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必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)
第六節(jié)　雙曲線第1課時(shí)　雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
第九章　直線與圓、圓錐曲線
核心考點(diǎn)·分類突破
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.了解雙曲線的實(shí)際背景及雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單的幾何性質(zhì).(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)
3.了解雙曲線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考對(duì)雙曲線的考查形式有兩種:(1)根據(jù)題設(shè)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究雙曲線的基本性質(zhì),常以選擇題或填空題形式出現(xiàn).
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)仍會(huì)出題,一般在選擇題、填空題中出現(xiàn),雙曲線與其他圓錐曲線交匯考查比較靈活,各種題型都可能涉及.
必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)
知識(shí)梳理·歸納
1.雙曲線的定義
(1)一般地,把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)
的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)______叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲
線的焦距.
(2)數(shù)學(xué)表達(dá)式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù),且
c>a>0.
定點(diǎn)
微點(diǎn)撥 (1)當(dāng)|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.當(dāng)|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為靠近F1的雙曲線的一支.
(2)若a=c,則軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線;若a>c,則軌跡不存在;若a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
圖形
性 質(zhì) 范圍 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
對(duì)稱性 對(duì)稱軸:________　　對(duì)稱中心:______ 頂點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo): A1______, A2_____　 頂點(diǎn)坐標(biāo):
A1______, A2_____　
坐標(biāo)軸
原點(diǎn)
(-a,0)
(a,0)
(0,-a)
(0,a)
性 質(zhì) 漸近線 y=±x y=±x
離心率 e=,e∈(1,+∞) a,b,c的關(guān)系 c2=______ 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長|A1A2|=____; 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=____; a叫做雙曲線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長 等軸 雙曲線 ①定義:中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,實(shí)半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線. ②性質(zhì):a=b;e=;漸近線互相垂直;等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng) a2+b2
2a
2b
微思考 雙曲線的范圍經(jīng)常在什么情況下使用
提示:在求最值、范圍、是否存在等題目求解時(shí),使用范圍這個(gè)性質(zhì).
常用結(jié)論
1.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
2.若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),
則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦),其長為.
4.與雙曲線-=1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示為-=t(t≠0).
5.雙曲線的離心率公式可表示為e=.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)雙曲線的焦點(diǎn)一定位于雙曲線的實(shí)軸上.(　 　)
提示:(1)雙曲線的焦點(diǎn)一定在實(shí)軸上;
√
(2)若兩條雙曲線的焦點(diǎn)相同,則其漸近線也一定相同.(　 　)
提示:(2)若兩條雙曲線的焦點(diǎn)相同,==,若離心率不同,焦點(diǎn)在x軸上時(shí),則
漸近線的斜率的絕對(duì)值也不相同,則漸近線也不相同,同樣焦點(diǎn)在y軸也有類似結(jié)論;
(3)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率越大,其漸近線斜率的絕對(duì)值就越大.(　 　)
提示:(3)==,焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率越大,e越大,則越大,即漸近
線斜率的絕對(duì)值越大;
×
√
(4)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線與焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線.
(　 　)
提示:(4)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線與焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,如雙曲線-=1和-=1
的漸近線相同,都為y=±x.
×
2.(混淆焦點(diǎn)位置)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,-5),F2(0,5),雙曲線上一點(diǎn)P與F1,F2的距離差的絕對(duì)值等于6,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】選C.由題意,c=5,2a=6,所以a=3,
則b==4,結(jié)合條件可知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
3.(選擇性必修第一冊(cè)P120例1變條件)已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|-|MB|=6,則點(diǎn)M的軌跡方程是(　　)
A.-=1 B.-=1(x≥4)
C.-=1 D.-=1(x≥3)
【解析】選D.由雙曲線的定義知,點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支,故排除A,C.又由題意可知c=5,a=3,所以b==4,故點(diǎn)M的軌跡方程為-=1(x≥3).
4.(2021·全國甲卷)已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且∠F1PF2= 60°, |PF1|= 3|PF2|,則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,
則根據(jù)題意及余弦定理可得:,
解得,所以所求離心率為===.
核心考點(diǎn)·分類突破
考點(diǎn)一 雙曲線的定義及應(yīng)用
[例1](1)(2024·濰坊模擬)已知?jiǎng)訄AM與兩圓x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,則動(dòng)圓M的圓心軌跡是(　　)
A.雙曲線 B.雙曲線的一支
C.拋物線 D.前三個(gè)答案都不對(duì)
【解析】選B.題中兩圓分別記為圓A:x2+y2=1以及圓B:(x-3)2+y2=2,設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為r,則,
于是|MB|-|MA|=-1(<|AB|=3)為定值,因此動(dòng)圓M的圓心軌跡是雙曲線的一支.
(2)若F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn).
①若雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為7,求|PF2|;
【解析】①由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由于|PF1|=7(2)若F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn).
②若點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.
【解析】②由定義和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=64,
所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
解題技法
1.雙曲線定義的主要應(yīng)用
(1)判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程.
(2)在“焦點(diǎn)三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運(yùn)用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
2.與雙曲線兩焦點(diǎn)有關(guān)的問題常利用定義求解.
3.如果題設(shè)條件涉及動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離,求軌跡方程時(shí)可考慮能否應(yīng)用定義求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1. 已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0),下列條件中滿足動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的
是(　　)
A.-=±7
B.-=±6
C.-=±4
D.-=±6
【解析】選C.由題意,因?yàn)?6,所以由雙曲線的定義知,
當(dāng)0<<6時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.
2.(2024·南昌模擬)已知F1,F2分別為雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn),P(3,1)為雙曲線內(nèi)
一點(diǎn),點(diǎn)A在雙曲線的右支上,則|AP|+|AF2|的最小值為(　　)
A.+4 B.-4
C.-2 D.+2
【解析】選C.因?yàn)閨AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求
|AP|+|AF1|的最小值.如圖,連接F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)A0.當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)A0處時(shí),
|AP|+|AF1|最小,最小值為|PF1|==.
故|AP|+|AF2|的最小值為-2.
【加練備選】
　　 1.(2024·渭南模擬)如果雙曲線-=1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8,那么點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是(　　)
A.4 B.12
C.4或12 D.不確定
【解析】選C.設(shè)雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,則a=2,c==4;
則|PF2|=8>6,由雙曲線定義可得||PF1|-|PF2||=2a=4,即||PF1|-8|=4,所以|PF1|=4或|PF1|=12,由于c-a=2,故點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是4或12.
2.(2024·荊州模擬)已知雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,點(diǎn)P是C的右支上的
一點(diǎn)(不是頂點(diǎn)),過F2作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足是M,O是原點(diǎn),則|MO|=_______.
【解析】如圖所示,延長F2M交PF1于Q,
由于PM是∠F1PF2的平分線,F2M⊥PM,
所以△QPF2是等腰三角形,
所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中點(diǎn).
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8,
由于O是F1F2的中點(diǎn),所以MO是△QF1F2的中位線,
所以|MO|=|QF1|=4.
4
考點(diǎn)二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
[例2](2024·武漢模擬)已知點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0),曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到F1,F2的距離之差為6,則曲線方程為(　　)
A.-=1(x>0) 　　B.-=1
C.-=1(y>0) 　　D.-=1
【解析】選A.由題意可得|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,由雙曲線定義可知,所求曲線方程為雙曲線的一支,且2a=6,2c=8,即a=3,c=4,
所以b2=c2-a2=16-9=7.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以曲線方程為-=1(x>0).
[例3](1)(2024·成都模擬)已知直線y=x是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線,且點(diǎn)(2,2)在雙曲線C上,則雙曲線C的方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】選C.由雙曲線C:-=1,則其漸近線方程為y=±x,由題意可得:=,整理可得b=a,將(2,2)代入雙曲線方程可得-=1,解得a2=6,b2=12,
所以雙曲線C的方程為-=1.
(2)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】選B.由離心率為,可知a=b,c=a,所以F(-a,0),
由題意知kPF===1,所以a=4,解得a=2,
所以雙曲線的方程為-=1.
解題技法
求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法.
根據(jù)雙曲線的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置,求出雙曲線方程,常用的關(guān)系有:
①c2=a2+b2;
②雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于2a.
(2)待定系數(shù)法.
一般步驟.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2021·北京高考)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(,),且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
【解析】選A.由e==2,得c=2a,b==a,則雙曲線的方程為-=1,
將點(diǎn)(,)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得-=1,解得a=1,故b=,
因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
2.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓M:(x+2)2+y2=12,點(diǎn)N(2,0),Q是圓M上任意一點(diǎn),線段
NQ的垂直平分線與直線MQ相交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,則曲線E的方程為
____________.
【解析】因?yàn)镻在線段NQ的垂直平分線上,所以|PQ|=|PN|,
所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=2<|MN|=4,由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以M,N
為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長的雙曲線,則c=2,a=,得b=1,
所以曲線E的方程為-y2=1.
-y2=1
【加練備選】
　　 (2024·杭州模擬)已知等軸雙曲線Γ經(jīng)過點(diǎn)A(3,2),則Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.y2-x2=1 D.x2-y2=1
【解析】選A.設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0),
代入點(diǎn)A(3,2),得λ=9-4=5,故所求雙曲線的方程為x2-y2=5,
其標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
考點(diǎn)三 雙曲線的幾何性質(zhì)
考情提示
雙曲線的離心率及漸近線方程是高考命題的熱點(diǎn),它們常與方程、不等式及向量等知識(shí)相結(jié)合,多以選擇或填空題的形式出現(xiàn).
角度1 雙曲線的離心率
[例4](1)(2024·廈門模擬)已知雙曲線-y2=1的焦距為4,則其離心率為(　　)
A. B. C.2 D.4
【解析】選B.由雙曲線-y2=1的焦距為4,可得c=2,b=1,
所以a===,e===.
(2)(2024·廣州模擬)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≥b,則C的離心率的取值范圍是(　　)
A. (1, B.[,+∞) C.(1,] D.[,+∞)
【解析】選A.設(shè)P(x,y),|PB|≥b ≥b x2+y2-2by≥0(*),
由-=1 x2=a2(1+),代入不等式*中,化簡,得y2-2by+a2≥0恒成立,
則有Δ=4b2-≤0 b4≤a2c2 b2≤ac c2-a2≤ac e2-e-1≤0,
解得≤e≤,而e>1,所以1解題技法
求雙曲線離心率的方法
(1)若可求得a,c,直接利用e=求解;
(2)若已知a,b,可直接利用e=得解;
(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r為常數(shù),且pqr≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+qe+r=0求解.
角度2 雙曲線的漸近線方程
[例5](1)(2024·南京模擬)設(shè)F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若雙
曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,則雙曲線的漸近線方程
為(　　)
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0
C.3x±5y=0 D.5x±4y=0
【解析】選B.作F2Q⊥PF1于點(diǎn)Q,如圖所示,
因?yàn)閨F1F2|=|PF2|,所以Q為PF1的中點(diǎn),
由雙曲線的定義知||PF1|-|PF2||=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因?yàn)閏os∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,
即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,
故雙曲線的漸近線方程為y=±x,即4x±3y=0.
(2)(一題多法)(2022·北京高考)已知雙曲線y2+=1的漸近線方程為y=±x,則
m=______.
【解析】方法一:依題意得m<0,雙曲線的方程可表示為y2-=1,此時(shí)雙曲線的漸
近線的斜率為±=±,解得m=-3.
方法二:依題意得m<0,令y2-=0,
得y=±x=±x,解得m=-3.
-3
(3)(一題多法)若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,),其漸近線方程為y=±2x,則雙曲線的方程是
_________.
【解析】方法一:由題意可知,①若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則可設(shè)-=1(a>0,b>0),則
-=1且=2,聯(lián)立解得a=,b=1,則雙曲線的方程為4x2-y2=1;
②若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則可設(shè)-=1(a>0,b>0),則-=1,且=2,此時(shí)無解,
綜上,雙曲線的方程為4x2-y2=1.
方法二:由題可設(shè)雙曲線方程為4x2-y2=λ(λ≠0),
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,),所以λ=4×12-()2=1,
所以雙曲線方程為4x2-y2=1.
4x2-y2=1
解題技法
1.漸近線的求法
求雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線的方法是令-=0,即得兩漸近線方程±=0 (y=±x).
2.根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)出雙曲線方程
(1)漸近線為y=x的雙曲線方程可設(shè)為-=λ(λ≠0);
(2)如果兩條漸近線的方程為Ax±By=0,那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2-B2y2 =m (m≠0);
(3)與雙曲線-=1共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-=λ(λ≠0).
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(多選題)已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C位于第一象限內(nèi)一點(diǎn),若·=0,=2||,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.△PF1F2的面積為a2
B.雙曲線C的離心率為
C.雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0
D.若雙曲線C的焦距為2,則雙曲線C的方程為x2-=1
【解析】選BD.對(duì)于選項(xiàng)A:由定義可得|PF1|-|PF2|=2a,因?yàn)閨PF1|=2|PF2|,
所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,由已知∠F1PF2=90°,
所以△PF1F2的面積為|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B:由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即5a2=c2,所以e===,故B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)閎2=c2-a2=4a2,所以=4,即=2,所以雙曲線的漸近線方程為:2x±y=0,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D:由雙曲線C的焦距為2得c=,從而a2=1,b2=4,所以雙曲線C的方程為x2-=1,故D正確.
2.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.點(diǎn)A
在C上,點(diǎn)B在y軸上,⊥,=-,則C的離心率為________.
【解析】方法一:依題意,設(shè)|AF2|=2m,則|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,
在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,則(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,則|AB|=5a,故cos∠F1AF2===,
所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2==,
整理得5c2=9a2,故e==.
方法二:依題意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(yù)(x0,y0),B(0,t),
因?yàn)?-,所以(x0-c,y0)=-(-c,t),則x0=c,y0=-t,
又⊥,所以·=(c,-t)(c,t)=c2-t2=0,則t2=4c2,
又點(diǎn)A在C上,則-=1,整理得-=1,則-=1,
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),
整理得25c4-50c2a2+9a4=0,則(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,
又e>1,所以e=或e=(舍去),故e=.
【加練備選】
　　(多選題)(2024·阜陽模擬)已知曲線C:+=1(m≠0,n≠0),則下列敘述正確的
有(　　)
A.若曲線C為圓,則m=n
B.若m=-n,則曲線C的離心率為2
C.若0D.若m<0【解析】選ACD.若方程+=1(m≠0,n≠0)的曲線為圓,則m=n>0,A正確;
若m=-n,則曲線C為等軸雙曲線,所以雙曲線C的離心率為,B不正確;
若0若m<0雙曲線C的漸近線方程為y=±x,D正確.
謝謝觀賞！！9.6.1-雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.了解雙曲線的實(shí)際背景及雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單的幾何性質(zhì).(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)
3.了解雙曲線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考對(duì)雙曲線的考查形式有兩種:(1)根據(jù)題設(shè)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究雙曲線的基本性質(zhì),常以選擇題或填空題形式出現(xiàn).
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025年高考在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)仍會(huì)出題,一般在選擇題、填空題中出現(xiàn),雙曲線與其他圓錐曲線交匯考查比較靈活,各種題型都可能涉及.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.雙曲線的定義
(1)一般地,把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
(2)數(shù)學(xué)表達(dá)式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù),且c>a>0.
微點(diǎn)撥 (1)當(dāng)|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.當(dāng)|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為靠近F1的雙曲線的一支.
(2)若a=c,則軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線;若a>c,則軌跡不存在;若a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
圖形
性 質(zhì) 范圍 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
對(duì)稱性 對(duì)稱軸:坐標(biāo)軸　　對(duì)稱中心:原點(diǎn)
頂點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo): A1(-a,0),A2(a,0)　 頂點(diǎn)坐標(biāo): A1(0,-a),A2(0,a)　
漸近線 y=±x y=±x
離心率 e=,e∈(1,+∞)
a,b,c 的關(guān)系 c2=a2+b2
實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長|A1A2|=2a; 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b; a叫做雙曲線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長
等軸 雙曲線 ①定義:中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,實(shí)半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線. ②性質(zhì):a=b;e=;漸近線互相垂直;等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)
微思考 雙曲線的范圍經(jīng)常在什么情況下使用
提示:在求最值、范圍、是否存在等題目求解時(shí),使用范圍這個(gè)性質(zhì).
常用結(jié)論
1.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
2.若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦),其長為.
4.與雙曲線-=1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示為-=t(t≠0).
5.雙曲線的離心率公式可表示為e=.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)雙曲線的焦點(diǎn)一定位于雙曲線的實(shí)軸上.(　 √　)
提示:(1)雙曲線的焦點(diǎn)一定在實(shí)軸上;
(2)若兩條雙曲線的焦點(diǎn)相同,則其漸近線也一定相同.(　 ×　)
提示:(2)若兩條雙曲線的焦點(diǎn)相同,==,若離心率不同,焦點(diǎn)在x軸上時(shí),則漸近線的斜率的絕對(duì)值也不相同,則漸近線也不相同,同樣焦點(diǎn)在y軸也有類似結(jié)論;
(3)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率越大,其漸近線斜率的絕對(duì)值就越大.(　 √　)
提示:(3)==,焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率越大,e越大,則越大,即漸近線斜率的絕對(duì)值越大;
(4)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線與焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線.(　 ×　)
提示:(4)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線與焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,如雙曲線-=1和-=1的漸近線相同,都為y=±x.
2.(混淆焦點(diǎn)位置)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,-5),F2(0,5),雙曲線上一點(diǎn)P與F1,F2的距離差的絕對(duì)值等于6,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】選C.由題意,c=5,2a=6,所以a=3,
則b==4,結(jié)合條件可知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
3.(選擇性必修第一冊(cè)P120例1變條件)已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|-|MB|=6,則點(diǎn)M的軌跡方程是(　　)
A.-=1 B.-=1(x≥4)
C.-=1 D.-=1(x≥3)
【解析】選D.由雙曲線的定義知,點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支,故排除A,C.又由題意可知c=5,a=3,所以b==4,故點(diǎn)M的軌跡方程為-=1(x≥3).
4.(2021·全國甲卷)已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且∠F1PF2= 60°, |PF1|= 3|PF2|,則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,
則根據(jù)題意及余弦定理可得:,
解得,所以所求離心率為===.
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用
[例1](1)(2024·濰坊模擬)已知?jiǎng)訄AM與兩圓x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,則動(dòng)圓M的圓心軌跡是(　　)
A.雙曲線 B.雙曲線的一支
C.拋物線 D.前三個(gè)答案都不對(duì)
【解析】選B.題中兩圓分別記為圓A:x2+y2=1以及圓B:(x-3)2+y2=2,設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為r,則,
于是|MB|-|MA|=-1(<|AB|=3)為定值,因此動(dòng)圓M的圓心軌跡是雙曲線的一支.
(2)若F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn).
①若雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為7,求|PF2|;
【解析】①由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由于|PF1|=7②若點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.
【解析】②由定義和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=64,所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
解題技法
1.雙曲線定義的主要應(yīng)用
(1)判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程.
(2)在“焦點(diǎn)三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運(yùn)用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
2.與雙曲線兩焦點(diǎn)有關(guān)的問題常利用定義求解.
3.如果題設(shè)條件涉及動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離,求軌跡方程時(shí)可考慮能否應(yīng)用定義求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1. 已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0),下列條件中滿足動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是(　　)
A.-=±7
B.-=±6
C.-=±4
D.-=±6
【解析】選C.由題意,因?yàn)?6,所以由雙曲線的定義知,
當(dāng)0<<6時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.
2.(2024·南昌模擬)已知F1,F2分別為雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn),P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)A在雙曲線的右支上,則|AP|+|AF2|的最小值為(　　)
A.+4 B.-4
C.-2 D.+2
【解析】選C.因?yàn)閨AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.如圖,連接F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)A0.當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)A0處時(shí),
|AP|+|AF1|最小,最小值為|PF1|==.
故|AP|+|AF2|的最小值為-2.
【加練備選】
　　 1.(2024·渭南模擬)如果雙曲線-=1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8,那么點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是(　　)
A.4 B.12
C.4或12 D.不確定
【解析】選C.設(shè)雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,則a=2,c==4;
則|PF2|=8>6,
由雙曲線定義可得||PF1|-|PF2||=2a=4,即||PF1|-8|=4,所以|PF1|=4或|PF1|=12,由于c-a=2,故點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是4或12.
2.(2024·荊州模擬)已知雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)(不是頂點(diǎn)),過F2作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足是M,O是原點(diǎn),則|MO|=____________.
【解析】如圖所示,延長F2M交PF1于Q,
由于PM是∠F1PF2的平分線,F2M⊥PM,
所以△QPF2是等腰三角形,
所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中點(diǎn).
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8,
由于O是F1F2的中點(diǎn),所以MO是△QF1F2的中位線,
所以|MO|=|QF1|=4.
答案:4
考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
[例2](2024·武漢模擬)已知點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0),曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到F1,F2的距離之差為6,則曲線方程為(　　)
A.-=1(x>0) 　　B.-=1
C.-=1(y>0) 　　D.-=1
【解析】選A.由題意可得|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,由雙曲線定義可知,所求曲線方程為雙曲線的一支,且2a=6,2c=8,即a=3,c=4,
所以b2=c2-a2=16-9=7.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以曲線方程為-=1(x>0).
[例3](1)(2024·成都模擬)已知直線y=x是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線,且點(diǎn)(2,2)在雙曲線C上,則雙曲線C的方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】選C.由雙曲線C:-=1,則其漸近線方程為y=±x,由題意可得:=,整理可得b=a,將(2,2)代入雙曲線方程可得-=1,解得a2=6,b2=12,
所以雙曲線C的方程為-=1.
(2)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】選B.由離心率為,可知a=b,c=a,所以F(-a,0),
由題意知kPF===1,所以a=4,解得a=2,
所以雙曲線的方程為-=1.
解題技法
求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法.
根據(jù)雙曲線的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置,求出雙曲線方程,常用的關(guān)系有:
①c2=a2+b2;
②雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于2a.
(2)待定系數(shù)法.
一般步驟.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2021·北京高考)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(,),且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
【解析】選A.由e==2,得c=2a,b==a,則雙曲線的方程為-=1,
將點(diǎn)(,)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得-=1,解得a=1,故b=,
因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
2.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓M:(x+2)2+y2=12,點(diǎn)N(2,0),Q是圓M上任意一點(diǎn),線段NQ的垂直平分線與直線MQ相交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,則曲線E的方程為____________.
【解析】因?yàn)镻在線段NQ的垂直平分線上,所以|PQ|=|PN|,
所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=2<|MN|=4,由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長的雙曲線,則c=2,a=,得b=1,
所以曲線E的方程為-y2=1.
答案:-y2=1
【加練備選】
　　 (2024·杭州模擬)已知等軸雙曲線Γ經(jīng)過點(diǎn)A(3,2),則Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.-=1 B.-=1
C.y2-x2=1 D.x2-y2=1
【解析】選A.設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0),
代入點(diǎn)A(3,2),得λ=9-4=5,故所求雙曲線的方程為x2-y2=5,
其標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)
考情提示
雙曲線的離心率及漸近線方程是高考命題的熱點(diǎn),它們常與方程、不等式及向量等知識(shí)相結(jié)合,多以選擇或填空題的形式出現(xiàn).
角度1 雙曲線的離心率
[例4](1)(2024·廈門模擬)已知雙曲線-y2=1的焦距為4,則其離心率為(　　)
A. B. C.2 D.4
【解析】選B.由雙曲線-y2=1的焦距為4,可得c=2,b=1,
所以a===,e===.
(2)(2024·廣州模擬)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≥b,則C的離心率的取值范圍是(　　)
A. (1, B.[,+∞)
C.(1,] D.[,+∞)
【解析】選A.設(shè)P(x,y),|PB|≥b ≥b x2+y2-2by≥0(*),
由-=1 x2=a2(1+),代入不等式*中,化簡,得y2-2by+a2≥0恒成立,
則有Δ=4b2-≤0 b4≤a2c2 b2≤ac c2-a2≤ac e2-e-1≤0,
解得≤e≤,而e>1,所以1解題技法
求雙曲線離心率的方法
(1)若可求得a,c,直接利用e=求解;
(2)若已知a,b,可直接利用e=得解;
(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r為常數(shù),且pqr≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+qe+r=0求解.
角度2 雙曲線的漸近線方程
[例5](1)(2024·南京模擬)設(shè)F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0
C.3x±5y=0 D.5x±4y=0
【解析】選B.作F2Q⊥PF1于點(diǎn)Q,如圖所示,
因?yàn)閨F1F2|=|PF2|,所以Q為PF1的中點(diǎn),
由雙曲線的定義知||PF1|-|PF2||=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因?yàn)閏os∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,
即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,
故雙曲線的漸近線方程為y=±x,即4x±3y=0.
(2)(一題多法)(2022·北京高考)已知雙曲線y2+=1的漸近線方程為y=±x,則m=______.
【解析】方法一:依題意得m<0,雙曲線的方程可表示為y2-=1,此時(shí)雙曲線的漸近線的斜率為±=±,解得m=-3.
方法二:依題意得m<0,令y2-=0,
得y=±x=±x,解得m=-3.
答案:-3
(3)(一題多法)若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,),其漸近線方程為y=±2x,則雙曲線的方程是________.
【解析】方法一:由題意可知,①若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則可設(shè)-=1(a>0,b>0),則-=1且=2,聯(lián)立解得a=,b=1,則雙曲線的方程為4x2-y2=1;
②若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則可設(shè)-=1(a>0,b>0),則-=1,且=2,此時(shí)無解,綜上,雙曲線的方程為4x2-y2=1.
方法二:由題可設(shè)雙曲線方程為4x2-y2=λ(λ≠0),
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,),所以λ=4×12-()2=1,
所以雙曲線方程為4x2-y2=1.
答案:4x2-y2=1
解題技法
1.漸近線的求法
求雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線的方法是令-=0,即得兩漸近線方程±=0 (y=±x).
2.根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)出雙曲線方程
(1)漸近線為y=x的雙曲線方程可設(shè)為-=λ(λ≠0);
(2)如果兩條漸近線的方程為Ax±By=0,那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2-B2y2 =m (m≠0);
(3)與雙曲線-=1共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-=λ(λ≠0).
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(多選題)(2024·長沙模擬)已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C位于第一象限內(nèi)一點(diǎn),若·=0,=2||,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.△PF1F2的面積為a2
B.雙曲線C的離心率為
C.雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0
D.若雙曲線C的焦距為2,則雙曲線C的方程為x2-=1
【解析】選BD.對(duì)于選項(xiàng)A:由定義可得|PF1|-|PF2|=2a,因?yàn)閨PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,由已知∠F1PF2=90°,
所以△PF1F2的面積為|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B:由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即5a2=c2,所以e===,故B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)閎2=c2-a2=4a2,所以=4,即=2,所以雙曲線的漸近線方程為:2x±y=0,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D:由雙曲線C的焦距為2得c=,從而a2=1,b2=4,所以雙曲線C的方程為x2-=1,故D正確.
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,⊥,=-,則C的離心率為________.
【解析】方法一:依題意,設(shè)|AF2|=2m,則|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,
在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,則(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,則|AB|=5a,
故cos∠F1AF2===,所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2==,
整理得5c2=9a2,故e==.
方法二:依題意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(yù)(x0,y0),B(0,t),
因?yàn)?-,所以(x0-c,y0)=-(-c,t),則x0=c,y0=-t,
又⊥,所以·=(c,-t)(c,t)=c2-t2=0,則t2=4c2,
又點(diǎn)A在C上,則-=1,整理得-=1,則-=1,
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),
整理得25c4-50c2a2+9a4=0,
則(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,
又e>1,所以e=或e=(舍去),故e=.
答案:
【加練備選】
　　(多選題)(2024·阜陽模擬)已知曲線C:+=1(m≠0,n≠0),則下列敘述正確的有(　　)
A.若曲線C為圓,則m=n
B.若m=-n,則曲線C的離心率為2
C.若0D.若m<0【解析】選ACD.若方程+=1(m≠0,n≠0)的曲線為圓,則m=n>0,A正確;
若m=-n,則曲線C為等軸雙曲線,所以雙曲線C的離心率為,B不正確;
若0若m<0雙曲線C的漸近線方程為y=±x,D正確.

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