資源簡介

(共40張PPT)
必備知識·逐點夯實
第四節　列聯表與獨立性檢驗
第十章　統計與成對數據的統計分析
核心考點·分類突破
【課標解讀】
【課程標準】
1.通過實例,理解2×2列聯表的統計意義.
2.通過實例,了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用.
【核心素養】
數學抽象、數據分析、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以現實生活為載體,考查分類變量與列聯表、獨立性檢驗;
獨立性檢驗是高考熱點,常以解答題的形式出現.
預測 估計2025年高考仍會在獨立檢驗上出題.
必備知識·逐點夯實
知識梳理·歸納
1.分類變量
為了表述方便,我們經常會使用一種特殊的隨機變量,以區別不同的現象或性質,
這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數表示.
2.列聯表與獨立性檢驗
(1)2×2列聯表
①2×2列聯表給出了成對分類變量數據的__________________.
　交叉分類頻數　
②定義一對分類變量X和Y,我們整理數據如表所示:
X Y 合計
Y=0 Y=1 X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計 a+c b+d n=a+b+c+d
像這種形式的數據統計表稱為2×2列聯表.
(2)獨立性檢驗
①定義:利用χ2的取值推斷分類變量X和Y______________的方法稱為χ2獨立性檢
驗,讀作“卡方獨立性檢驗”.簡稱獨立性檢驗.
②χ2=,其中n=a+b+c+d.
(3)獨立性檢驗解決實際問題的主要環節
①提出零假設H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.
②根據抽樣數據整理出2×2列聯表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.
③根據檢驗規則得出推斷結論.
④在X和Y不獨立的情況下,根據需要,通過比較相應的頻率,分析X和Y間的影響
規律.
　微思考 χ2值越大,說明分類變量x與y獨立的可能性是大還是小
提示:χ2值越大,說明分類變量x與y獨立的可能性越大.
　是否獨立　
√
×
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)2×2列聯表中的數據是兩個分類變量的頻數.(　 　)
提示:(1)由2×2列聯表可知,表中的數據是兩個分類變量的頻數,所以(1)正確.
(2)事件A和B的獨立性檢驗無關,即兩個事件互不影響.(　 　)
提示: (2)由獨立性檢驗可知:事件A和B的獨立性檢驗無關,說明事件A和B關聯性
不大,不一定互不影響,所以(2)錯誤.
√
×
(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關的統計量.(　 　)
(4)在2×2列聯表中,若|ad-bc|越小,則說明兩個分類變量之間關系越強.(　 　)
提示: (4)在2×2列聯表中,若|ad-bc|越小,說明卡方值越小,即兩個分類變量之間
關系不強,所以(4)錯誤.
2.(選修第三冊P134練習4改編)某課外興趣小組通過隨機調查,利用2×2列聯表和χ2統計量研究數學成績優秀是否與性別有關.計算得χ2=6.748,經查閱臨界值表知P(χ2≥6.635)=0.010,則下列判斷正確的是(　　)
A.每100個數學成績優秀的人中就會有1名是女生
B.若某人數學成績優秀,那么他為男生的概率是0.010
C.有99%的把握認為“數學成績優秀與性別無關”
D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數學成績優秀與性別有關”
【解析】選D.因為χ2=6.748≥6.635,所以有99%的把握認為“數學成績優秀與性別有關”,即在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數學成績優秀與性別有關”.所以ABC錯誤.
3.(選修第三冊P133例4改編)在研究吸煙是否對患肺癌有影響的案例中,通過對列聯表的數據進行處理,計算得到隨機變量χ2≈56.632.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,下面說法正確的是(　　)
A.因為隨機變量χ2>10.828=x0.001,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不超過0.001
B.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不低于0.001
C.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不超過0.001
D.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不低于0.001
【解析】選A.由題意知,通過對列聯表的數據進行處理,計算得到隨機變量χ2≈56.632>10.828=x0.001,
所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為“吸煙與患肺癌有關系”.
4.(不理解獨立性檢驗方法)已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在檢驗喜歡
某項體育運動與性別是否有關的過程中,某研究員搜集數據并計算得到χ2=7.235,
則根據小概率值α=　　　　的χ2獨立性檢驗,分析喜歡該項體育運動與性別有
關.
【解析】因為6.635<7.235<10.828,所以根據小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,分
析喜歡該項體育運動與性別有關.
0.01
核心考點·分類突破
考點一分類變量與列聯表
[例1](1)為考察某種藥物對預防禽流感的效果,在四個不同的實驗室取相同的個體進行動物試驗,根據四個實驗室得到的列聯表畫出如下四個等高堆積條形圖,最能體現該藥物對預防禽流感有效果的圖形是(　　)
【解析】選D.在等高堆積條形圖中,與相差很大時,我們認為兩個分類變量有關系,在四個選項中(等高的條形圖中),選項D中不服藥樣本中患病的頻率與服藥樣本中患病的頻率相差最大.
(2)如表是2×2列聯表,則表中a,b的值分別為(　　)
項目 y1 y2 合計
x1 a 8 35
x2 11 34 45
合計 b 42 80
A.27,38 B.28,38 C.27,37 D.28,37
【解析】選A.a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.
解題技法
比較幾個分類變量有關聯的可能性大小的方法
(1)通過計算χ2的大小判斷:χ2越大,兩變量有關聯的可能性越大.
(2)通過計算|ad-bc|的大小判斷:|ad-bc|越大,兩變量有關聯的可能性越大.
(3)通過計算與的大小判斷:相差越大,兩變量有關聯的可能性越大.
對點訓練
1.(2023·莆田模擬)為考察A,B兩種藥物對預防某疾病的效果,進行動物試驗,分別得到如下等高堆積條形圖,根據圖中信息,在下列各項中,說法最佳的一項是(　　)
A.藥物B的預防效果優于藥物A的預防效果
B.藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果
C.藥物A,B對該疾病均有顯著的預防效果
D.藥物A,B對該疾病均沒有預防效果
【解析】選B.根據題干中兩個等高堆積條形圖知,藥物A試驗顯示不服藥與服藥時患病差異較藥物B試驗顯示明顯大,所以藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果.
2.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關,對本班48人進行了問卷調查,得到了如下的2×2列聯表:
性別 打籃球 合計
喜愛 不喜愛 男生 6
女生 10
合計 48
已知在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為.請將上面的2×2列聯表補充完整.
【解析】在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為,故喜愛打籃球的學生共有48×=32(人),因為喜愛打籃球的女生有10人,故喜愛打籃球的男生有22人,結合題意可知不喜愛打籃球的女生有48-32-6=10(人).列聯表補充如下:
性別 打籃球 合計
喜愛 不喜愛 男生 22 6 28
女生 10 10 20
合計 32 16 48
考點二列聯表與獨立性檢驗
[例2](2022·全國甲卷改編)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯表:
公司 準點情況 準點班次數 未準點班次數
A 240 20
B 210 30
(1)根據上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率;
【解析】(1)根據題中表格數據,A共有班次260次,準點班次有240次,
設A公司長途客車準點事件為M,
則P(M)==;
B共有班次240次,準點班次有210次,
設B公司長途客車準點事件為N,
則P(N)==.
所以A公司長途客車準點的概率為,
B公司長途客車準點的概率為.
考點二列聯表與獨立性檢驗
[例2](2022·全國甲卷改編)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯表:
公司 準點情況 準點班次數 未準點班次數
A 240 20
B 210 30
(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關
附:χ2=,
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
【解析】(2)列聯表
公司 準點情況 合計
準點班次數 未準點班次數 A 240 20 260
B 210 30 240
合計 450 50 500
χ2==≈3.205>2.706,
根據臨界值表可知,有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.
解題技法
獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據樣本數據制成2×2列聯表.
(2)根據公式χ2=計算χ2的值.
(3)比較χ2與臨界值xα的大小關系,作統計推斷.
對點訓練
為了減少自身消費的碳排放,“綠色消費”等綠色生活方式漸成風尚.為獲得不同年齡段的人對“綠色消費”意義的認知情況,某地研究機構將“90后與00后”作為A組,將“70后與80后”作為B組,并從A,B兩組中各隨機選取了100人進行問卷調查,整理數據后獲得如下列聯表:(單位:人)
年齡段 認知情況 合計
知曉 不知曉 A組(90后與00后) 75 25 100
B組(70后與80后) 45 55 100
合計 120 80 200
(1)若從樣本內知曉“綠色消費”意義的120人中用比例分配的分層隨機抽樣方法隨機抽取16人,問:應在A組、B組中各抽取多少人
【解析】(1)由題意知,在A組中抽取的人數為16×=10.在B組中抽取的人數為16×=6.
對點訓練
為了減少自身消費的碳排放,“綠色消費”等綠色生活方式漸成風尚.為獲得不同年齡段的人對“綠色消費”意義的認知情況,某地研究機構將“90后與00后”作為A組,將“70后與80后”作為B組,并從A,B兩組中各隨機選取了100人進行問卷調查,整理數據后獲得如下列聯表:(單位:人)
年齡段 認知情況 合計
知曉 不知曉 A組(90后與00后) 75 25 100
B組(70后與80后) 45 55 100
合計 120 80 200
(2)能否依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析對“綠色消費”意義的認知情況與年齡有關
【解析】(2)零假設為H0:對“綠色消費”意義的認知情況與年齡無關.
由題意,得χ2==18.75>10.828=x0.001,故依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為對“綠色消費”意義的認知情況與年齡有關.
考點三獨立性檢驗的綜合應用
[例3](2023·福州模擬)甲、乙兩所學校高三年級分別有1 000人,1 100人,為了了解兩所學校全體高三年級學生數學測試情況,采用分層隨機抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績,并作出了如下的頻數分布統計表,規定考試成績在[120,150]內為優秀.
分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)
甲校頻數 1 2 9 8
乙校頻數 2 3 10 15
1 分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
甲校頻數 10 10 x 3
乙校頻數 15 y 3 1
(1)計算x,y的值;
【解析】(1)由題可知,采用分層隨機抽樣共抽取105人,1 000∶1 100=10∶11,所以甲校抽取105×=50(人),乙校抽取105×=55(人),
故1+2+9+8+10+10+x+3=50,解得x=7,
2+3+10+15+15+y+3+1=55,解得y=6;
考點三獨立性檢驗的綜合應用
[例3](2023·福州模擬)甲、乙兩所學校高三年級分別有1 000人,1 100人,為了了解兩所學校全體高三年級學生數學測試情況,采用分層隨機抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績,并作出了如下的頻數分布統計表,規定考試成績在[120,150]內為優秀.
(2)由以上統計數據填寫下面2×2列聯表,依據小概率值α=0.025的獨立性檢驗,能否認為兩個學校的數學成績有差異 (注:x0.025=5.024)
數學成績 學校 合計
甲校 乙校 優秀
非優秀
合計
分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)
甲校頻數 1 2 9 8
乙校頻數 2 3 10 15
1 分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
甲校頻數 10 10 x 3
乙校頻數 15 y 3 1
【解析】(2)由頻數分布表可得2×2列聯表為
零假設H0:兩個學校的數學成績無差異,
所以χ2=≈6.109>5.024=α0.025,
依據小概率值α=0.025的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為兩個學校的數學成績有差異.
數學成績 學校 合計
甲校 乙校 優秀 20 10 30
非優秀 30 45 75
合計 50 55 105
解題技法
獨立性檢驗解題策略
(1)分清分類變量是什么;
(2)計算χ2時注意運算順序、運算技巧的應用;
(3)注意與其他統計知識的交匯運用.
對點訓練
第五代移動通信技術簡稱5G或5G技術,是最新一代蜂窩移動通信技術,也是繼4G系統之后的延伸.為了了解市民對A,B運營商的5G通信服務的評價,分別從A,B運營商的用戶中隨機抽取100名用戶對其進行測評,已知測評得分在70分以上的為優秀,測評結果如下:
A運營商的100名用戶的測評得分
得分 [40,50] (50,60] (60,70]
頻率 0.18 0.23 0.3
得分 (70,80] (80,90] (90,100]
頻率 0.24 0.03 0.02
B運營商的100名用戶的測評得分
(1)根據頻率分布直方圖,分別求出B運營商的100名用戶的測評得分的中位數和均值(同一組中的數據以該組區間的中點值為代表);
【解析】(1)由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分在區間[40,70]的頻率為(0.008+0.016+0.026)×10=0.5,
故B運營商測評得分的中位數為70;
由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分的均值為45×0.08+55×0.16+65×
0.26+75×0.3+85×0.16+95×0.04=69.2.
(2)填寫下面列聯表,依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,推斷測評得分優秀是否與運營商有關.(x0.01=6.635)
運營商 測評得分 合計
優秀 非優秀 A
B
合計
【解析】(2)零假設H0:測評得分優秀與運營商無關.
由題中頻率分布表可知A運營商測評得分優秀的有100×(0.24+0.03+0.02)=29(個),
非優秀的有100×(0.18+0.23+0.3)=71(個),
由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分優秀的有(0.03+0.016+0.004)×
10×100=50(個),非優秀的有(0.008+0.016+0.026)×10×100=50(個),
則可得列聯表如下:
運營商 測評得分 合計
優秀 非優秀 A 29 71 100
B 50 50 100
合計 79 121 200
則χ2=≈9.227,
因為9.227>6.635=x0.01,所以依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,
即認為測評得分優秀與運營商有關.
謝謝觀賞！！2025年高考數學一輪復習-10.4-列聯表與獨立性檢驗
【課標解讀】
【課程標準】
1.通過實例,理解2×2列聯表的統計意義.
2.通過實例,了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用.
【核心素養】
數學抽象、數據分析、數學運算.
【命題說明】
考向 考法 高考命題常以現實生活為載體,考查分類變量與列聯表、獨立性檢驗;獨立性檢驗是高考熱點,常以解答題的形式出現.
預測 估計2025年高考仍會在獨立檢驗上出題.
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.分類變量
為了表述方便,我們經常會使用一種特殊的隨機變量,以區別不同的現象或性質,這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數表示.
2.列聯表與獨立性檢驗
(1)2×2列聯表
①2×2列聯表給出了成對分類變量數據的　交叉分類頻數　.
②定義一對分類變量X和Y,我們整理數據如表所示:
X Y 合計
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計 a+c b+d n=a+b+c+d
像這種形式的數據統計表稱為2×2列聯表.
(2)獨立性檢驗
①定義:利用χ2的取值推斷分類變量X和Y　是否獨立　的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”.簡稱獨立性檢驗.
②χ2=,其中n=a+b+c+d.
(3)獨立性檢驗解決實際問題的主要環節
①提出零假設H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.
②根據抽樣數據整理出2×2列聯表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.
③根據檢驗規則得出推斷結論.
④在X和Y不獨立的情況下,根據需要,通過比較相應的頻率,分析X和Y間的影響規律.
　微思考χ2值越大,說明分類變量x與y獨立的可能性是大還是小
提示:χ2值越大,說明分類變量x與y獨立的可能性越大.
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯
題號 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)2×2列聯表中的數據是兩個分類變量的頻數.(　 √　)
提示:(1)由2×2列聯表可知,表中的數據是兩個分類變量的頻數,所以(1)正確.
(2)事件A和B的獨立性檢驗無關,即兩個事件互不影響.(　 ×　)
提示: (2)由獨立性檢驗可知:事件A和B的獨立性檢驗無關,說明事件A和B關聯性不大,不一定互不影響,所以(2)錯誤.
(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關的統計量.(　 √　)
(4)在2×2列聯表中,若|ad-bc|越小,則說明兩個分類變量之間關系越強.(　 ×　)
提示: (4)在2×2列聯表中,若|ad-bc|越小,說明卡方值越小,即兩個分類變量之間關系不強,所以(4)錯誤.
2.(選修第三冊P134練習4改編)某課外興趣小組通過隨機調查,利用2×2列聯表和χ2統計量研究數學成績優秀是否與性別有關.計算得χ2=6.748,經查閱臨界值表知P(χ2≥6.635)=0.010,則下列判斷正確的是(　　)
A.每100個數學成績優秀的人中就會有1名是女生
B.若某人數學成績優秀,那么他為男生的概率是0.010
C.有99%的把握認為“數學成績優秀與性別無關”
D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數學成績優秀與性別有關”
【解析】選D.因為χ2=6.748≥6.635,所以有99%的把握認為“數學成績優秀與性別有關”,即在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數學成績優秀與性別有關”.所以ABC錯誤.
3.(選修第三冊P133例4改編)在研究吸煙是否對患肺癌有影響的案例中,通過對列聯表的數據進行處理,計算得到隨機變量χ2≈56.632.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,下面說法正確的是(　　)
A.因為隨機變量χ2>10.828=x0.001,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不超過0.001
B.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不低于0.001
C.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不超過0.001
D.因為隨機變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關系”,并且這個結論犯錯誤的概率不低于0.001
【解析】選A.由題意知,通過對列聯表的數據進行處理,計算得到隨機變量χ2≈56.632>10.828=x0.001,
所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為“吸煙與患肺癌有關系”.
4.(不理解獨立性檢驗方法)已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關的過程中,某研究員搜集數據并計算得到χ2=7.235,則根據小概率值α=　　　　的χ2獨立性檢驗,分析喜歡該項體育運動與性別有關.
【解析】因為6.635<7.235<10.828,所以根據小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,分析喜歡該項體育運動與性別有關.
答案:0.01
【核心考點·分類突破】
考點一分類變量與列聯表
[例1](1)為考察某種藥物對預防禽流感的效果,在四個不同的實驗室取相同的個體進行動物試驗,根據四個實驗室得到的列聯表畫出如下四個等高堆積條形圖,最能體現該藥物對預防禽流感有效果的圖形是(　　)
【解析】選D.在等高堆積條形圖中,與相差很大時,我們認為兩個分類變量有關系,在四個選項中(等高的條形圖中),選項D中不服藥樣本中患病的頻率與服藥樣本中患病的頻率相差最大.
(2)如表是2×2列聯表,則表中a,b的值分別為(　　)
項目 y1 y2 合計
x1 a 8 35
x2 11 34 45
合計 b 42 80
A.27,38 B.28,38 C.27,37 D.28,37
【解析】選A.a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.
解題技法
比較幾個分類變量有關聯的可能性大小的方法
(1)通過計算χ2的大小判斷:χ2越大,兩變量有關聯的可能性越大.
(2)通過計算|ad-bc|的大小判斷:|ad-bc|越大,兩變量有關聯的可能性越大.
(3)通過計算與的大小判斷:相差越大,兩變量有關聯的可能性越大.
對點訓練
1.(2023·莆田模擬)為考察A,B兩種藥物對預防某疾病的效果,進行動物試驗,分別得到如下等高堆積條形圖,根據圖中信息,在下列各項中,說法最佳的一項是(　　)
A.藥物B的預防效果優于藥物A的預防效果
B.藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果
C.藥物A,B對該疾病均有顯著的預防效果
D.藥物A,B對該疾病均沒有預防效果
【解析】選B.根據題干中兩個等高堆積條形圖知,藥物A試驗顯示不服藥與服藥時患病差異較藥物B試驗顯示明顯大,所以藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果.
2.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關,對本班48人進行了問卷調查,得到了如下的2×2列聯表:
性別 打籃球 合計
喜愛 不喜愛
男生 6
女生 10
合計 48
已知在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為.請將上面的2×2列聯表補充完整.
【解析】在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為,故喜愛打籃球的學生共有48×=32(人),因為喜愛打籃球的女生有10人,故喜愛打籃球的男生有22人,結合題意可知不喜愛打籃球的女生有48-32-6=10(人).列聯表補充如下:
性別 打籃球 合計
喜愛 不喜愛
男生 22 6 28
女生 10 10 20
合計 32 16 48
考點二列聯表與獨立性檢驗
[例2](2022·全國甲卷改編)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯表:
公司 準點情況
準點班次數 未準點班次數
A 240 20
B 210 30
(1)根據上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率;
【解析】(1)根據題中表格數據,A共有班次260次,準點班次有240次,
設A公司長途客車準點事件為M,
則P(M)==;
B共有班次240次,準點班次有210次,
設B公司長途客車準點事件為N,
則P(N)==.
所以A公司長途客車準點的概率為,
B公司長途客車準點的概率為.
(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關
附:χ2=,
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
【解析】(2)列聯表
公司 準點情況 合計
準點班次數 未準點班次數
A 240 20 260
B 210 30 240
合計 450 50 500
χ2==≈3.205>2.706,
根據臨界值表可知,有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.
解題技法
獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據樣本數據制成2×2列聯表.
(2)根據公式χ2=計算χ2的值.
(3)比較χ2與臨界值xα的大小關系,作統計推斷.
對點訓練
為了減少自身消費的碳排放,“綠色消費”等綠色生活方式漸成風尚.為獲得不同年齡段的人對“綠色消費”意義的認知情況,某地研究機構將“90后與00后”作為A組,將“70后與80后”作為B組,并從A,B兩組中各隨機選取了100人進行問卷調查,整理數據后獲得如下列聯表:(單位:人)
年齡段 認知情況 合計
知曉 不知曉
A組(90后與00后) 75 25 100
B組(70后與80后) 45 55 100
合計 120 80 200
(1)若從樣本內知曉“綠色消費”意義的120人中用比例分配的分層隨機抽樣方法隨機抽取16人,問:應在A組、B組中各抽取多少人
【解析】(1)由題意知,在A組中抽取的人數為16×=10.在B組中抽取的人數為16×=6.
(2)能否依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析對“綠色消費”意義的認知情況與年齡有關
【解析】(2)零假設為H0:對“綠色消費”意義的認知情況與年齡無關.
由題意,得χ2==18.75>10.828=x0.001,故依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為對“綠色消費”意義的認知情況與年齡有關.
考點三獨立性檢驗的綜合應用
[例3](2023·福州模擬)甲、乙兩所學校高三年級分別有1 000人,1 100人,為了了解兩所學校全體高三年級學生數學測試情況,采用分層隨機抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績,并作出了如下的頻數分布統計表,規定考試成績在[120,150]內為優秀.
分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)
甲校頻數 1 2 9 8
乙校頻數 2 3 10 15
分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
甲校頻數 10 10 x 3
乙校頻數 15 y 3 1
(1)計算x,y的值;
【解析】(1)由題可知,采用分層隨機抽樣共抽取105人,1 000∶1 100=10∶11,所以甲校抽取105×=50(人),乙校抽取105×=55(人),
故1+2+9+8+10+10+x+3=50,解得x=7,
2+3+10+15+15+y+3+1=55,解得y=6;
(2)由以上統計數據填寫下面2×2列聯表,依據小概率值α=0.025的獨立性檢驗,能否認為兩個學校的數學成績有差異 (注:x0.025=5.024)
數學成績 學校 合計
甲校 乙校
優秀
非優秀
合計
【解析】(2)由頻數分布表可得2×2列聯表為
數學成績 學校 合計
甲校 乙校
優秀 20 10 30
非優秀 30 45 75
合計 50 55 105
零假設H0:兩個學校的數學成績無差異,
所以χ2=≈6.109>5.024=α0.025,
依據小概率值α=0.025的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為兩個學校的數學成績有差異.
解題技法
獨立性檢驗解題策略
(1)分清分類變量是什么;
(2)計算χ2時注意運算順序、運算技巧的應用;
(3)注意與其他統計知識的交匯運用.
對點訓練
第五代移動通信技術簡稱5G或5G技術,是最新一代蜂窩移動通信技術,也是繼4G系統之后的延伸.為了了解市民對A,B運營商的5G通信服務的評價,分別從A,B運營商的用戶中隨機抽取100名用戶對其進行測評,已知測評得分在70分以上的為優秀,測評結果如下:
A運營商的100名用戶的測評得分
得分 [40,50] (50,60] (60,70]
頻率 0.18 0.23 0.3
得分 (70,80] (80,90] (90,100]
頻率 0.24 0.03 0.02
B運營商的100名用戶的測評得分
(1)根據頻率分布直方圖,分別求出B運營商的100名用戶的測評得分的中位數和均值(同一組中的數據以該組區間的中點值為代表);
【解析】(1)由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分在區間[40,70]的頻率為(0.008+0.016+0.026)×10=0.5,
故B運營商測評得分的中位數為70;
由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分的均值為45×0.08+55×0.16+65×0.26+75×0.3+85×0.16+95×0.04=69.2.
(2)填寫下面列聯表,依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,推斷測評得分優秀是否與運營商有關.(x0.01=6.635)
運營商 測評得分 合計
優秀 非優秀
A
B
合計
【解析】(2)零假設H0:測評得分優秀與運營商無關.
由題中頻率分布表可知A運營商測評得分優秀的有100×(0.24+0.03+0.02)=29(個),
非優秀的有100×(0.18+0.23+0.3)=71(個),
由題中頻率分布直方圖可知B運營商測評得分優秀的有(0.03+0.016+0.004)×10×100=50(個),非優秀的有(0.008+0.016+0.026)×10×100=50(個),
則可得列聯表如下:
運營商 測評得分 合計
優秀 非優秀
A 29 71 100
B 50 50 100
合計 79 121 200
則χ2=≈9.227,
因為9.227>6.635=x0.01,所以依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,
即認為測評得分優秀與運營商有關.

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