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第七章
隨機變量及其分布
7．2　離散型隨機變量及其分布列
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●2025年高考數學一輪復習-7.2-離散型隨機變量及其分布列
學習目標　1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義.2.了解隨機變量與函數的區(qū)別與聯系.
3.掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質.4.理解兩點分布．
知識點一　隨機變量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω都有唯一的實數X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量．
2．表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如x，y，z.
3．特征：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應，隨機變量有如下特征：
(1)取值依賴于樣本點．
(2)所有可能取值是明確的．
知識點二　離散型隨機變量
可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量．
知識點三　離散型隨機變量的分布列及其性質
1．定義：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．
2．分布列的性質
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
知識點四　兩點分布
如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列為
X 0 1
P 1－p p
我們稱X服從兩點分布或0－1分布．
思考　隨機變量X只取兩個值，該分布是兩點分布嗎？
答案　不一定，如果X只取0和1，則是兩點分布，否則不是．
1．離散型隨機變量的取值是任意的實數．(　×　)
2．隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．(　√　)
3．離散型隨機變量是指某一區(qū)間內的任意值．(　×　)
4．手機電池的使用壽命X是離散型隨機變量．(　×　)
一、隨機變量的概念及分類
例1　下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？并說明理由．
(1)某機場一年中每天運送乘客的數量；
(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數；
(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數；
(4)一瓶果汁的容量為500±2 mL.
解　(1)某機場一年中每天運送乘客的數量可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量．
(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量．
(3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量．
(4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之間波動，是隨機變量，但不是離散型隨機變量．
反思感悟　判斷離散型隨機變量的方法
(1)明確隨機試驗的所有可能結果；
(2)將隨機試驗的結果數量化；
(3)確定試驗結果所對應的實數是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．
跟蹤訓練1　指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由．
(1)從10張已編好號碼的卡片(1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數；
(2)一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數；
(3)某林場的樹木最高達30 m，則此林場中樹木的高度；
(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差．
解　(1)只要取出一張，便有一個號碼，因此被取出的卡片號數可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義．
(2)從10個球中取3個球，所得的結果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球；3個黑球，即其結果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義．
(3)林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0,30]內的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量．
(4)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量．
二、求離散型隨機變量的分布列
例2　一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球．
(1)求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率；
(2)用X表示摸出的2個球中的白球個數，求X的分布列．
解　一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球，有C＝10(種)情況．
(1)設摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的事件為A，
P(A)＝＝，
即摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率為.
(2)用X表示摸出的2個球中的白球個數，X的所有可能取值為0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列為
X 0 1 2
P
反思感悟　求離散型隨機變量的分布列關鍵有三點
(1)隨機變量的取值．
(2)每一個取值所對應的概率．
(3)用所有概率之和是否為1來檢驗．
跟蹤訓練2　袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球為止，求取球次數X的分布列．
解　X的可能取值為1,2,3,4,5，
則第1次取到白球的概率為P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率為P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率為P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率為P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率為P(X＝5)＝＝，
所以X的分布列為
X 1 2 3 4 5
P
三、分布列的性質及應用
例3　設隨機變量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常數a的值；
(2)求P.
解　由題意，所給分布列為
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性質得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
方法二　P＝1－P＝1－＝.
延伸探究
本例條件不變，求P.
解　∵∴P＝P＋P
＋P＝＋＋＝.
反思感悟　分布列的性質及其應用
(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數．
(2)求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據分布列，將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式．
跟蹤訓練3　若離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
試求出離散型隨機變量X的分布列．
解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.
檢驗：當c＝時，9c2－c＝9×2－＝>0，
3－8c＝3－＝>0；
當c＝時，9c2－c＝9×2－>1，
3－8c＝3－<0(不適合，舍去)．故c＝.
故所求分布列為
X 0 1
P
1．下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C.
X 1 2 3
P －
D.
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
答案　C
解析　C項中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特點，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特點．
所以C項不是隨機變量的分布列．
2．(多選)下列變量中，不是離散型隨機變量的是(　　)
A．到2020年5月1日止，我國被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數
B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高
C．某人在車站等出租車的時間
D．某人投籃10次，可能投中的次數
答案　ABC
3．設離散型隨機變量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
則p的值為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性質可知p＝1－－－＝.
4．已知X，Y均為離散型隨機變量，且X＝2Y，若X的所有可能取值為0,2,4，則Y的所有可能取值為________．
答案　0,1,2
解析　由題意Y＝X且X∈{0,2,4}，
得Y∈{0,1,2}．
5．若隨機變量X服從兩點分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝________.
答案　0.8
解析　因為Y＝3X－2，所以當Y＝－2時，X＝0，
所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.
1．知識清單：
(1)隨機變量的概念、特征．
(2)離散型隨機變量的概念．
(3)離散型隨機變量的分布列的概念及其性質．
(4)兩點分布．
2．方法歸納：轉化化歸．
3．常見誤區(qū)：隨機變量的取值不明確導致分布列求解錯誤．
1．(多選)下面是離散型隨機變量的是(　　)
A．某機場候機室中一天的游客數量X
B．某外賣員一天內收到的點餐次數X
C．某水文站觀察到一天中長江的最高水位X
D．某立交橋一天經過的車輛數X
答案　ABD
解析　ABD中隨機變量X所有可能取的值我們都可以按一定次序一一列出，因此它們都是離散型隨機變量，C中X可以取某一區(qū)間內的一切值，無法一一列出，故不是離散型隨機變量．
2．設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若隨機變量Y＝X－2，則P(Y＝2)等于(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
答案　A
解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
3．某人進行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗結果是(　　)
A．第5次擊中目標
B．第5次未擊中目標
C．前4次均未擊中目標
D．第4次擊中目標
答案　C
解析　ξ＝5表示前4次均未擊中目標，故選C.
4．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ描述一次試驗的成功次數，則P(ξ＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
答案　B
解析　設P(ξ＝1)＝p，則P(ξ＝0)＝1－p.依題意知，p＝2(1－p)，解得p＝.故p(ξ＝0)＝1－p＝.
5．離散型隨機變量X的分布列中部分數據丟失，丟失數據以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
則P等于(　　)
A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55
答案　B
解析　根據分布列的性質，知隨機變量的所有取值的概率之和為1，可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
6．一用戶在打電話時忘記了最后3個號碼，只記得最后3個數兩兩不同，且都大于5.于是他隨機撥最后3個數(兩兩不同)，設他撥到正確號碼所用的次數為X，隨機變量X的可能值有________個．
答案　24
解析　后3個數是從6,7,8,9四個數中取3個組成的，共有A＝24(個)．
7．設隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝________.
答案　0.1　10
解析　由題意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
8．把3個骰子全部擲出，設出現6點的骰子個數是X，則P(X<2)＝________.
答案　
解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝.
9．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數為ξ.
(1)列表說明可能出現的結果與對應的ξ的值；
(2)若規(guī)定抽取3個球中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結果都加上6分．求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機變量類型．
解　(1)
ξ 0 1 2 3
結果 取得3個黑球 取得1個白球，2個黑球 取得2個白球，1個黑球 取得3個白球
(2)由題意可得η＝5ξ＋6，
而ξ可能的取值為0,1,2,3，
所以η對應的各值是
5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值為6,11,16,21，顯然η為離散型隨機變量．
10．從含有2名女生的10名大學畢業(yè)生中任選3人進行某項調研活動，記女生入選的人數為ξ，求ξ的分布列．
解　ξ的所有可能取值為0,1,2，“ξ＝0”表示入選3人全是男生，則P(ξ＝0)＝＝，
“ξ＝1”表示入選3人中恰有1名女生，
則P(ξ＝1)＝＝，
“ξ＝2”表示入選3人中有2名女生，
則P(ξ＝2)＝＝.
因此ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
11．已知隨機變量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
則P(X＝10)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.
12．一木箱中裝有8個同樣大小的籃球，編號為1,2,3,4,5,6,7,8，現從中隨機取出3個籃球，以ξ表示取出的籃球的最大號碼，則ξ＝8表示的試驗結果數為(　　)
A．18 B．21 C．24 D．10
答案　B
解析　ξ＝8表示3個籃球中一個編號是8，另外兩個從剩余7個號中選2個，有C種方法，即21種．
13．(多選)已知隨機變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數列，則(　　)
X －1 0 1
P a b c
A.a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
答案　BD
解析　∵a，b，c成等差數列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性質得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.
14．若隨機變量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P a b
則a2＋b2的最小值為________．
答案　
解析　由分布列的性質，知a＋b＝，而a2＋b2≥＝(當且僅當a＝b＝時等號成立)．
15．已知隨機變量ξ只能取三個值x1，x2，x3，其概率依次成等差數列，則該等差數列公差的取值范圍是(　　)
A. B.
C．[－3,3] D．[0,1]
答案　B
解析　設隨機變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝，
由解得－≤d≤.
16．設S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數m，n∈S.
(1)設“使得m＋n＝0成立的有序數組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；
(2)設ξ＝m2，求ξ的分布列．
解　(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 4 9
P

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