資源簡介

(共39張PPT)
必備知識·逐點夯實
第五節　空間向量的運算及其坐標表示
第八章　立體幾何初步、空間向量與立體幾何
核心考點·分類突破
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解空間直角坐標系,會用空間直角坐標系刻畫點的位置;探索并得出空間兩點間的距離公式.
2.了解空間向量的概念、空間向量基本定理、空間向量投影的概念及其意義.
3.掌握空間向量的線性運算、數量積的運算及其坐標表示.
【核心素養】
直觀想象、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 常以空間向量的表示為載體,考查空間向量投影、線性運算、數量積
的運算.空間向量數量積的運算是高考熱點,在選擇題或填空題中體現.
預測 2025年高考本節內容仍會與立體幾何知識結合考查,試題難度中檔.
必備知識·逐點夯實
知識梳理·歸納
1.空間向量有關概念
(1)單位向量:模為___的向量.
(2)共線向量:如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線________________,
那么這些向量叫做共線向量或平行向量.
(3)共面向量:______于同一個平面的向量.
微點撥
(1)零向量與任意向量平行;
(2)空間中任意兩個向量是共面向量,任意三個向量不一定是共面向量.
1
互相平行或重合
平行
2.空間向量有關定理
(1)共線向量定理:對空間中任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數
λ,使______.
(2)共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條
件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb.
(3)空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,
存在唯一的有序實數組(x,y,z),使___________.叫做空間的一個______.
a=λb
p=xa+yb+zc
基底
3.空間向量有關運算
設a=,b=(b1,b2,b3),
(1)坐標運算:則a+b=_________________;
a-b=________________;
λa=________________.
(2)數量積運算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos.
微點撥
向量a在向量b方向上的投影向量:cos·=·b.
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3),λ∈R
4.空間向量有關公式
(1)空間兩點間距離公式
已知P1,P2,則=.
(2)空間兩點的中點公式
設點P(x,y,z)為P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中點,則.
(3)空間向量共線與垂直公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,則
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
a∥b a=λb x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).
(4)空間向量模與夾角公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則|a|==;
cos〈a,b〉==.
常用結論
1.在平面中A,B,C三點共線的充要條件是:=x+y(其中x+y=1),O為平面內任意一點.
2.在空間中P,A,B,C四點共面的充要條件是:=x+y+z(其中x+y+z=1),O為空間中任意一點.
3.向量的數量積滿足交換律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不滿足結合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
4.在利用=x+y證明MN∥平面ABC時,必須說明M點或N點不在平面ABC內.
×
×
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直線的方向向量是唯一確定的.(　 　)
提示:(1)直線的方向向量不是唯一的,有無數多個;
(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行,則a∥α.(　 　)
提示: (2)a⊥α;
×
×
(3)若{a,b,c}是空間的一個基底,則a,b,c中至多有一個零向量.(　 　)
提示: (3)若a,b,c中有一個是0,則a,b,c共面,不能構成空間的一個基底;
(4)若a·b<0,則是鈍角.(　 　)
提示: (4)若=π,則a·b<0.
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
【解析】選A.=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.
2.(選擇性必修一P6T5·變形式)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點.若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是(　　)
3.(選擇性必修一P5例1·變形式)若a與b不共線,且m=a+b,n=a-b,p=a,則(　　)
A.m,n,p共線 B.m與p共線
C.n與p共線 D.m,n,p共面
【解析】選D.因為(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m與n不共線,所以m,n,p共面.
4.(忘記開方導致錯誤)正四面體ABCD的棱長為2,E,F分別為BC,AD的中點,則EF
的長為　　　.
【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)
=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的長為.
核心考點·分類突破
考點一空間向量的線性運算
[例1](1)(2023·武漢模擬)如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,且MN=OM,設=a,=b,=c,則下列向量與相等的向量是(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a+b+c D.a+b+c
【解析】選A.因為M是四面體OABC的棱BC的中點,MN=OM,
所以=-=-=×(+)-=+-=-a+b+c.
(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四邊形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,則等于(　　)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.-a+b+c
【解析】選D.=++
=-++(+)
=-+++(-)
=-++=-a+b+c.
解題技法
用已知向量表示某一向量的三個關鍵點
(1)用已知向量來表示某一向量,一定要結合圖形,以圖形為指導是解題的關鍵.
(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.
(3)在立體幾何中,三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.
對點訓練
如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:
(1);
【解析】(1)因為P是C1D1的中點,
所以=++=a++
=a+c+=a+c+b.
對點訓練
如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:
(2);
【解析】(2)因為N是BC的中點,
所以=++=-a+b+
=-a+b+=-a+b+c.
對點訓練
如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:
(3)+.
【解析】(3)因為M是AA1的中點,
所以=+=+=-a+=a+b+c.
又=+=+=+=c+a,
所以+=+=a+b+c.
考點二共線、共面向量的應用
[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是(　　)
A.2, B.-, C.-3,2 D.2,2
【解析】選A.因為a∥b,所以設b=xa,所以,
解得或.
(2)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形,E為棱AB的
中點,=,=2,AC1與平面EFG交于點M,則=　　　　　.
【解析】由題可設=λ,
因為=++
=2+3+,
所以=2λ+3λ+λ,
因為M,E,F,G四點共面,
所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=.
(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若點
P滿足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,則點P可以是正方體表面
上　　 　 　 　的點.
【解析】因為點P滿足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以點
A,M,N,P四點共面,又因為M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以
CN=B1N,AM=MC,連接MN,AB1,
則MN∥AB1,所以△AB1C即為經過A,M,N三點的平面與正方體
的截面,故P點可以是正方體表面上線段AB1,B1C,AC上的點.
線段AB1(線段B1C或線段AC)上(答案不唯一)
解題技法
1.共線、共面向量定理的應用
(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點共線;
(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行,四點共面;
(3)根據向量共線和向量共面求參數取值;
(4)與a同向的單位向量為,反向的單位向量為-,共線的單位向量為±.
2.證明四點P,M,A,B共面的方法
(1)=x+y;
(2)對空間任意一點O,=+x+y;
(3)對空間任意一點O,
=x+y+z(x+y+z=1);
(4)∥或∥或∥.
對點訓練
1.已知空間中A,B,C,D四點共面,且其中任意三點均不共線,設P為空間中任意一點,若=6-4+λ,則λ等于(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【解析】選B.=6-4+λ,
即-=6-4+λ,
整理得=6-3+λ,
由A,B,C,D四點共面,
且其中任意三點均不共線,
可得6-3+λ=1,解得λ=-2.
2.在空間直角坐標系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四點共面,則(　　)
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0
C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
【解析】選A.因為A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),
所以=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).
因為A,B,C,D四點共面,所以存在實數λ,μ使得=λ+μ,
即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),所以,解得2x+y+z=1.
考點三空間向量的數量積及應用
[例3](1)在正三棱錐P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,則·等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.因為P-ABC為正三棱錐,O為△ABC的中心,
所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以·=0,
||=·||·sin 60°=,
故·=·(+)=||2=||2-||2=4-=.
(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).
①求<,>;
【解析】①因為A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以=(0,3,3),=(2,-2,0).
因為·=0×2+3×(-2)+3×0=-6,
||=3,||=2,
所以cos<,>===-,
故<,>=.
(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).
②求在上的投影向量.
【解析】②因為=(2,1,3),=(0,3,3),
所以·=0+1×3+3×3=12.
因為||=3,||=,
所以cos<,>===,
所以在上的投影向量為||cos<,>·=××==(0,2,2).
對點訓練
1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O為坐標原點,+λ與的夾角為120°,則λ的值為
(　　)
A.± B. C.- D.±
【解析】選C.由于+λ=(1,-λ,λ),=(0,-1,1),則cos 120°==-,解得λ=±.經檢驗λ=不符合題意,舍去,所以λ=-.
2.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求線段AC1的長;
【解析】(1)如圖所示,設=a,=b,=c,
則|a|=|b|=1,|c|=2.
a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 120°=-1.
因為=++=a+b+c,
所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22-2-2=2.
所以||=.即線段AC1的長為.
2.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值;
【解析】(2)因為=a+b+c,=b-c,
所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12-22=-2.
又||2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以||=.
所以cos<,>===-.
所以異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為.
2.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(3)證明:AA1⊥BD.
【解析】(3)因為=c,=b-a,
所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=-1-(-1)=0.
所以⊥,即AA1⊥BD.
謝謝觀賞！！8.5-空間向量的運算及其坐標表示
【課標解讀】
【課程標準】
1.了解空間直角坐標系,會用空間直角坐標系刻畫點的位置;探索并得出空間兩點間的距離公式.
2.了解空間向量的概念、空間向量基本定理、空間向量投影的概念及其意義.
3.掌握空間向量的線性運算、數量積的運算及其坐標表示.
【核心素養】
直觀想象、數學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 常以空間向量的表示為載體,考查空間向量投影、線性運算、數量積的運算.空間向量數量積的運算是高考熱點,在選擇題或填空題中體現.
預測 2025年高考本節內容仍會與立體幾何知識結合考查,試題難度中檔.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.空間向量有關概念
(1)單位向量:模為1的向量.
(2)共線向量:如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.
(3)共面向量:平行于同一個平面的向量.
微點撥
(1)零向量與任意向量平行;
(2)空間中任意兩個向量是共面向量,任意三個向量不一定是共面向量.
2.空間向量有關定理
(1)共線向量定理:對空間中任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb.
(3)空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使p=xa+yb+zc.叫做空間的一個基底.
3.空間向量有關運算
設a=,b=(b1,b2,b3),
(1)坐標運算:則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.
(2)數量積運算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=
|a||b|cos.
微點撥
向量a在向量b方向上的投影向量:cos·=·b.
4.空間向量有關公式
(1)空間兩點間距離公式
已知P1,P2,則=.
(2)空間兩點的中點公式
設點P(x,y,z)為P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中點,則.
(3)空間向量共線與垂直公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,則
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
a∥b a=λb x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).
(4)空間向量模與夾角公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則|a|==;
cos〈a,b〉==.
常用結論
1.在平面中A,B,C三點共線的充要條件是:=x+y(其中x+y=1),O為平面內任意一點.
2.在空間中P,A,B,C四點共面的充要條件是:=x+y+z(其中x+y+z=1),O為空間中任意一點.
3.向量的數量積滿足交換律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不滿足結合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
4.在利用=x+y證明MN∥平面ABC時,必須說明M點或N點不在平面ABC內.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直線的方向向量是唯一確定的.(　 ×　)
提示:(1)直線的方向向量不是唯一的,有無數多個;
(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行,則a∥α.(　 ×　)
提示: (2)a⊥α;
(3)若{a,b,c}是空間的一個基底,則a,b,c中至多有一個零向量.(　 ×　)
提示: (3)若a,b,c中有一個是0,則a,b,c共面,不能構成空間的一個基底;
(4)若a·b<0,則是鈍角.(　 ×　)
提示: (4)若=π,則a·b<0.
2.(選擇性必修一P6T5·變形式)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點.若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
【解析】選A.=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.
3.(選擇性必修一P5例1·變形式)若a與b不共線,且m=a+b,n=a-b,p=a,則(　　)
A.m,n,p共線 B.m與p共線
C.n與p共線 D.m,n,p共面
【解析】選D.因為(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m與n不共線,所以m,n,p共面.
4.(忘記開方導致錯誤)正四面體ABCD的棱長為2,E,F分別為BC,AD的中點,則EF的長為　　　.
【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)
=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的長為.
答案:
【核心考點·分類突破】
考點一空間向量的線性運算
[例1](1)(2023·武漢模擬)如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,且MN=OM,設=a,=b,=c,則下列向量與相等的向量是(　　)
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a+b+c
D.a+b+c
【解析】選A.因為M是四面體OABC的棱BC的中點,MN=OM,
所以=-=-=×(+)-=+-=-a+b+c.
(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四邊形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,則等于(　　)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.-a+b+c
【解析】選D.=++
=-++(+)
=-+++(-)
=-++=-a+b+c.
解題技法
用已知向量表示某一向量的三個關鍵點
(1)用已知向量來表示某一向量,一定要結合圖形,以圖形為指導是解題的關鍵.
(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.
(3)在立體幾何中,三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.
對點訓練
如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:
(1);
【解析】(1)因為P是C1D1的中點,
所以=++=a++
=a+c+=a+c+b.
(2);
【解析】(2)因為N是BC的中點,
所以=++=-a+b+
=-a+b+=-a+b+c.
(3)+.
【解析】(3)因為M是AA1的中點,
所以=+=+
=-a+=a+b+c.
又=+=+=+
=c+a,
所以+=+
=a+b+c.
考點二共線、共面向量的應用
[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是(　　)
A.2, B.-, C.-3,2 D.2,2
【解析】選A.因為a∥b,所以設b=xa,所以,
解得或.
(2)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形,E為棱AB的中點,=,=2,AC1與平面EFG交于點M,則=　　　　　.
【解析】由題可設=λ,
因為=++
=2+3+,
所以=2λ+3λ+λ,
因為M,E,F,G四點共面,
所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=.
答案:
(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若點P滿足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,則點P可以是正方體表面上　　　　　的點.
【解析】因為點P滿足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以點A,M,N,P四點共面,又因為M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,連接MN,AB1,
則MN∥AB1,所以△AB1C即為經過A,M,N三點的平面與正方體的截面,故P點可以是正方體表面上線段AB1,B1C,AC上的點.
答案:線段AB1(線段B1C或線段AC)上(答案不唯一)
解題技法
1.共線、共面向量定理的應用
(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點共線;
(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行,四點共面;
(3)根據向量共線和向量共面求參數取值;
(4)與a同向的單位向量為,反向的單位向量為-,共線的單位向量為±.
2.證明四點P,M,A,B共面的方法
(1)=x+y;
(2)對空間任意一點O,=+x+y;
(3)對空間任意一點O,
=x+y+z(x+y+z=1);
(4)∥或∥或∥.
對點訓練
1.已知空間中A,B,C,D四點共面,且其中任意三點均不共線,設P為空間中任意一點,若=6-4+λ,則λ等于(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【解析】選B.=6-4+λ,
即-=6-4+λ,
整理得=6-3+λ,
由A,B,C,D四點共面,
且其中任意三點均不共線,
可得6-3+λ=1,解得λ=-2.
2.在空間直角坐標系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四點共面,則(　　)
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0
C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
【解析】選A.因為A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),
所以=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).
因為A,B,C,D四點共面,
所以存在實數λ,μ使得=λ+μ,
即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),
所以,解得2x+y+z=1.
考點三空間向量的數量積及應用
[例3](1)在正三棱錐P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,則·等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.因為P-ABC為正三棱錐,O為△ABC的中心,
所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以·=0,
||=·||·sin 60°=,
故·=·(+)=||2=||2-||2=4-=.
(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).
①求<,>;
【解析】①因為A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以=(0,3,3),=(2,-2,0).
因為·=0×2+3×(-2)+3×0=-6,
||=3,||=2,
所以cos<,>===-,
故<,>=.
②求在上的投影向量.
【解析】②因為=(2,1,3),=(0,3,3),
所以·=0+1×3+3×3=12.
因為||=3,||=,
所以cos<,>===,
所以在上的投影向量為||cos<,>·=××==(0,2,2).
解題技法
空間向量數量積的應用
對點訓練
1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O為坐標原點,+λ與的夾角為120°,則λ的值為(　　)
A.± B. C.- D.±
【解析】選C.由于+λ=(1,-λ,λ),=(0,-1,1),則cos 120°==-,解得λ=±.經檢驗λ=不符合題意,舍去,所以λ=-.
2.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求線段AC1的長;
【解析】(1)如圖所示,設=a,=b,=c,
則|a|=|b|=1,|c|=2.
a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 120°=-1.
因為=++=a+b+c,
所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22-2-2=2.
所以||=.即線段AC1的長為.
(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值;
【解析】(2)因為=a+b+c,=b-c,
所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12-22=-2.
又||2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以||=.
所以cos<,>===-.
所以異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為.
(3)證明:AA1⊥BD.
【解析】(3)因為=c,=b-a,
所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=-1-(-1)=0.
所以⊥,即AA1⊥BD.

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