特殊角度，通過轉換，用特殊角度的組合表示。其次就是對于三角函數的恒等變換，這一步工作看似相當基礎，實則關系重大，高斯正是通過這一系列繁雜的恒等變換，層層推進證明出正十七邊形的可作圖。這是高斯一個晚上完成的結果，當它第二天頂著黑眼圈去上課交作業時，把老師驚呆了，這個2000年無人解答的問題，到高斯手里一個晚上就出來了。值得注意的是，高斯并沒有直接畫圓，他只證明了正十七邊形可以用尺規作圖法。這就好比，建造一座大樓，高斯是設計師，但他不參與修建過程。后世在高斯證明的引導下，畫出了正十七邊形。
步驟如下：先畫一個圓O，作兩垂直的直徑AB、CD。 然后在OA上作一個E點，要使O點到E點的距離是半徑的四分之一，再將C點和E點連接起來。將∠CEB平分線得到平分線EF再將∠FEB平分線，平分線為EG，與CO交于P點。作∠GEH，度數45°，并且交CD于Q點。
以CQ為直徑作圓，與OB交于K。再以P為圓心，PK為半徑，畫一個圓，與CD交于L與M兩點。分別過M、L作CD的垂線，與圓O于N與R。兩點作弧NR的中點S，以SN為半徑將圓O分成17等份。
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