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(共20張PPT)
拓展拔高5　指對同構
【高考考情】同構思想,在高考中有非常強烈的體現,不管是小題還是大題,都處在壓軸題的位置,備受命題者的青睞,它能夠很好地考查學生的數學建模、數學抽象、數學運算的核心素養.
【同構法】是證明不等式的一種技巧,通過等價變形使得兩邊的式子結構相同,從而將兩邊看成是同一個函數的兩個函數值,借助該函數的單調性簡化不等式,使問題得以解決.同構法需要有敏銳的觀察能力才能找到函數的模型.
一、五個常見變形
①xex=ex+ln x　②=ex-ln x　③=eln x-x
④x+ln x=ln(xex)　⑤x-ln x=ln
二、三種基本類型
視角一　bln b與xex同構
[導思]bln b=eln b·ln b,即ln b·eln b對應xex模型,可構造函數f(x)=xex.
[例1]設實數λ>0,若對于任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-≥0恒成立,則λ的最小值
為(　　)
A.e B. C. D.
【解析】選C.由eλx-≥0,得λeλx-ln x≥0,
即λxeλx-xln x≥0,也即λxeλx≥xln x.
由同構xln x=eln x·ln x,
可得(λx)·eλx≥ln x·eln x.
設f(x)=xex,
則f'(x)=(x+1)ex>0對x∈(0,+∞)恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
由(λx)·eλx≥ln x·eln x可得f(λx)≥f(ln x),
即λx≥ln x,也即λ≥,所以λ≥.
令g(x)=(x>0),則g'(x)=(x>0).
所以當x∈(0,e)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;
當x∈(e,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.
因此,g(x)max=g(e)=,故λ≥.
視角二　aea與xln x同構
[導思]aea=ea·ln ea,即ea·ln ea對應xln x模型,可構造函數f(x)=xln x.
[例2]已知函數f(x)=aex-1-ln x+ln a,若f(x)≥1,則a的取值范圍為________.
[1,+∞)
【解析】由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1.
變形后可化為aex-1≥ln ex-1≥ln
ex≥ln xex≥ln exln ex≥ln .
令g(x)=xln x(x>0),則g'(x)=1+ln x,可知當x∈(0,)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減;
當x∈(,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增.
所以原不等式等價于g(ex)≥g(),且x>0,
ex>1,>0.
所以g(ex)≥g() ex≥ a≥.
令h(x)=(x>0),則h'(x)=.
所以當x∈(0,1)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,h(x)單調遞減.
所以h(x)max=h(1)=1,
故a的取值范圍是[1,+∞).
視角三　與同構
[導思]=,即對應模型,可構造函數f(x)=.
[例3]已知a>0,且x2+xln a-aexln x>0對任意的x∈(0,1)恒成立,則實數a的取值
范圍為______________.
[,+∞)
【解析】因為x2+xln a-aexln x>0,
所以aexln x所以<=,
即<對任意的x∈(0,1)恒成立,
設f(x)=,則f'(x)=,
所以當x∈(0,1)時,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上單調遞增,
所以x∈(0,1)時,f(x)<0.
因為<,所以x所以a>恒成立,令g(x)=,則g'(x)=>0,即g(x)在(0,1)上單調遞增,故a≥g(1)=,實數a的取值范圍是[,+∞).
視角四　c+ln c與x+ex同構
[導思]c+ln c=eln c+ln c,即ln c+eln c對應x+ex模型,可構造函數f(x)=x+ex.
[例4]已知函數f(x)=ex+2ax(x∈R),
(1)求f(x)的單調性;
【解析】(1)f'(x)=ex+2a.
當a≥0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.
當a<0時,f(x)在(-∞,ln (-2a))上單調遞減,在(ln (-2a),+∞)上單調遞增.
[例4]已知函數f(x)=ex+2ax(x∈R),
(2)a>0,令g(x)=f(x)-a(x-1)ln (ax-a)+a,若g(x)恒單調遞增,求a的取值范圍.
【解析】(2)g(x)=ex+2ax-a(x-1)ln (ax-a)+a的定義域為(1,+∞).因為g(x)恒單調遞增,
所以g'(x)=ex-aln (ax-a)+a≥0在(1,+∞)上恒成立,即≥ln a(x-1)-1,也即ex-ln a-ln a≥
ln (x-1)-1,整理得ex-ln a+(x-ln a)≥eln (x-1)+ln (x-1).令F(x)=ex+x,顯然F(x)在(1,+∞)上單
調遞增,原不等式等價于F(x-ln a)≥F(ln (x-1)),所以x-ln a≥ln (x-1),即ln a≤x-ln (x-1).
令h(x)=x-ln (x-1)(x>1),則h'(x)=1-=(x>1).所以h(x)在(1,2)上單調遞減,
在(2,+∞)上單調遞增,h(x)min=h(2)=2.
因此,ln a≤2,即a≤e2,a的取值范圍是(0,e2].
思維升華
指對同構解題的關鍵點
(1)常用的指對同構:指數和對數混合的導數題,直接使用同構的題目并不多,許多情況下,需要湊出同構的形式來.因為指數和對數之間可以互相轉換,所以盡量轉換為常見的aea≤bln b,=,ea±a>b±ln b三種同構形式.
(2)復雜式的指對同構:比如aeax≤ln x兩邊同乘x可轉化為axeax≤xln x;ax>logax可轉化為exln a>,兩邊再同時乘xln a可轉化為(xln a)·exln a>xln x;x+≥xa-ln xa可轉化為-ln ≥xa-ln xa等.
謝謝觀賞！！拓展拔高5　指對同構
【高考考情】同構思想,在高考中有非常強烈的體現,不管是小題還是大題,都處在壓軸題的位置,備受命題者的青睞,它能夠很好地考查學生的數學建模、數學抽象、數學運算的核心素養.
【同構法】是證明不等式的一種技巧,通過等價變形使得兩邊的式子結構相同,從而將兩邊看成是同一個函數的兩個函數值,借助該函數的單調性簡化不等式,使問題得以解決.同構法需要有敏銳的觀察能力才能找到函數的模型.
一、五個常見變形
①xex=ex+ln x　②=ex-ln x　③=eln x-x
④x+ln x=ln(xex)　⑤x-ln x=ln
二、三種基本類型
視角一　bln b與xex同構
[導思]bln b=eln b·ln b,即ln b·eln b對應xex模型,可構造函數f(x)=xex.
[例1]設實數λ>0,若對于任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-≥0恒成立,則λ的最小值為(　　)
A.e B. C. D.
【解析】選C.由eλx-≥0,得λeλx-ln x≥0,
即λxeλx-xln x≥0,也即λxeλx≥xln x.
由同構xln x=eln x·ln x,
可得(λx)·eλx≥ln x·eln x.
設f(x)=xex,
則f'(x)=(x+1)ex>0對x∈(0,+∞)恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
由(λx)·eλx≥ln x·eln x可得f(λx)≥f(ln x),
即λx≥ln x,也即λ≥,所以λ≥.
令g(x)=(x>0),則g'(x)=(x>0).
所以當x∈(0,e)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;
當x∈(e,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.
因此,g(x)max=g(e)=,故λ≥.
視角二　aea與xln x同構
[導思]aea=ea·ln ea,即ea·ln ea對應xln x模型,可構造函數f(x)=xln x.
[例2]已知函數f(x)=aex-1-ln x+ln a,若f(x)≥1,則a的取值范圍為________.
【解析】由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1.
變形后可化為aex-1≥ln ex-1≥ln
ex≥ln xex≥ln exln ex≥ln .
令g(x)=xln x(x>0),則g'(x)=1+ln x,可知當x∈(0,)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減;
當x∈(,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增.
所以原不等式等價于g(ex)≥g(),且x>0,
ex>1,>0.
所以g(ex)≥g() ex≥ a≥.
令h(x)=(x>0),則h'(x)=.
所以當x∈(0,1)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,h(x)單調遞減.
所以h(x)max=h(1)=1,
故a的取值范圍是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
視角三　與同構
[導思]=,即對應模型,可構造函數f(x)=.
[例3]已知a>0,且x2+xln a-aexln x>0對任意的x∈(0,1)恒成立,則實數a的取值范圍為______________.
【解析】因為x2+xln a-aexln x>0,
所以aexln x所以<=,
即<對任意的x∈(0,1)恒成立,
設f(x)=,則f'(x)=,
所以當x∈(0,1)時,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上單調遞增,
所以x∈(0,1)時,f(x)<0.
因為<,所以x所以a>恒成立,令g(x)=,則g'(x)=>0,即g(x)在(0,1)上單調遞增,故a≥g(1)=,實數a的取值范圍是[,+∞).
答案: [,+∞)
視角四　c+ln c與x+ex同構
[導思]c+ln c=eln c+ln c,即ln c+eln c對應x+ex模型,可構造函數f(x)=x+ex.
[例4]已知函數f(x)=ex+2ax(x∈R),
(1)求f(x)的單調性;
【解析】(1)f'(x)=ex+2a.
當a≥0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.
當a<0時,f(x)在(-∞,ln (-2a))上單調遞減,在(ln (-2a),+∞)上單調遞增.
(2)a>0,令g(x)=f(x)-a(x-1)ln (ax-a)+a,若g(x)恒單調遞增,求a的取值范圍.
【解析】(2)g(x)=ex+2ax-a(x-1)ln (ax-a)+a的定義域為(1,+∞).因為g(x)恒單調遞增,所以g'(x)=ex-aln (ax-a)+a≥0在(1,+∞)上恒成立,即≥ln a(x-1)-1,也即ex-ln a-ln a≥ln (x-1)-1,整理得ex-ln a+(x-ln a)≥eln (x-1)+ln (x-1).令F(x)=ex+x,顯然F(x)在(1,+∞)上單調遞增,原不等式等價于F(x-ln a)≥F(ln (x-1)),所以x-ln a≥ln (x-1),即ln a≤x-ln (x-1).
令h(x)=x-ln (x-1)(x>1),則h'(x)=1-=(x>1).所以h(x)在(1,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增,h(x)min=h(2)=2.
因此,ln a≤2,即a≤e2,a的取值范圍是(0,e2].
思維升華
指對同構解題的關鍵點
　(1)常用的指對同構:指數和對數混合的導數題,直接使用同構的題目并不多,許多情況下,需要湊出同構的形式來.因為指數和對數之間可以互相轉換,所以盡量轉換為常見的aea≤bln b,=,ea±a>b±ln b三種同構形式.
(2)復雜式的指對同構:比如aeax≤ln x兩邊同乘x可轉化為axeax≤xln x;ax>logax可轉化為exln a>,兩邊再同時乘xln a可轉化為(xln a)·exln a>xln x;x+≥xa-ln xa可轉化為-ln ≥xa-ln xa等.

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