資源簡介

§1.1　集　合
考試要求　1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．
知識梳理
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：____________、____________、____________.
(2)元素與集合的關系是________或________，用符號______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常見數集的記法
集合 非負整數集(或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N*(或N＋)
2.集合的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作________(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就稱集合A是集合B的真子集，記作________(或B?A)．
(3)相等：若A B，且________，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是________________的子集，是________________________的真子集．
3．集合的基本運算
表示 運算 　 集合語言 圖形語言 記法
并集
交集
補集
常用結論
1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(　　)
(4)對任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　　)
教材改編題
1．(2022·新高考全國Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4}
2．下列集合與集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
3．設全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，則A∪B＝________， U(A∩B)＝________.
題型一　集合的含義與表示
例1 (1)(2022·衡水模擬)設集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則集合A∩B的元素個數為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，則實數a的值為(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
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思維升華 解決集合含義問題的關鍵有三點：一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．
跟蹤訓練1 (1)(多選)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，則下列四個命題中，錯誤的命題是(　　)
A．0 M B．{0}∈M
C．{1} M D．1 M
(2)(2023·聊城模擬)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個數為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
題型二　集合間的基本關系
例2 (1)(2022·宜春質檢)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，則下列結論正確的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝
C．A?B D．B A
(2)設集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，當x∈Z時，集合A的真子集有________個；當B A時，實數m的取值范圍是________．
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思維升華 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．
(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
跟蹤訓練2 (1)設集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，則(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D．N RM
(2)函數f(x)＝的定義域為A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，則實數a的取值范圍是________________．
題型三　集合的基本運算
命題點1　集合的運算
例3 (1)(2022·新高考全國Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<2}
B.
C．{x|3≤x<16}
D.
(2)如圖所示，已知全集U＝R，集合A＝{1,3,5,7}，B＝{4,5,6,7,8}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　)
A．{1,3} B．{5,7}
C．{1,3,5} D．{1,3,7}
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命題點2　利用集合的運算求參數的值(范圍)
例4 已知集合A＝{x|2m}，且( RA)∪B＝R，則實數m的取值范圍是(　　)
A．m≥2 B．m<2
C．m≤2 D．m>2
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思維升華 對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．
跟蹤訓練3 (1)(2022·呂梁模擬)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{－2,1,4,8}，則A∩B等于(　　)
A．{－2,1} B．{1,8}
C．{1,4} D．{4,8}
(2)(2023·駐馬店模擬)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，則a的取值范圍是(　　)
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)§1.2　常用邏輯用語
考試要求　1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．
知識梳理
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的________條件，q是p的________條件
p是q的________________條件 p q且q p
p是q的________________條件 p q且q p
p是q的________條件 p q
p是q的________________條件 p q且q p
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“________”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“______”表示．
3．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記
否定 x∈M，綈p(x)
常用結論
1．充分、必要條件與對應集合之間的關系
設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分條件，則A B；
(2)若p是q的充分不必要條件，則A?B；
(3)若p是q的必要不充分條件，則B?A；
(4)若p是q的充要條件，則A＝B.
2．含有一個量詞命題的否定規律是“改變量詞，否定結論”．
3．命題p與p的否定的真假性相反．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件．(　　)
(2)“三角形的內角和為180°”是全稱量詞命題．(　　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(　　)
(4)命題“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命題．(　　)
教材改編題
1．命題“ x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A． x∈R，ex－1≥x
B． x∈R，ex－1≤x
C． x∈R，ex－1D． x∈R，ex－12．(多選)下列命題中為真命題的是(　　)
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，－1≤sin x≤1
C． x∈R，2x<0
D． x∈R，tan x＝2
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分條件，則m的取值范圍是________.
題型一　充分、必要條件的判定
例1 (1)(2023·淮北模擬) “a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(2023·鹽城、南京模擬)在等比數列{an}中，公比為q.已知a1＝1，則0A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
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思維升華 充分條件、必要條件的兩種判定方法
(1)定義法：根據p q，q p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．
(2)集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題．
跟蹤訓練1 (1)(2022·長春模擬)“a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(多選)下列各函數中，滿足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要條件的是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝3x－3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝log3|x|
題型二　充分、必要條件的應用
例2 在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分條件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件這三個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題．
問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)當a＝2時，求A∩B；
(2)若________，求實數a的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
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思維升華 求參數問題的解題策略
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．
(2)要注意區間端點值的檢驗．
跟蹤訓練2 若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b為實數．
(1)若A是B的充要條件，則b＝________；
(2)若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是________．
題型三　全稱量詞與存在量詞
命題點1　含量詞命題的否定
例3 (2022·漳州模擬)命題“ a∈R，x2－ax＋1＝0有實數解”的否定是(　　)
A． a∈R，x2－ax＋1＝0無實數解
B． a∈R，x2－ax＋1＝0無實數解
C． a∈R，x2－ax＋1≠0有實數解
D． a∈R，x2－ax＋1≠0有實數解
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命題點2　含量詞命題真假的判斷
例4 (多選)(2023·沈陽模擬)下列命題中為真命題的是(　　)
A． x∈R，≤1
B．對于 x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x
C． x∈R，ln(x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
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命題點3　含量詞命題的應用
例5 若“ x∈，sin xA. B．－ C. D．－
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思維升華 含量詞命題的解題策略
(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．
(2)由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的真假求參數的范圍；二是可利用等價命題求參數的范圍．
跟蹤訓練3 (1)已知命題p： n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
(2)(多選)下列命題是真命題的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑
D．存在實數x，使得＝
(3)若命題“ x∈R，x2－x＋a＝0”為假命題，則實數a的取值范圍為________．§1.3　等式性質與不等式性質
考試要求　1.掌握等式性質.2.會比較兩個數的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用．
知識梳理
1．兩個實數比較大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性質
性質1　對稱性：如果a＝b，那么________；
性質2　傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么______；
性質3　可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么______．
3．不等式的性質
性質1　對稱性：a>b ________；
性質2　傳遞性：a>b，b>c ________；
性質3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質4　可乘性：a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________；
性質5　同向可加性：a>b，c>d ________；
性質6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ________；
性質7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用結論
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，則b>a.(　　)
(3)若x>y，則x2>y2.(　　)
(4)若>，則b教材改編題
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關系是________．
3．若1題型一　數(式)的大小比較
例1 (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關系為(　　)
A．MN
C．M≤N D．M≥N
(2)若a＝，b＝，則a________b．(填“>”或“<”)
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思維升華 比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論．
(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小．
跟蹤訓練1 (1)已知a，b為不相等的實數，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關系為(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M(2)已知M＝，N＝，則M，N的大小關系為________．
題型二　不等式的性質
例2 (1)已知a>b>c>0，下列結論正確的是(　　)
A．2aB．a(b－c)>b(a－c)
C.>
D．(a－c)3>(b－c)3
(2)(多選)若a>0>b>－a，cA．ad>bc
B.＋<0
C．a－c>b－d
D．a(d－c)>b(d－c)
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思維升華 判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質逐個驗證．
(2)利用特殊值法排除錯誤選項．
(3)作差法．
(4)構造函數，利用函數的單調性．
跟蹤訓練2 (1)十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是(　　)
A．若a>b，則ac2>bc2
B．若>，則aC．若aD．若a>b，則a2>b2
(2)(多選)若<<0，則下列不等式正確的是(　　)
A.< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
題型三　不等式性質的綜合應用
例3 (1)已知－1(2)已知3聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 求代數式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范圍．
跟蹤訓練3 (1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是(　　)
A．[－7,4] B．[－6,9]
C．[6,9] D．[－2,8]
(2)已知實數a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范圍是________．§1.4　基本不等式
考試要求　1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實際問題中的應用．
知識梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件：________.
(2)等號成立的條件：當且僅當________時，等號成立．
(3)其中________叫做正數a，b的算術平均數，________叫做正數a，b的幾何平均數．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．
(2)＋≥________(a，b同號)．
(3)ab≤________ (a，b∈R)．
(4)≥____________ (a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值________．
(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值________．
注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2與≤等號成立的條件是相同的．(　　)
(2)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.(　　)
(4)函數y＝sin x＋，x∈的最小值為4.(　　)
教材改編題
1．若正實數a，b滿足a＋4b＝ab，則ab的最小值為(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
2．函數y＝x＋(x≥0)的最小值為______．
3．若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________ m2.
題型一　利用基本不等式求最值
命題點1　配湊法
例1 (1)已知x>2，則函數y＝x＋的最小值是(　　)
A．2 B．2＋2
C．2 D.＋2
(2)設0聽課記錄：______________________________________________________________
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命題點2　常數代換法
例2 (2023·上饒模擬)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，則＋的最小值為(　　)
A．3＋2 B．12
C．8＋4 D．6
聽課記錄：______________________________________________________________
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命題點3　消元法
例3 (2023·煙臺模擬)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
聽課記錄：______________________________________________________________
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延伸探究本例條件不變，求xy的最大值．
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思維升華 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．
(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；三是消元法．
跟蹤訓練1 (1)(多選)(2022·常德模擬)若a>0，b>0，＋＝1，則(　　)
A．ab≤4 B．a＋b≥4
C．2a＋2b≤8 D．log2a＋log2b≥2
(2)已知x>1，則y＝的最大值為________．
題型二　基本不等式的常見變形應用
例4 (1)若0A．b>>a>
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
(2) (2023·寧波模擬)《幾何原本》卷2的幾何代數法(以幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 基本不等式的常見變形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
跟蹤訓練2 (2022·漳州質檢)已知a，b為互不相等的正實數，則下列四個式子中最大的是(　　)
A. B.＋
C. D.
題型三　基本不等式的實際應用
例5 中華人民共和國第十四屆運動會在陜西省舉辦，某公益團隊聯系全運會組委會舉辦一場紀念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區體育設施建設．據市場調查，當每套紀念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．為配合這個活動，生產紀念品的廠家將每套紀念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數為10.約定不計其他成本，即銷售每套紀念品的利潤＝售價－供貨價格．
(1)每套會徽及吉祥物售價為100元時，能獲得的總利潤是多少萬元？
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(2)每套會徽及吉祥物售價為多少元時，單套的利潤最大？最大值是多少元？
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思維升華 利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值．
跟蹤訓練3 某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形ABCD，如圖)上設計三個等高的宣傳欄(欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1 440 cm2.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2 cm.當直角梯形的高為__________ cm時，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)．§1.5　一元二次方程、不等式
考試要求　1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式.2.結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式.3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．
知識梳理
1．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1不等式的解集 {x|x≠－} R
2.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) ________________；
(2)≥0(≤0) ________________.
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為____________，|x|0)的解集為________．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無實數根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等價于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
教材改編題
1．不等式<0的解集為(　　)
A．
B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
2．已知2x2＋kx－m<0的解集為(t，－1)(t<－1)，則k＋m的值為(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
3．已知對任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，則實數a的取值范圍是________.
題型一　一元二次不等式的解法
命題點1　不含參數的不等式
例1 (1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集為(　　)
A．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
B．[－2,3]
C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
D．[－3,2]
(2)已知p：|x－1|≤2，q：≤0，則p是q的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
聽課記錄：______________________________________________________________
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命題點2　含參數的一元二次不等式
例2 已知不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}．
(1)求實數a，b的值；
(2)求關于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c為實數)的解集．
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思維升華 對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．
(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數．
(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．
跟蹤訓練1 解關于x的不等式．
(1)>1；
(2)m>0時，mx2－mx－1<2x－3.
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題型二　一元二次不等式恒成立問題
命題點1　在R上恒成立問題
例3 (多選)對任意實數x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，則實數k可以是(　　)
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
聽課記錄：______________________________________________________________
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命題點2　在給定區間上恒成立問題
例4 已知函數f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，則實數m的取值范圍為________________．
聽課記錄：______________________________________________________________
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命題點3　在給定參數范圍內的恒成立問題
例5 (2023·宿遷模擬)若不等式x2＋px>4x＋p－3，當0≤p≤4時恒成立，則x的取值范圍是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
聽課記錄： ______________________________________________________________
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思維升華 恒成立問題求參數的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數求最值或分類討論．
跟蹤訓練2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集為 ，則實數a的取值范圍是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2}
B．{a|－2C．{a|－2D．{a|a<2}
(2)當1≤x≤2時，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，則實數a的取值范圍是(　　)
A．a≤2 B．a≥2
C．a≤ D．a≥

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