資源簡介

§8.1　直線的方程
考試要求　1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)．
知識梳理
1．直線的方向向量
設A，B為直線上的兩點，則就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，與直線l的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為.
3．直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝(α≠90°)．
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含直線x＝x0
斜截式 不含垂直于x軸的直線
兩點式 不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
常用結論
1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；
遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．
2．“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)．應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．
3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　)
(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大．(　　)
(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tan α.(　　)
(4)直線y＝kx－2恒過定點(0，－2)．(　　)
教材改編題
1．已知點A(2,0)，B(3，)，則直線AB的傾斜角為(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直線l過點(1,1)，且傾斜角為90°，則直線l的方程為(　　)
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
3．過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________________________．
題型一　直線的傾斜角與斜率
例1　(1)若直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　)
A．[－，1] B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
(2)直線2xcos α－y－3＝0的傾斜角的變化范圍是(　　)
A. B.
C. D.
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思維升華　直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調區(qū)間，因此根據斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論．
跟蹤訓練1　(1)(2023·溫州模擬)直線x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的傾斜角的最小值是________．
(2)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________.
題型二　求直線的方程
例2　求符合下列條件的直線方程：
(1)直線過點A(－1，－3)，且斜率為－；
(2)直線過點(2,1)，且橫截距為縱截距的兩倍；
(3)直線過點(5,10)，且原點到該直線的距離為5.
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思維升華　求直線方程的兩種方法
(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式．
(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設條件求出待定系數(shù)．
跟蹤訓練2　(1)在△ABC中，已知點A(5，－2)，B(7，3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則MN所在直線的方程為(　　)
A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0
C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0
(2)已知直線l的一個方向向量為n＝(2,3)，若l過點A(－4,3)，則直線l的方程為(　　)
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
題型三　直線方程的綜合應用
例3　已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．
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延伸探究
1．在本例條件下，當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程．
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2．本例中，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．
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思維升華　直線方程綜合問題的兩大類型及解法
(1)與函數(shù)相結合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質解決．
(2)與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識來解決．
跟蹤訓練3　(1)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直線l過定點________，若直線l不經過第三象限，則實數(shù)a的取值范圍是________．
(2)已知直線l過點M(1,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為坐標原點．當|MA|2＋|MB|2取得最小值時，則直線l的方程為________．§8.2　兩條直線的位置關系
考試要求　1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
知識梳理
1．兩條直線的位置關系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關系如下表：
位置關系 l1，l2滿足的條件 l3，l4滿足的條件
平行
垂直
相交
2.三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結論：|P1P2|＝.
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
常用結論
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五種常用對稱關系
(1)點(x，y)關于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關于x軸的對稱點為(x，－y)，關于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
(5)點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　)
(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離．(　　)
(4)若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點在直線l上．(　　)
教材改編題
1．點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為(　　)
A．2 B. C. D.
2．若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于(　　)
A．4 B．－4 C．1 D．－1
3．直線x－2y－3＝0關于x軸對稱的直線方程為________．
題型一　兩條直線的平行與垂直
例1　(1)(2023·合肥質檢)若l1：3x－my－1＝0與l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是兩條不同的直線，則“m＝1”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(2022·桂林模擬)已知直線l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值是(　　)
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
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思維升華　判斷兩條直線位置關系的注意點
(1)斜率不存在的特殊情況．
(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關系得出結論．
跟蹤訓練1　(1)(2023·襄陽模擬)設a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsin A＋ay＋c＝0與bx－ysin B＋sin C＝0的位置關系是(　　)
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
(2)已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m＝________；若l1∥l2，則m＝________.
題型二　兩直線的交點與距離問題
例2　(1)兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為(　　)
A．a＝6，d＝
B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝
D．a＝6，d＝
(2)(多選)(2023·哈爾濱模擬)已知直線l經過點P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，則直線l的方程為(　　)
A．y＝1 B．x＝3
C．y＝0 D．x＝2
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思維升華　利用距離公式應注意的點
(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.
(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．
跟蹤訓練2　(1)經過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
(2)若點(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為(　　)
A．3 B．4 C．2 D．6
題型三　對稱問題
命題點1　點關于點的對稱問題
例3　直線3x－2y＝0關于點對稱的直線方程為(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
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命題點2　點關于直線的對稱問題
例4　(2022·太原模擬)已知兩點A(－4,8)，B(2,4)，點C在直線y＝x＋1上，則|AC|＋|BC|的最小值為(　　)
A．2 B．9 C. D．10
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命題點3　直線關于直線的對稱問題
例5　兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關于l2對稱的直線方程為(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
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思維升華　對稱問題的求解策略
(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關系轉化為代數(shù)關系求解．
(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．
跟蹤訓練3　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l對稱的直線m′的方程；
(3)直線l關于點A的對稱直線l′的方程．
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________________________________________________________________________§8.3　圓的方程
考試要求　1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．
知識梳理
1．圓的定義和圓的方程
定義 平面上到的距離等于的點的集合叫做圓
方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C_______
半徑為_______
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圓心C_______
半徑r＝_______
2.點與圓的位置關系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：
(1)|MC|>r M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圓外；
(2)|MC|＝r M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圓上；
(3)|MC|常用結論
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
3．圓心在任一弦的垂直平分線上．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心，a為半徑的圓．(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
教材改編題
1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
3．(多選)下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內部的是(　　)
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
題型一　圓的方程
例1　(1)(2022·全國乙卷)過四點(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點的一個圓的方程為
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(2)(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．
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思維升華　求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．
跟蹤訓練1　(1)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
(2)若圓C經過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當半徑最小時，圓的方程為____________．
題型二　與圓有關的軌跡問題
例2　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
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(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．
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思維升華　求與圓有關的軌跡問題的常用方法
(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．
(3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式．
跟蹤訓練2　(2023·宜昌模擬)已知定點M(1,0)，N(2,0)，動點P滿足|PN|＝|PM|.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
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(2)已知點B(6,0)，點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程．
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題型三　與圓有關的最值問題
命題點1　利用幾何性質求最值
例3　(2022·泉州模擬)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
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(3)x2＋y2的最大值和最小值．
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命題點2　利用函數(shù)求最值
例4　(2023·湘潭質檢)設點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)．則·的最大值為________．
延伸探究　若將本例改為“設點P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0,2)，B(0，－2)”，則|＋|的最大值為________．
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思維升華　與圓有關的最值問題的求解方法
(1)借助幾何性質求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．
(2)建立函數(shù)關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數(shù)關系式，然后根據關系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．
跟蹤訓練3　(1)設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)
A．6 B．25 C．26 D．36
(2)若點P(x，y)在圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，則的最大值為________．§8.4　直線與圓、圓與圓的位置關系
考試要求　1.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．
知識梳理
1．直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)
相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ0 Δ0 Δ0
幾何觀點 dr dr dr
2.圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
圖形 量的關系
外離
外切
相交
內切
內含
3.直線被圓截得的弦長
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝.
(2)代數(shù)法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝.
常用結論
1．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓與圓的位置關系的常用結論
(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個圓系方程
①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離．(　　)
(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(　　)
(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數(shù)解，則直線與圓相切．(　　)
(4)在圓中最長的弦是直徑．(　　)
教材改編題
1．直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相離 D．相切或相交
2．直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　)
A．4 B．2 C. D.
3．若圓C1：x2＋y2＝16與圓C2：(x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為(　　)
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
題型一　直線與圓的位置關系
命題點1　位置關系的判斷
例1　(1)(多選)(2021·新高考全國Ⅱ)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是(　　)
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切
B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離
D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
(2)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關系為(　　)
A．相交、相切或相離 B．相交或相切
C．相交 D．相切
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思維升華　判斷直線與圓的位置關系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關系判斷．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．
命題點2　弦長問題
例2　(1)(2022·北京模擬)已知圓x2＋y2＝4截直線y＝k(x－2)所得弦的長度為2，那么實數(shù)k的值為(　　)
A．± B. C. D．±
(2)(2023·滁州模擬)已知過點P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點，則當|AB|＝2時，直線l的方程為________．
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思維升華　弦長的兩種求法
(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據弦長公式求弦長．
(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.
命題點3　切線問題
例3　已知點P(＋1,2－)，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過點P的圓C的切線方程；
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(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．
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思維升華　當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法
(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.
(2)代數(shù)法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.
注意驗證斜率不存在的情況．
命題點4　直線與圓位置關系中的最值(范圍)問題
例4　(2023·龍巖模擬)已知點P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點，過點P作圓O：x2＋y2＝2的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PAOB的面積的最小值為________．
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思維升華　涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長度表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結果．
跟蹤訓練1　(1)(2022·宣城模擬)在平面直角坐標系中，直線xcos α＋ysin α＝1(α∈R)與圓O：x2＋y2＝的位置關系為(　　)
A．相切 B．相交
C．相離 D．相交或相切
(2)(2023·昆明模擬)直線2x·sin θ＋y＝0被圓x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦長的最大值為(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
題型二　圓與圓的位置關系
例5　(1)(2023·揚州聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16和兩點A(0，－m)，B(0，m)，若圓C上存在點P，使得AP⊥BP，則m的最大值為(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．
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思維升華　(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
跟蹤訓練2　(1)(2023·齊齊哈爾模擬)已知圓M：x2＋y2－4y＝0與圓N：x2＋y2－2x－3＝0，則圓M與圓N的位置關系為(　　)
A．內含 B．相交 C．外切 D．外離
(2)(2022·新高考全國Ⅰ)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________．§8.5　橢　圓
考試要求　1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.掌握橢圓的簡單應用．
知識梳理
1．橢圓的定義
把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的，兩焦點間的距離叫做橢圓的．
2．橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范圍
頂點
軸長 短軸長為，長軸長為______
焦點
焦距 |F1F2|＝____
對稱性 對稱軸：________，對稱中心：______
離心率
a，b，c的關系
常用結論
橢圓的焦點三角形
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ.
(1)當P為短軸端點時，θ最大，最大．
(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦點三角形的周長為2(a＋c)．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　　)
(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(　　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．(　　)
(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　)
教材改編題
1．橢圓＋＝1上點P到上焦點的距離為4，則點P到下焦點的距離為(　　)
A．6 B．3 C．4 D．2
2．已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
3．若橢圓C：＋＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為(　　)
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
題型一　橢圓的定義及其應用
例1　(1)(2022·麗江模擬)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內切，那么動圓的圓心P的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．雙曲線的一支
(2)設點P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
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延伸探究　若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．
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思維升華　橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．
(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題．
跟蹤訓練1　(1)已知△ABC的周長為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點A的軌跡方程為(　　)
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(y≠0)
(2)(2023·鄭州模擬)若F為橢圓C：＋＝1的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為(　　)
A．4 B．8 C．10 D．20
題型二　橢圓的標準方程
命題點1　定義法
例2　(2023·南京模擬)已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,2), F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項，則此橢圓的標準方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
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命題點2　待定系數(shù)法
例3　已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P1(，1)，P2(－，－)，則該橢圓的方程為________．
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思維升華　根據條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．
(2)待定系數(shù)法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．
跟蹤訓練2　(1)“1A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)(2022·南京師大附中模擬)已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F(xiàn)1是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
題型三　橢圓的幾何性質
命題點1　離心率
例4　(1)(2022·太原模擬)設F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1且斜率為的直線交橢圓于點P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為(　　)
A.＋1 B.－1
C. D.
(2)(2022·全國甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
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思維升華　求橢圓離心率或其范圍的方法
(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解．
(2)由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝求解．
(3)構造a，c的方程．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e.
命題點2　與橢圓有關的范圍(最值)問題
例5　(1)(2023·長沙模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓的離心率為，M為橢圓上一動點，則∠F1MF2的最大值為(　　)
A. B. C. D.
(2)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1(b>0)的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________．
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思維升華　與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數(shù)形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質．
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟蹤訓練3　(1)(2023·鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，射線AF1 交橢圓E于點B，以AB為直徑的圓過F2，則橢圓E的離心率是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(c,0)，上頂點為A(0，b)，直線x＝上存在一點P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.§8.6　雙曲線
考試要求　1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應用．
知識梳理
1．雙曲線的定義
把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的等于非零常數(shù)(|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的，兩焦點間的距離叫做雙曲線的．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 焦點
焦距
范圍 或，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：；對稱中心：______
頂點
軸 實軸：線段，長：；虛軸：線段B1B2，長：，實半軸長：，虛半軸長：_____
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝∈_________
a，b，c的關系 c2＝(c>a>0，c>b>0)
常用結論
1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.
4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則＝，其中θ為∠F1PF2.
5．與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為－＝t(t≠0)．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　)
(3)雙曲線－＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是±＝0.(　　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　)
教材改編題
1．已知曲線C的方程為＋＝1(k∈R)，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
2．雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
3．設P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.
題型一　雙曲線的定義及應用
例1 (1)(2022·洛陽模擬)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，其內切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為(　　)
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0D.＋＝1(0(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為__________．
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思維升華　在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．
跟蹤訓練1　(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
(2)(2022·荊州模擬)已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是C的右支上的一點(不是頂點)，過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則|MO|＝________.
題型二　雙曲線的標準方程
例2　(1)(2021·北京)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)過點(，)，且離心率為2，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
(2)(2023·連云港模擬)在平面直角坐標系中，已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的標準方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
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思維升華　求雙曲線的標準方程的方法
(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2.
(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為－＝λ(λ≠0)，再根據條件求λ的值．
跟蹤訓練2　(1)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2023·廊坊模擬)江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永．現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
題型三　雙曲線的幾何性質
命題點1　漸近線
例3　(1)(2022·北京)已知雙曲線y2＋＝1的漸近線方程為y＝±x，則m＝________.
(2)(2022·連云港模擬)若雙曲線經過點(1，)，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是________．
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思維升華　(1)漸近線的求法：求雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令－＝0，即得兩漸近線方程±＝0.
(2)在雙曲線的幾何性質中，重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線－＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±，滿足關系式e2＝1＋k2.
命題點2　離心率
例4　(1)(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
(2)(2022·全國甲卷)記雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值________．
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思維升華　求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
跟蹤訓練3　(1)(多選)(2023·聊城模擬)已知雙曲線C：＋＝1(0A．雙曲線C的焦點在x軸上
B．雙曲線C的焦距等于4
C．雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于
D．雙曲線C的離心率的取值范圍為
(2)(2022·懷化模擬)已知F是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，且直線l與雙曲線C的左支交于點B，若3|FA|＝|AB|，則雙曲線C的漸近線方程為________．§8.7　拋物線
考試要求　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應用．
知識梳理
1．拋物線的概念
把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的，直線l叫做拋物線的．
2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質
標準 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦點
準線 方程
對稱軸
頂點
離心率 e＝_____
常用結論
1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.
2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．(　　)
(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1,0)．(　　)
(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　)
(4)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y.(　　)
教材改編題
1．拋物線x2＝y(tǒng)的準線方程為(　　)
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
2．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
3．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
題型一　拋物線的定義及應用
例1　(1)(2022·全國乙卷)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．
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思維升華　“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結合”是靈活解題的一條捷徑．
跟蹤訓練1　(1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為，則m等于(　　)
A．4 B．3 C. D.
(2)若P是拋物線y2＝8x上的動點，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上動點Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值為________．
題型二　拋物線的標準方程
例2　分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．
(1)準線方程為2y＋4＝0；
(2)過點(3，－4)；
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．
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思維升華　求拋物線的標準方程的方法
(1)定義法．
(2)待定系數(shù)法：當焦點位置不確定時，分情況討論．
跟蹤訓練2　(1)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
(2)(2022·煙臺模擬)已知點F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8，O為坐標原點，若△OFP的面積為2，則該拋物線的準線方程為(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
題型三　拋物線的幾何性質
例3　(1)在拋物線y2＝8x上有三點A，B，C，F(xiàn)為其焦點，且F為△ABC的重心，則|AF|＋|BF|＋|CF|等于(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
(2)(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為且經過點F，與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準線交于點D.若|AF|＝8，則以下結論正確的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
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思維升華　應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性．
跟蹤訓練3　(1)(2021·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為______．
(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點，M是拋物線上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若3＝2，則|FN|＝________.§8.8　直線與圓錐曲線的位置關系
考試要求　1.了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.能利用方程及數(shù)形結合思想解決焦點弦、中點弦問題．
知識梳理
1．直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交 Δ0；直線與圓錐曲線相切 Δ0；直線與圓錐曲線相離 Δ0.
特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點．
②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點．
2．弦長公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝
＝|x1－x2|
＝___________________
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)過點的直線一定與橢圓＋y2＝1相交．(　　)
(2)直線與拋物線只有一個公共點，則該直線與拋物線相切．(　　)
(3)與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點．(　　)
(4)圓錐曲線的通徑是所有的焦點弦中最短的弦．(　　)
教材改編題
1．直線y＝kx＋2與橢圓＋＝1有且只有一個交點，則k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
2．已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知點A，B是雙曲線C：－＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3,2)，則直線AB的斜率為(　　)
A. B. C. D.
題型一　直線與圓錐曲線的位置關系
例1　(1)若直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點有(　　)
A．1個 B．至多1個
C．2個 D．0個
(2)(多選)已知直線y＝x與雙曲線－＝1(a>0，b>0)無公共點，則雙曲線的離心率可能為(　　)
A．1 B. C. D.
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思維升華　(1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合)．
跟蹤訓練1　(1)(2023·梅州模擬)拋物線C：y2＝4x的準線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，則△OAB的面積為(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，經過雙曲線C的右焦點F，且傾斜角為60°的直線l與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線離心率的取值范圍為________．
題型二　弦長問題
例2　(2021·新高考全國Ⅱ)已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點為F(，0)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝.
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思維升華　(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用弦長公式求．
(2)拋物線的焦點弦的弦長應選用更簡捷的弦長公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)設直線方程時應注意討論是否存在斜率．
跟蹤訓練2　已知焦點在x軸上的橢圓C：＋＝1(a>b>0)，短軸長為2，橢圓左頂點A到左焦點F1的距離為1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設橢圓的右頂點為B，過F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN＝，求直線l的方程．
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題型三　中點弦問題
例3　(2023·衡水模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，短軸頂點分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)直線l交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為(－2,1)，求直線l的方程．
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思維升華　(1)解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路
①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關系及中點坐標公式求解．
②點差法：設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點坐標分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和直線AB斜率有關的式子，可以大大減少計算量．
(2)點差法常用結論
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上的兩點，AB的中點為C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.
若E的方程為＋＝1(a>b>0)，
則k＝－·；
若E的方程為－＝1(a>0，b>0)，
則k＝·；
若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝.
跟蹤訓練3　(1)(2022·石家莊模擬)已知傾斜角為的直線與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，相交于A，B兩點，M(1,3)是弦AB的中點，則雙曲線的漸近線方程為________．
(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準線的距離為1，若拋物線C上存在關于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標為(　　)
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)§8.9　圓錐曲線壓軸小題突破練
題型一　離心率范圍問題
例1　(1)已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點，若直線x＝與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C．[－1,1] D.
(2)(2022·哈爾濱模擬)已知雙曲線的方程是－＝1(a>0，b>0)，點F1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線相交于點P(點P在第一象限)，若∠PF1F2≤，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A. B．[＋1，＋∞)
C. D．(1，＋1]
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思維升華　求解圓錐曲線離心率范圍問題的策略
(1)利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構造關于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．
(2)利用圓錐曲線的性質，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關系、曲線上的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組)．
(3)利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構造幾何度量之間的關系．
跟蹤訓練1　(1)(2022·南京市寧海中學模擬)設e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足∠F1PF2＝，則e1e2的最小值為(　　)
A. B. C. D.
(2)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，點P是C上任意一點，若圓O：x2＋y2＝b2上存在點M，N，使得∠MPN＝120°，則C的離心率的取值范圍是(　　)
A. B. C. D.
題型二　圓錐曲線中二級結論的應用
命題點1　橢圓、雙曲線中二級結論的應用
例2　(1)(2022·咸寧模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e＝，點P為該橢圓上一點，且滿足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的內切圓半徑為r＝，則該橢圓的長軸長為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
(2)(2022·石家莊模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，過原點O的直線交C于A，B兩點(點B在右支上)，雙曲線右支上一點P(異于點B)滿足·＝0，直線PA交x軸于點D，若∠ADO＝∠AOD，則雙曲線C的離心率為(　　)
A. B．2 C. D．3
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思維升華　焦點三角形的面積公式：P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸端點的一點，且∠F1PF2＝θ，
則橢圓中＝b2·tan ，
雙曲線中＝.
周角定理：已知A，B為橢圓(或雙曲線)上關于原點對稱的兩點，點P為橢圓(或雙曲線)上異于A，B的任一點，
則橢圓中kPA·kPB＝－，
雙曲線中kPA·kPB＝.
跟蹤訓練2　(1)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　)
A. B.
C. D.
(2)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點，若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為(　　)
A. B. C．－1 D．－
命題點2　拋物線中二級結論的應用
例3　(1)(2022·“四省八?！甭?lián)考)已知拋物線y2＝4x過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，則2|AF|＋|BF|的最小值為(　　)
A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2
(2)(2023·長沙模擬)已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為的直線l過焦點F交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則△ABO的面積為________．
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思維升華　與拋物線的焦點弦有關的二級結論：
若傾斜角為α的直線l經過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，且與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)兩點，則
①焦半徑|AF|＝x1＋＝，
|BF|＝x2＋＝，
②焦點弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝，
③S△OAB＝(O為坐標原點)，
④x1x2＝，y1y2＝－p2，
⑤＋＝，
⑥以AB為直徑的圓與準線相切，以FA為直徑的圓與y軸相切．
跟蹤訓練3　已知A，B是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的直線與拋物線的交點，O是坐標原點，且滿足＝3，S△OAB＝|AB|，則|AB|的值為(　　)
A. B. C．4 D．2
題型三　圓錐曲線與其他知識的綜合
例4　(多選)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1 000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術節(jié)．活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙傘在地面上形成了一個橢圓形的影子(春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則(　　)
A．該橢圓的離心率為
B．該橢圓的離心率為2－
C．該橢圓的焦距為
D．該橢圓的焦距為2－1
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思維升華　高考對圓錐曲線的考查，經常出現(xiàn)一些與其他知識交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導數(shù)交匯等等，這些問題的實質是圓錐曲線問題，體現(xiàn)出數(shù)學的應用性．
跟蹤訓練4　(多選)(2022·福州質檢)如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內收，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右支與直線x＝0，y＝4，y＝－2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線C與坐標軸交于D，E兩點，則(　　)
A．雙曲線C的方程為－＝1
B．雙曲線－x2＝1與雙曲線C共漸近線
C．存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點
D．存在無數(shù)個點，使它與D，E兩點的連線的斜率之積為3§8.10　圓錐曲線中求值與證明問題
題型一　求值問題
例1　(12分)(2022·新高考全國Ⅰ)已知點A(2,1)在雙曲線C：－＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.
(1)求l的斜率；[切入點：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．[關鍵點：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
思維升華　求值問題即是根據條件列出對應的方程，通過解方程求解．
跟蹤訓練1　在平面直角坐標系Oxy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點，焦距與長軸之比為，A，B分別是橢圓C的上、下頂點，M是橢圓C上異于A，B的一點．
(1)求橢圓C的方程；
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(2)若點P在直線x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面積；
(3)過點M作斜率為1的直線分別交橢圓C于另一點N，交y軸于點D，且點D在線段OA上(不包括端點O，A)，直線NA與直線BM交于點P，求·的值．
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題型二　證明問題
例2　(2023·邵陽模擬)已知拋物線C的焦點F在x軸上，過F且垂直于x軸的直線交C于A(點A在第一象限)，B兩點，且|AB|＝4.
(1)求C的標準方程；
(2)已知l為C的準線，過F的直線l1交C于M，N(M，N異于A，B)兩點，證明：直線AM，BN和l相交于一點．
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思維升華　圓錐曲線證明問題的類型及求解策略
(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如：某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關系(相等或不等)．
(2)解決證明問題時，主要根據直線與圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關性質的應用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進行證明．
跟蹤訓練2　(2022·寧德模擬)若A，B，C(0,1)，D四點中恰有三點在橢圓T：＋＝1(a>b>0)上．
(1)求橢圓T的方程；
(2)動直線y＝x＋t(t≠0)與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，EF的中點為M，連接OM(其中O為坐標原點)交橢圓于P，Q兩點，證明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
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