資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十五章 概率初步
專題25.2 用列舉法求概率
課節學習目標
1.知道什么時候采用“直接列舉法”和“列表法” .
2.會正確“列表”表示出所有可能出現的結果.
3.知道如何利用“列表法”求隨機事件的概率.
4.進一步理解等可能事件概率的意義.
5.學習運用樹形圖計算事件的概率.
6.進一步學習分類思想方法，掌握有關數學技能.
課節知識點解讀
知識點1. 用直接列舉法求概率
1.直接列舉法：. 即把事件可能出現的結果一 一列出.
2. 直接列舉法比較適合用于最多涉及兩個試驗因素或分兩步進行的試驗，且事件總結果的種數比較少的等可能性事件.
3. 隨機事件“同時”與“先后”的關系：“兩個相同的隨機事件同時發生”與 “一個隨機事件先后兩次發生”的結果是一樣的.
知識點2. 用列表法求概率
1. 列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發生的概率．
2. 列表格方法
3.在何種情況下求解開率使用列表格法的歸納總結
當一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能結果，通常采用列表法.
知識點3. 利用畫樹狀圖法求概率
1.畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，按事件發生的次序，列出事件可能出現的結果. 通常采用畫樹狀圖來求事件發生的概率．
2. 樹狀圖的畫法
如一個試驗中涉及2個因數,第一個因數中有2種可能情況;第二個因數中有3種可能的情況.則其樹形圖如圖。
3. 畫樹狀圖法求概率適用范圍：
當試驗包含兩步時，列表法比較方便；當然，此時也可以用樹形圖法；當事件要經過多個(三個或三個以上)步驟完成時，應選用樹狀圖法求事件的概率.
注意：計算等可能情形下概念的關鍵是確定所有可能性相等的結果總數n和求出事件A發生的結果總數m,“樹狀圖”能幫助我們有序的思考，不重復，不遺漏地得出n和m.
4.畫樹狀圖求概率的基本步驟
（1）明確一次試驗的幾個步驟及順序；
（2）畫樹狀圖列舉一次試驗的所有可能結果；
（3）數出隨機事件A包含的結果數m，試驗的所有可能結果數n；
（4）用概率公式進行計算.
課節知識點例題講析
【例題1】有數字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數，擺出的三位數是5的倍數的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據題意列出所有可能，根據概率公式即可求解．
∵有數字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數，
∴擺出的三位數有共6種可能，其中是
∴擺出的三位數是5的倍數的概率是，
故選：C．
【點睛】本題考查了列舉法求概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
【例題2】 某校在勞動課上，設置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據列表法求概率即可求解．
設分別表示植樹、種花、除草三個勞動項目，列表如下，
共有9種等可能結果，符合題意得出有1種，
∴這兩個班級恰好都抽到種花的概率是，
故選：D．
【點睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握求概率的方法是解題的關鍵．
【例題3】某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目分別為，畫出樹狀圖，找到所有情況數和滿足要求的情況數，利用概率公式求解即可．
【詳解】設“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目分別為，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有12種等可能情況，他選擇“100米”與“400米”兩個項目即選擇C和D的情況數共有2種，
∴選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率為，
故選：C
【點睛】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，正確畫出樹狀圖或列表，找到所有等可能情況數和滿足要求情況數是解題的關鍵．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 五張不透明的卡片，正面分別寫有實數，，，，5.06006000600006……（相鄰兩個6之間0的個數依次加1）．這五張卡片除正面的數不同外其余都相同，將它們背面朝上混合均勻后任取一張卡片，取到的卡片正面的數是無理數的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】通過有理數和無理數概念判斷，然后利用概率計算公式計算即可．
【詳解】有理數有：，，；
無理數有：，5.06006000600006……；
則取到的卡片正面的數是無理數的概率是．
【點睛】本題主要考查了有理數、無理數的概念和簡單概率計算，先判斷后計算概率即可．
2．工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，這兩名工人恰好都是男工人的結果有6種，再由概率公式求解即可．
畫樹狀圖如圖：
共有20種等可能的結果，這兩名工人恰好都是男工人的結果有6種，
∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為＝．
3．學校招募運動會廣播員，從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，抽取的兩人恰好是一男一女的結果有8種，再由概率公式求解即可．
畫樹狀圖如圖：
共有12種等可能的結果，抽取的兩人恰好是一男一女的結果有8種，
∴兩人恰好是一男一女的概率為＝．
4. 一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些小球除標號外完全相同，隨機摸出兩個小球，恰好是一紅一白的概率是__________．
【答案】##0.6
【解析】首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與隨機摸出一紅一白
的情況，再利用概率公式即可求得答案．
列表得：
紅1 紅2 紅3 白1 白2
紅1 （紅1，紅2） （紅1，紅3） （紅1，白1） （紅1，白2）
紅2 （紅2，紅1） （紅2，紅3） （紅2，白1） （紅2，白2）
紅3 （紅3，紅1） （紅3，紅2） （紅3，白1） （紅3，白2）
白1 （白1，紅1） （白1，紅2） （白1，紅3） （白1，白2）
白2 （白2，紅1） （白2，紅2） （白2，紅3） （白2，白1）
由列表可知：共有20種等可能的結果，其中隨機摸出兩個小球，恰好是一紅一白的情況有12種，
∴恰好是一紅一白的概率是，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
5. 用數字0，1，2，3組成個位數字與十位數字不同的兩位數，其中是偶數的概率為__________．
【答案】
【解析】先列表得出所有的情況，再找到符合題意的情況，利用概率公式計算即可．
0不能在最高位，而且個位數字與十位數字不同，
列表如下：
1 2 3
0 10 20 30
1 21 31
2 12 32
3 13 23
一共有可以組成9個數字，偶數有10、12、20、30、32，
∴是偶數的概率為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．
6. 在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調查小組進行社會調查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】畫樹狀圖得出所有等可能的結果數和抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的結果數，再利用概率公式可得出答案．
設兩名男生分別記為，，兩名女生分別記為，，
畫樹狀圖如下：
共有種等可能的結果，其中抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的結果有種，
∴抽取的兩名同學恰好是一名男生和一名女生的概率為，
故選：D．
【點睛】考查列表法或樹狀圖法求概率，解題時要注意是放回試驗還是不放回試驗；概率等于所求情況數與總情況數之比．用列表法或畫樹狀圖法不重復不遺漏的列出所有可能的結果是解題的關鍵．
7. 揚州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚州旅游，兩人分別從，，三個景點中隨機選擇一個景點游覽．
（1）甲選擇景點的概率為________；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇景點的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）利用概率計算公式求解即可；
（2）利用樹狀圖或列表的方法，分析甲、乙至少一人選擇的基本事件的個數，除以總的基本事件個數即可．
【詳解】
（1）共有個景點可供選擇，且選擇每種景點是隨機的，
甲選擇景點的概率為．
（2）根據題意，列表如下：
由表格可知，共有種等可能的結果，其中甲、乙至少有一人選擇景點共有種等可能的結果，
甲、乙至少有一人選擇景點的概率為．
【點睛】考查簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟練掌握相關計算方法是解題的關鍵．
8. 為慶祝建黨100周年，讓同學們進一步了解中國科技的快速發展，東營市某中學九（1）班團支部組織了一次手抄報比賽．該班每位同學從A．“北斗衛星”；B．“5G時代”；C．“東風快遞”；D．“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜歡的主題．統計同學們所選主題的頻數，繪制成以下不完整的統計圖，請根據統計圖中的信息解答下列問題：
（1）九（1）班共有________名學生；
（2）補全折線統計圖；
（3）D所對應扇形圓心角的大小為________；
（4）小明和小麗從A、B、C、D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
【答案】（1）50；（2）見解析；（3）108°；（4）
【解析】【分析】（1）用B組頻數除以所占百分比即可求解；
（2）用50減去A、B、C組頻數，求出D組頻數，即可補全折線統計圖；
（3）用360°乘以D組所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能結果，根據概率公式即可求解．
【詳解】（1）20÷40%=50（人），
故答案為：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
補全折線統計圖如圖：
；
（3），
故答案為：；
（4）列表如下：
小明小麗 A B C D
A
B
C
D
由列表可知，一共有16種等可能的結果，他們選擇相同主題的結果有4種，
所以P（相同主題）．
【點睛】本題考查了折線統計圖與扇形統計圖，求概率等知識，理解兩幅統計圖提供的公共信息是解題第（1）（2）（3）步關鍵，列表得出所有等可能的結果是解題第（4）步關鍵．
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第二十五章 概率初步
專題25.2 用列舉法求概率
課節學習目標
1.知道什么時候采用“直接列舉法”和“列表法” .
2.會正確“列表”表示出所有可能出現的結果.
3.知道如何利用“列表法”求隨機事件的概率.
4.進一步理解等可能事件概率的意義.
5.學習運用樹形圖計算事件的概率.
6.進一步學習分類思想方法，掌握有關數學技能.
課節知識點解讀
知識點1. 用直接列舉法求概率
1.直接列舉法：. 即把事件可能出現的結果一 一列出.
2. 直接列舉法比較適合用于最多涉及兩個試驗因素或分兩步進行的試驗，且事件總結果的種數比較少的等可能性事件.
3. 隨機事件“同時”與“先后”的關系：“兩個相同的隨機事件同時發生”與 “一個隨機事件先后兩次發生”的結果是一樣的.
知識點2. 用列表法求概率
1. 列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發生的概率．
2. 列表格方法
3.在何種情況下求解開率使用列表格法的歸納總結
當一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能結果，通常采用列表法.
知識點3. 利用畫樹狀圖法求概率
1.畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，按事件發生的次序，列出事件可能出現的結果. 通常采用畫樹狀圖來求事件發生的概率．
2. 樹狀圖的畫法
如一個試驗中涉及2個因數,第一個因數中有2種可能情況;第二個因數中有3種可能的情況.則其樹形圖如圖。
3. 畫樹狀圖法求概率適用范圍：
當試驗包含兩步時，列表法比較方便；當然，此時也可以用樹形圖法；當事件要經過多個(三個或三個以上)步驟完成時，應選用樹狀圖法求事件的概率.
注意：計算等可能情形下概念的關鍵是確定所有可能性相等的結果總數n和求出事件A發生的結果總數m,“樹狀圖”能幫助我們有序的思考，不重復，不遺漏地得出n和m.
4.畫樹狀圖求概率的基本步驟
（1）明確一次試驗的幾個步驟及順序；
（2）畫樹狀圖列舉一次試驗的所有可能結果；
（3）數出隨機事件A包含的結果數m，試驗的所有可能結果數n；
（4）用概率公式進行計算.
課節知識點例題講析
【例題1】有數字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數，擺出的三位數是5的倍數的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例題2】 某校在勞動課上，設置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例題3】某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（ ）
A. B. C. D.
深化對課節知識點理解的試題專煉
1. 五張不透明的卡片，正面分別寫有實數，，，，5.06006000600006……（相鄰兩個6之間0的個數依次加1）．這五張卡片除正面的數不同外其余都相同，將它們背面朝上混合均勻后任取一張卡片，取到的卡片正面的數是無理數的概率是（ ）
A. B. C. D.
2．工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（　　）
A． B． C． D．
3．學校招募運動會廣播員，從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
4. 一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些小球除標號外完全相同，隨機摸出兩個小球，恰好是一紅一白的概率是__________．
5. 用數字0，1，2，3組成個位數字與十位數字不同的兩位數，其中是偶數的概率為__________．
6. 在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調查小組進行社會調查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 揚州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚州旅游，兩人分別從，，三個景點中隨機選擇一個景點游覽．
（1）甲選擇景點的概率為________；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇景點的概率．
8. 為慶祝建黨100周年，讓同學們進一步了解中國科技的快速發展，東營市某中學九（1）班團支部組織了一次手抄報比賽．該班每位同學從A．“北斗衛星”；B．“5G時代”；C．“東風快遞”；D．“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜歡的主題．統計同學們所選主題的頻數，繪制成以下不完整的統計圖，請根據統計圖中的信息解答下列問題：
（1）九（1）班共有________名學生；
（2）補全折線統計圖；
（3）D所對應扇形圓心角的大小為________；
（4）小明和小麗從A、B、C、D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
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