資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024--2025學年度人教版數學九年級上冊學講練測講義
第二十五章 概率初步
專題25.1 隨機事件與概率
課節學習目標
1 理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，能辨別隨機事件；
2 會簡單分析事件發生的可能性；
3. 理解概率的意義.會在具體情境中求出一個事件的概率.
4. 會進行簡單的概率計算及應用.
課節知識點解讀
知識點1. 確定事件和隨機事件
1. 確定事件：確定事件是一定會發生或一定不會發生的事件，包括：
（1）必然發生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件．
（2）不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件．
2. 隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件．
3. 隨機事件發生的可能性：一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同．
對隨機事件發生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經驗數據可以預測它們發生機會的大小．要評判一些游戲規則對參與游戲者是否公平，就是看它們發生的可能性是否一樣．所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發生的可能性的大小是否一樣，用數據來說明問題．
知識點2. 概率
1. 概率的概念：一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A) ．
2. 頻率與概率的關系：當我們大量重復進行試驗時，某事件出現的頻率逐漸穩定到某一個數值，把這一頻率的穩定值作為該事件發生的概率的估計值．
3. 確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
（1）確定事件概率：
①當A是必然發生的事件時，P(A)=1
②當A是不可能發生的事件時，P(A)=0
（2）確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
4. 古典概型的定義：某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等．我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型．
5. 概率的計算：
P（A）=，其中n為所有事件的總數，m為事件A發生的總次數．
課節知識點例題講析
【例題1】擲兩枚質地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（ ）
A. 點數的和為1 B. 點數的和為6
C. 點數的和大于12 D. 點數的和小于13
【答案】B
【解析】根據事件發生的可能性大小判斷即可．
A、點數和為1，是不可能事件，不符合題意；
B、點數和為6，是隨機事件，符合題意；
C、點數和大于12，是不可能事件，不符合題意；
D、點數的和小于13，是必然事件，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
【例題2】某校計劃組織研學活動，現有四個地點可供選擇：南麂島、百丈漈、楠溪江、雁蕩山．若從中隨機選擇一個地點，則選中“南麂島”或“百丈漈”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據概率公式可直接求解．
∵有四個地點可供選擇：南麂島、百丈漈、楠溪江、雁蕩山，
∴若從中隨機選擇一個地點，則選中“南麂島”或“百丈漈”的概率為；
故選：C．
【點睛】本題考查了根據概率公式求簡單事件的概率，正確理解題意是關鍵．
【例題3】正方形ABCD的邊長為2，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，得到如圖所示陰影部分，若隨機向正方形ABCD內投一粒米，求米粒落在陰影部分的概率。
【答案】
【解析】求得陰影部分的面積后除以正方形的面積即可求得概率．
如圖，連接PA、PB、OP；
則S半圓O==，S△ABP=×2×1=1，
由題意得：圖中陰影部分的面積=4（S半圓O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在陰影部分的概率為=
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3個球都是黑球 B．3個球都是白球
C．三個球中有黑球 D．3個球中有白球
【答案】B
【解析】根據袋子中球的個數以及每樣球的個數對摸出的3個球的顏色進行分析即可.
【詳解】袋中一共6個球，有4個黑球和2個白球，從中一次摸出3個球，可能3個都是黑球，也可能2個黑球1個白球，也可能2個白球1個黑球，不可能3個都是白球，
故選項A、C、D都是可能事件，不符合題意，選項B是不可能事件，符合題意，
故選：B.
【點睛】本題考查了確定事件及隨機事件，把握相關概念，正確進行分析是解題的關鍵.
2. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球繞著太陽轉 B. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
C. 天空出現三個太陽 D. 經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
【答案】A
【解析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，可得答案．
A、地球繞著太陽轉是必然事件，故A正確；
B、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故B錯誤；
C、天空出現三個太陽是不可能事件，故C錯誤；
D、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，故D錯誤．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
3. 在一個不透明的袋子里裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則摸出的球為紅球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據概率的意義直接計算即可．
在一個不透明的袋子中裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外其他均相同，從中任意摸出1個球，共有7種可能，摸到紅球的可能為2種，則摸出紅球的概率是，
故選：C．
【點睛】本題考查了概率的計算，解題關鍵是熟練運用概率公式．
4. 如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的某一點上．若小球停在陰影部分的概率為，停在空白部分的概率為，則與的大小關系為（ ）
A. B. C. D. 無法判斷
【答案】B
【解析】根據題意可得陰影部分面積等于正方形面積的一半，進而即可求解．
如圖所示，連接交于O，
由題意得，分別是正方形四條邊的中點，
∴點O為正方形的中心，
∴，
根據題意，可得扇形的面積等于扇形的面積，
∴，
∴陰影部分面積等于空白部分面積，即陰影部分面積等于正方形面積的一半
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質，扇形面積，幾何概率，得出陰影部分面積等于正方形面積的一半是解題的關鍵．
5. 如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在灰色區域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據灰色區域與整個面積的比即可求解．
∵轉盤中四個扇形的面積都相等，設整個圓的面積為1，
∴灰色區域的面積為,
∴當轉盤停止轉動時，指針落在灰色區域的概率是，
故選：C．
【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
6．下列事件，①通常加熱到100℃，水沸騰；②人們外出旅游時，使用手機app購買景點門票；③在平面上，任意畫一個三角形，其內角和小于180°．其中是不確定事件的是_______（只填寫序號即可）
【答案】②
【解析】根據隨機事件的定義分析，即可得到答案．
通常加熱到100℃，水沸騰，是必然事件；
人們外出旅游時，使用手機app購買景點門票，是不確定事件；
在平面上，任意畫一個三角形，其內角和小于180°，是不可能事件；
∴不確定事件的是②．
【點睛】本題考查了隨機事件的知識；解題的關鍵是熟練掌握隨機事件的分類，從而完成求解．
7．如圖，一張正方形紙片被分成了A、B、C三塊區域，任意拋擲一粒米到紙片上，落在區域 （填“A”、“B”或“C”）的可能性最小．
【答案】B
【解析】根據圖形的面積越大，米粒落在該區域的可能性越大解答即可.
由圖可以看出，正方形紙片被分成的三塊區域，A面積＞C面積＞B面積，
根據圖形的面積越大，米粒落在該區域的可能性越大，
則任意拋擲一粒米落到區域B的可能性最小，
故答案為：B.
【點睛】本題考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握隨機事件發生的可能性的計算方法.
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第二十五章 概率初步
專題25.1 隨機事件與概率
課節學習目標
1 理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，能辨別隨機事件；
2 會簡單分析事件發生的可能性；
3. 理解概率的意義.會在具體情境中求出一個事件的概率.
4. 會進行簡單的概率計算及應用.
課節知識點解讀
知識點1. 確定事件和隨機事件
1. 確定事件：確定事件是一定會發生或一定不會發生的事件，包括：
（1）必然發生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件．
（2）不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件．
2. 隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件．
3. 隨機事件發生的可能性：一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同．
對隨機事件發生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經驗數據可以預測它們發生機會的大小．要評判一些游戲規則對參與游戲者是否公平，就是看它們發生的可能性是否一樣．所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發生的可能性的大小是否一樣，用數據來說明問題．
知識點2. 概率
1. 概率的概念：一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A) ．
2. 頻率與概率的關系：當我們大量重復進行試驗時，某事件出現的頻率逐漸穩定到某一個數值，把這一頻率的穩定值作為該事件發生的概率的估計值．
3. 確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
（1）確定事件概率：
①當A是必然發生的事件時，P(A)=1
②當A是不可能發生的事件時，P(A)=0
（2）確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
4. 古典概型的定義：某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等．我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型．
5. 概率的計算：
P（A）=，其中n為所有事件的總數，m為事件A發生的總次數．
課節知識點例題講析
【例題1】擲兩枚質地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（ ）
A. 點數的和為1 B. 點數的和為6
C. 點數的和大于12 D. 點數的和小于13
【例題2】某校計劃組織研學活動，現有四個地點可供選擇：南麂島、百丈漈、楠溪江、雁蕩山．若從中隨機選擇一個地點，則選中“南麂島”或“百丈漈”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【例題3】正方形ABCD的邊長為2，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，得到如圖所示陰影部分，若隨機向正方形ABCD內投一粒米，求米粒落在陰影部分的概率。
深化對課節知識點理解的試題專煉
1．不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3個球都是黑球 B．3個球都是白球
C．三個球中有黑球 D．3個球中有白球
2. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球繞著太陽轉 B. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
C. 天空出現三個太陽 D. 經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
3. 在一個不透明的袋子里裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則摸出的球為紅球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的某一點上．若小球停在陰影部分的概率為，停在空白部分的概率為，則與的大小關系為（ ）
A. B. C. D. 無法判斷
5. 如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在灰色區域的概率是（ ）
A. B. C. D.
6．下列事件，①通常加熱到100℃，水沸騰；②人們外出旅游時，使用手機app購買景點門票；③在平面上，任意畫一個三角形，其內角和小于180°．其中是不確定事件的是_______（只填寫序號即可）
7．如圖，一張正方形紙片被分成了A、B、C三塊區域，任意拋擲一粒米到紙片上，落在區域 （填“A”、“B”或“C”）的可能性最小．
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