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(共11張PPT)
拓展拔高8　阿波羅尼斯圓
【背景】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.
【考情】動點的軌跡問題是高考中的一個熱點和重點,尤其是阿波羅尼斯圓在高考中頻頻出現(xiàn).處理此類問題的關鍵是通過建立直角坐標系,尋找動點滿足的條件,得出動點的軌跡是一個定圓,從而把問題轉(zhuǎn)化為直線和圓、圓和圓的位置關系問題,并在解決問題的過程中感悟轉(zhuǎn)化與化歸、化繁為簡的數(shù)學思想方法.
一、阿波羅尼斯圓定義
一般地,平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的點的軌跡是圓,此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”.特殊地,設定點為A,B,動點為P,則當λ=1時, 點P的軌跡是線段AB的垂直平分線.
【探究】以直線AB為x軸,以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.設|AB|=2a(a>0),則A點的坐標為(-a,0),B點的坐標為(a,0),P點的坐標為P(x,y).
根據(jù)題意有P∈,得=λ.
整理得,(λ2-1)x2+(λ2-1)y2-2a(λ2+1)x=a2(1-λ2),
①當λ≠1時,方程可化為+y2=,
即點P的軌跡是以(a,0)為圓心,為半徑的圓. (注:r=)
②當λ=1時,方程可化為x=0,即點P的軌跡為y軸(即線段AB的垂直平分線).
二、阿波羅尼斯圓的應用
視角一　求軌跡方程及軌跡的有關問題
[例1](1)設A,B是平面上兩點,則滿足=k(其中k為常數(shù),k≠0且k≠1)的點P的軌跡是一
個圓,已知A(,0),B(,0),且k=,則點P所在圓M的方程為_______.
【解析】設P(x,y),由題意可得,=,即=,
則+y2=2[+y2],整理得x2+y2=3.
x2+y2=3
(2)如圖,在等腰△ABC中,已知AB=AC,B(-1,0),AC邊的中點為D(2,0),則點C的軌跡所包
圍的圖形的面積等于__________.
【解析】因為AB=2AD,所以點A的軌跡是阿波羅尼斯圓,
易知其方程為(x-3)2+y2=4(y≠0).
設C(x,y),由AC邊的中點為D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的
軌跡方程為(4-x-3)2+(-y)2=4(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),
故所求的面積為4π.
4π
(3)正方形ABCD的邊長為3,P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點,且=2,則動點P
的軌跡長度為__________.
【解析】建立如圖所示的直角坐標系,則A(0,0),B(3,0),設P(x,y),
又因為=2,所以=2,化簡為
x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,所以P點的軌跡是以Q(-1,0)為圓心,半徑為2的圓.
又因為P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點,所以動點P與y軸正半軸的交點為M(0,),
動點P與x軸正半軸的交點為N(1,0),則動點P的軌跡長度為圓弧MN,
在△QMA中,AM=,QM=2,所以sin∠MQA==,∠MQA=,所以圓弧MN=×2=.
視角二　求三角形面積的最值問題
[例2](1)滿足條件AB=2,AC=BC的△ABC的面積的最大值為__________.
【解析】方法一(直解法):
建立如圖的直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),設C點的坐標為(x,y),
因為|AC|=|BC|,所以=×.
整理得(x-3)2+y2=8,
所以點C的軌跡是以(3,0)為圓心,2為半徑的圓(除去與x軸的交點).
設圓心為M,當CM⊥x軸時,△ABC的面積最大,此時=2,
(S△ABC)max=|AB|·r=×2×2=2.
2
方法二(秒解法):
由題意可知,動點C的軌跡是圓M,且半徑r===2,分析可得,
當且僅當CM⊥AB時,△ABC面積最大,(S△ABC)max=|AB|·r=×2×2=2.
(2)已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sin A=2sin B,acos B+
bcos A=2,則△ABC面積的最大值為_______.
【解析】依題意,sin A=2sin B,得BC=2AC,
acos B+bcos A=+=c=2,即AB=2,以AB邊所在的直線為x軸,
AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,設A(1,0),B(-1,0),C(x,y),x≠0,
由BC=2AC,則C的軌跡為阿波羅尼斯圓,其方程為(x-)2+y2=,x≠0,
邊AB高的最大值為,所以(S△ABC)max=.
謝謝觀賞！！拓展拔高8　阿波羅尼斯圓
【背景】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.
【考情】動點的軌跡問題是高考中的一個熱點和重點,尤其是阿波羅尼斯圓在高考中頻頻出現(xiàn).處理此類問題的關鍵是通過建立直角坐標系,尋找動點滿足的條件,得出動點的軌跡是一個定圓,從而把問題轉(zhuǎn)化為直線和圓、圓和圓的位置關系問題,并在解決問題的過程中感悟轉(zhuǎn)化與化歸、化繁為簡的數(shù)學思想方法.
一、阿波羅尼斯圓定義
一般地,平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的點的軌跡是圓,此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”.特殊地,設定點為A,B,動點為P,則當λ=1時, 點P的軌跡是線段AB的垂直平分線.
【探究】以直線AB為x軸,以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.設|AB|=2a(a>0),則A點的坐標為(-a,0),B點的坐標為(a,0),P點的坐標為P(x,y).
根據(jù)題意有P∈,得=λ.
整理得,(λ2-1)x2+(λ2-1)y2-2a(λ2+1)x=a2(1-λ2),
①當λ≠1時,方程可化為+y2=,
即點P的軌跡是以(a,0)為圓心,
為半徑的圓. (注:r=)
②當λ=1時,方程可化為x=0,即點P的軌跡為y軸(即線段AB的垂直平分線).
二、阿波羅尼斯圓的應用
視角一　求軌跡方程及軌跡的有關問題
[例1](1)設A,B是平面上兩點,則滿足=k(其中k為常數(shù),k≠0且k≠1)的點P的軌跡是一個圓,已知A(,0),B(,0),且k=,則點P所在圓M的方程為_______.
【解析】設P(x,y),由題意可得,=,即=,
則+y2=2[+y2],整理得x2+y2=3.
答案:x2+y2=3
(2)如圖,在等腰△ABC中,已知AB=AC,B(-1,0),AC邊的中點為D(2,0),則點C的軌跡所包圍的圖形的面積等于__________.
【解析】因為AB=2AD,所以點A的軌跡是阿波羅尼斯圓,易知其方程為(x-3)2+y2=4(y≠0).
設C(x,y),由AC邊的中點為D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的軌跡方程為(4-x-3)2+(-y)2=4(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),故所求的面積為4π.
答案:4π
(3)正方形ABCD的邊長為3,P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點,且=2,則動點P的軌跡長度為__________.
【解析】建立如圖所示的直角坐標系,則A(0,0),B(3,0),設P(x,y),
又因為=2,所以=2,化簡為x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,所以P點的軌跡是以Q(-1,0)為圓心,半徑為2的圓.
又因為P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點,所以動點P與y軸正半軸的交點為M(0,),動點P與x軸正半軸的交點為N(1,0),則動點P的軌跡長度為圓弧MN,
在△QMA中,AM=,QM=2,所以sin∠MQA==,∠MQA=,所以圓弧MN=×2=.
答案:
視角二　求三角形面積的最值問題
[例2](1)滿足條件AB=2,AC=BC的△ABC的面積的最大值為__________.
【解析】方法一(直解法):
建立如圖的直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),設C點的坐標為(x,y),
因為|AC|=|BC|,所以=×.
整理得(x-3)2+y2=8,
所以點C的軌跡是以(3,0)為圓心,2為半徑的圓(除去與x軸的交點).
設圓心為M,當CM⊥x軸時,△ABC的面積最大,此時=2,
(S△ABC)max=|AB|·r=×2×2=2.
方法二(秒解法):
由題意可知,動點C的軌跡是圓M,且半徑r===2,分析可得,當且僅當CM⊥AB時,△ABC面積最大,(S△ABC)max=|AB|·r=×2×2=2.
答案:2
(2)已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sin A=2sin B,acos B+bcos A=2,則△ABC面積的最大值為__________.
【解析】依題意,sin A=2sin B,得BC=2AC,
acos B+bcos A=+=c=2,即AB=2,以AB邊所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,設A(1,0),B(-1,0),C(x,y),x≠0,
由BC=2AC,則C的軌跡為阿波羅尼斯圓,其方程為(x-)2+y2=,x≠0,邊AB高的最大值為,所以(S△ABC)max=.
答案:

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