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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十五章 概率初步
專題25.3 用頻率估計概率
課節學習目標
1 知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率．
2 經歷拋擲硬幣試驗，對數據進行收集、整理、描述與分析，體驗頻率的隨機性與規律性，了解用頻率估計概率的合理性和必要性，培養隨機觀念．
課節知識點解讀
利用頻率估計概率
1.利用頻率估計概率。在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。
2.在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。
3.隨機數。在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。
課節知識點例題講析
【例題1】一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球有5個，這些球除顏色外都相同．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回．大量重復試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在0.25，那么可以估算出m的值為（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【例題2】在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數是 ．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區1000名九年級男生的身高數據，統計結果如下．
身高
人數 60 260 550 130
根據以上統計結果，隨機抽取該地區一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
2．王師傅對某批零件的質量進行了隨機抽查，并將抽查結果繪制成如下表格，請你根據表格估計，若從該批零件中任取一個，為合格零件的概率為（ ）
隨機抽取的零件個數 20 50 100 500 1000
合格的零件個數 18 46 91 450 900
零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
3．某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結果的實驗最有可能的是（ ）
實驗次數 100 200 300 500 800 1000 2000
頻率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃
B．拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是5
C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”
D．拋一枚硬幣，出現反面的概率
4．在一個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有60個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同，小剛通過多次摸球試驗后發現其中摸到紅色，黑色球的頻率穩定在15%和45%，則口袋中白色球的個數很可能是 個．
5. 某種綠豆在相同條件下發芽試驗的結果如下：
每批粒數n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
發芽的頻數m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
發芽的頻率（精確到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
這種綠豆發芽的概率的估計值為________（精確到0.01）．
6．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
射擊次數
“射中環以上”的次數
“射中環以上”的頻率(結果保留小數點后兩位)
根據頻率的穩定性，估計這名運動員射擊一次時“射中9環以上”的概率是____(結果保留小數點后一位)．
7．拋擲一枚質地均勻的硬幣2000次，正面朝上的次數最有可能為________
10008. 某校研究學生的課余愛好情況，采取抽樣調查的方法，從閱讀、運動、娛樂、上網等四個方面調查了若干名學生的興趣愛好，并將調查結果繪制成下面兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中提供的信息解答下列問題：
（1）在這次調查中，一共調查了　 　名學生；
（2）補全條形統計圖；
（3）若該校共有1500名，估計愛好運動的學生有　 　人；
（4）在全校同學中隨機選取一名學生參加演講比賽，用頻率估計概率，則選出的恰好是愛好閱讀的學生的概率是　 　．
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2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十五章 概率初步
專題25.3 用頻率估計概率
課節學習目標
1 知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率．
2 經歷拋擲硬幣試驗，對數據進行收集、整理、描述與分析，體驗頻率的隨機性與規律性，了解用頻率估計概率的合理性和必要性，培養隨機觀念．
課節知識點解讀
利用頻率估計概率
1.利用頻率估計概率。在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。
2.在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。
3.隨機數。在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。
課節知識點例題講析
【例題1】一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球有5個，這些球除顏色外都相同．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回．大量重復試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在0.25，那么可以估算出m的值為（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【解析】用紅球的數量除以紅球的頻率即可．
（個，
所以可以估算出的值為20，
故選：B．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解題的關鍵是掌握在大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
【例題2】在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數是 ．
【答案】6
【解析】估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為 ，然后根據概率公式構建方程求解即可．
設袋中紅球的個數是x個，根據題意得：
，
解得：x=6，
經檢驗：x=6是分式方程的解，
即估計袋中紅球的個數是6個．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，解題的關鍵是熟練掌握大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數的增多，值越來越精確．
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區1000名九年級男生的身高數據，統計結果如下．
身高
人數 60 260 550 130
根據以上統計結果，隨機抽取該地區一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【解析】先計算出樣本中身高不低于170cm的頻率，然后根據利用頻率估計概率求解．
樣本中身高不低于170cm的頻率，
所以估計抽查該地區一名九年級男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故選：C．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確．
2．王師傅對某批零件的質量進行了隨機抽查，并將抽查結果繪制成如下表格，請你根據表格估計，若從該批零件中任取一個，為合格零件的概率為（ ）
隨機抽取的零件個數 20 50 100 500 1000
合格的零件個數 18 46 91 450 900
零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【解析】用“實驗頻率”的穩定值估計“概率”，從而得到合格零件的概率；
∵隨著實驗次數的增多，合格零件的頻率逐漸靠近常數0.9，
∴從該批零件中任取一個，為合格零件的概率為0.9．
故選：A．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率，掌握“大量反復試驗下頻率穩定值即概率”是解本題的關鍵．
3．某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結果的實驗最有可能的是（ ）
實驗次數 100 200 300 500 800 1000 2000
頻率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃
B．拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是5
C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”
D．拋一枚硬幣，出現反面的概率
【答案】C
【分析】根據利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.33左右，再分別計算出四個選項中的概率，然后進行判斷．
【詳解】解：A、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為1/4，不符合題意；
B、拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是5的概率為1/6，不符合題意；
C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率是1/3，符合題意；
D、拋一枚硬幣，出現反面的概率為，不符合題意，
故選C．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
4．在一個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有60個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同，小剛通過多次摸球試驗后發現其中摸到紅色，黑色球的頻率穩定在15%和45%，則口袋中白色球的個數很可能是 個．
【答案】24
【解析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，先求得白球的頻率，再乘以總球數求解．
小剛通過多次摸球試驗后發現其中摸到紅色、黑色球的頻率穩定在和，
口袋中白色球的個數很可能是個．
故答案為：24．
【點睛】考查利用用頻率估計概率，解題的關鍵是要計算出口袋中白色球所占的比例，再計算其個數．
5. 某種綠豆在相同條件下發芽試驗的結果如下：
每批粒數n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
發芽的頻數m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
發芽的頻率（精確到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
這種綠豆發芽的概率的估計值為________（精確到0.01）．
【答案】0.93
【解析】根據題意，用頻率估計概率即可．
由圖表可知，綠豆發芽的概率的估計值0.93，
故答案為：0.93．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率．解題的關鍵在于明確：大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
6．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
射擊次數
“射中環以上”的次數
“射中環以上”的頻率(結果保留小數點后兩位)
根據頻率的穩定性，估計這名運動員射擊一次時“射中9環以上”的概率是____(結果保留小數點后一位)．
【答案】0.8
【解析】根據大量的實驗結果穩定在0.8左右即可得出結論．
∵從頻率的波動情況可以發現頻率穩定在0.8附近，
∴這名運動員射擊一次時“射中9環以上”的概率大約是0.8．故答案為：0.8．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
7．拋擲一枚質地均勻的硬幣2000次，正面朝上的次數最有可能為________
【答案】1000
【解析】由拋擲一枚硬幣正面向上的可能性為0.5求解可得．
【解答】本題主要考查隨機事件，關鍵是理解必然事件為一定會發生的事件；解決此類問題，要學會關注身邊的事物，并用數學的思想和方法去分析、看待、解決問題，提高自身的數學素養．
拋擲一枚質地均勻的硬幣2000次，正面朝上的次數最有可能為1000次。
8. 某校研究學生的課余愛好情況，采取抽樣調查的方法，從閱讀、運動、娛樂、上網等四個方面調查了若干名學生的興趣愛好，并將調查結果繪制成下面兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中提供的信息解答下列問題：
（1）在這次調查中，一共調查了　 　名學生；
（2）補全條形統計圖；
（3）若該校共有1500名，估計愛好運動的學生有　 　人；
（4）在全校同學中隨機選取一名學生參加演講比賽，用頻率估計概率，則選出的恰好是愛好閱讀的學生的概率是　 　．
【答案】（1）100（2）見解析（3）600；（4）
【解析】（1）愛好運動的人數為40，所占百分比為40%
∴共調查人數為：40÷40%=100
（2）愛好上網的人數所占百分比為10%
∴愛好上網人數為：100×10%=10，
∴愛好閱讀人數為：100﹣40﹣20﹣10=30，
補全條形統計圖，如圖所示，
（3）愛好運動所占的百分比為40%，
∴估計愛好運用的學生人數為：1500×40%=600
（4）愛好閱讀的學生人數所占的百分比30%，
∴用頻率估計概率，則選出的恰好是愛好閱讀的學生的概率為3/10
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