資源簡介

(共32張PPT)
必備知識·逐點夯實
第五節　橢圓第1課時　橢圓的定義及標準方程
第九章　直線與圓、圓錐曲線
核心考點·分類突破
【課標解讀】
【課程標準】
1.掌握橢圓的定義及標準方程.
2.會利用待定系數法確定橢圓的標準方程.
【核心素養】
數學運算、直觀想象、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 橢圓是歷年高考的重點內容,其中求橢圓的標準方程時常出現在解
答題的第一問中.
預測 預計2025年高考求橢圓的標準方程、直線與橢圓的交匯問題仍會
出題,一般以解答題出現,求橢圓的離心率,考查比較靈活,一般以選擇
題、填空題的形式出現.
必備知識·逐點夯實
知識梳理·歸納
1.橢圓的定義
把平面內與兩個定點F1,F2的距離的和等于______(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.
這兩個定點叫做橢圓的______,兩焦點間的距離叫做橢圓的______.
微點撥
(1)當|PF1|+|PF2|=|F1F2|時,動點P的軌跡為線段F1F2.
(2)當|PF1|+|PF2|<|F1F2|時,動點P不存在,無軌跡.
常數
焦點
焦距
2.橢圓的標準方程
(1)焦點在x軸上:+=1(a>b>0).
(2)焦點在y軸上:+=1(a>b>0).
微思考 如何判斷點P(x0,y0)與橢圓+=1的位置關系
提示:當+<1時,點P在橢圓內;當+=1時,點P在橢圓上;
當+>1時,點P在橢圓外.
微點撥
(1)橢圓的標準方程中
焦點在x軸上 標準方程中x2項的分母較大;
焦點在y軸上 標準方程中y2項的分母較大.
(2) a,b,c的關系:a2=b2+c2
常用結論
橢圓上的點P(x0,y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形.如圖所示,
設∠F1PF2=θ.
(1)當P為短軸端點時,θ最大,最大.
(2)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.
(4)|PF1|·|PF2|≤()2=a2.
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦點三角形的周長為2(a+c).
基礎診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內到F1,F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓.
(　 　)
提示:(1)因為2a=|F1F2|=8,動點的軌跡是線段F1F2,不是橢圓;
×
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內到F1,F2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓.
(　 　)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,動點不存在,因此軌跡不存在;
(3)平面內到點F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1,F2的距離之和的
點的軌跡是橢圓.(　 　)
提示:(3)由于2a=|MF1|+|MF2|>|F1F2|,符合橢圓的定義;
(4)平面內到點F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點的軌跡是一條直線.(　 　)
提示:(4)平面內到點F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
×
√
√
2.(選擇性必修第一冊P109練習T3變條件)已知橢圓C:+=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1作直線交橢圓C于A,B兩點,則△ABF2的周長為(　　)
A.10　 B.15　 C.20　 D.25
【解析】選C.由題意橢圓的長軸長為2a=2=10,
由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,
所以△ABF2的周長是20.
3.(2023·全國甲卷)設F1,F2為橢圓C:+y2=1的兩個焦點,點P在C上,若·=0,則|PF1|·|PF2|=(　　)
A.1　 B. 2　 C. 4　 D. 5
【解析】選B.方法一:因為·=0,所以∠F1PF2=90°,
從而=b2tan 45°=1=×|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=2.
方法二:因為·=0,所以∠F1PF2=90°,由橢圓方程可知,c2=5-1=4 c=2,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,
又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得:|PF1|2++2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2.
4.(忽略隱含條件)若方程+=1表示橢圓,則k的取值范圍是____________.
【解析】由已知得解得3(3,4)∪(4,5)
核心考點·分類突破
考點一 橢圓的定義及應用
教考銜接 類題串串聯
題號 類題說明
(1) 源自教材第108頁例2.此題可知一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓
(2) 源自教材第108頁例3.此題給出橢圓的另一種定義方式
(3) 源自教材第113頁例6.此題給出橢圓的另一種定義方式
[例1](1)如圖,在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在
圓上運動時,則線段PD的中點M的軌跡方程為______________.
【解析】(1)設點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x0,y0),
則點D的坐標為(x0,0),由點M是線段PD的中點,得x=x0,y=.
因為點P (x0,y0)在圓x2+y2=4上,
所以+=4　①
把x0=x,y0=2y代入方程①,得
x2+4y2=4,即+y2=1.
+y2=1
(2)如圖,設A,B兩點的坐標分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點 M,且它們的斜率
之積是-,則點M的軌跡方程為______________.
【解析】(2)設點M的坐標為(x,y),因為點A的坐標是(-5,0),
所以直線AM的斜率為kAM=(x≠-5),
同理,直線BM的斜率為kBM=(x≠5),
由已知,有·=-(x≠±5),
化簡,得點M的軌跡方程為+=1(x≠±5).
+=1(x≠±5)
(3)動點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和M到定直線l:x=的距離的比是常數,則動點M
的軌跡方程為___________.
【解析】(3)設d是點M到直線l:x=的距離,
根據題意,動點M的軌跡就是集合P=.
由此得,=.
將上式兩邊平方,并化簡,得9x2+25y2=225,即+=1.
+=1
解題技法
(1)在圓x2+y2=a2(a>0)上取一點 P(不取x軸上的點),過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD上的點M滿足=(a>b>0) ,則動點M的軌跡是橢圓(除去左、右兩個端點).
(2)設A,B兩點的坐標分別為(-a,0),(a,0)(a>0).直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是-1(a>c>0) ,則動點M的軌跡是橢圓(除去左、右兩個端點).
(3)動點M(x,y)與定點F(c,0)(c>0)的距離和M到定直線l:x=(a>c)的距離的比是常數,則動點M的軌跡是橢圓.
對點訓練
1.(2024·麗江模擬)一動圓P與圓A:(x+1)2+y2=1外切,而與圓B:(x-1)2+y2=64內切,那么動圓的圓心P的軌跡是(　　)
A.橢圓　 B.雙曲線
C.拋物線　 D.雙曲線的一支
【解析】選A.設動圓P的半徑為r,又圓A:(x+1)2+y2=1的半徑為1,
圓B:(x-1)2+y2=64的半徑為8,則|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
則動圓的圓心P的軌跡是以A,B為焦點,長軸長為9的橢圓.
2.已知橢圓C:+=1的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1的直線l與橢圓C的一個交點為A,若|AF2|=4,則△AF1F2的面積為(　　)
A.2　 B.　 C.4　 D.
【解析】選D.橢圓C:+=1中,|F1F2|=2=4,
由|AF2|=4及橢圓定義得|AF1|=2,
因此△AF1F2為等腰三角形,底邊上的高h===,
所以=|AF1|·h=.
考點二 橢圓的標準方程
考情提示
高考對橢圓方程的考查常以解答題的形式出現,有關橢圓的幾何性質的求解也常以選擇題和填空題的形式出現.
角度1 定義法
[例2]已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.動圓M在圓C1內部且和圓C1相內切,和圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程是(　　)
A.-=1　 B.+=1
C.-=1　 D.+=1
【解析】選D.設動圓的圓心M(x,y),半徑為r,
圓M與圓C1:(x-4)2+y2=169內切,與圓C2:(x+4)2+y2=9外切,
所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由橢圓的定義,M的軌跡是以C1,C2為焦點,長軸長為16的橢圓,則a=8,c=4,所以b2=82-42=48,動圓圓心M的軌跡方程為+=1.
角度2 待定系數法
[例3]已知橢圓的中心在原點,以坐標軸為對稱軸,且經過兩點(-,),(,-),則橢圓
的方程為__________.
【解析】設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
由解得
所以橢圓的方程為+=1.
+=1
解題技法
根據條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法:根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義.
(2)待定系數法:根據題目所給的條件確定橢圓中的a,b.若焦點位置不確定,可設方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系數法求出m,n的值即可.
對點訓練
1.(2024·濰坊模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1(-1,0),F2(1,0),且過
點P(1,),則橢圓的標準方程為__________.
【解析】由題知:c=1,①
又橢圓經過點P(1,),所以+=1,②
又a2-b2=c2,③
聯立解得:a2=4,b2=3,故橢圓的標準方程為:+=1.
+=1
2.動圓M過定點A(-3,0),且內切于定圓B:(x-3)2+y2=100,動圓圓心M的軌跡方程為
__________.
【解析】由圓B方程知其圓心為B(3,0),
半徑r1=10.設圓M半徑為r2,則|MA|=r2,
由題意可知|MB|=r1-r2=10-r2,即|MA|+|MB|=10,
又|AB|=6,所以|MA|+|MB|>|AB|.
所以動圓圓心M的軌跡是以A,B為焦點且a=5,
c=3的橢圓,所以b2=a2-c2=16.
所以動圓圓心M的軌跡方程為+=1.
+=1
【加練備選】
　　1.F,A分別為橢圓的一個焦點和頂點,O為坐標原點,若橢圓的長軸長是6,且cos∠OFA=,則橢圓的標準方程為(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】選D.當焦點在x軸上時,cos∠OFA====,因為2a=6,
所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以橢圓方程為+=1;
同理,當焦點在y軸上時,橢圓方程為+=1.
2.已知點P為橢圓+=1上的任意一點,O為原點,M滿足=,則點M的軌跡
方程為__________.
【解析】設點M(x,y),
由=得點P(2x,2y),而點P為橢圓+=1上的任意一點,
于是得+=1,整理得:+=1,
所以點M的軌跡方程是+=1.
+=1
謝謝觀賞！！2025年高考數學一輪復習-9.5.1-橢圓的定義及標準方程
【課程標準】
1.掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.
2.通過橢圓與方程的學習,進一步體會數形結合的思想.
3.了解橢圓的簡單應用.
　　　　　　　第1課時　橢圓的定義、標準方程及其幾何性質
【必備知識 精歸納】
1.橢圓的定義
滿足下列兩個條件:
(1)在同一個平面內動點P和兩個定點F1,F2;
(2)|PF1|+|PF2|為定值,且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,動點P的軌跡為橢圓.
點睛(1)當|PF1|+|PF2|=|F1F2|時,動點P的軌跡為線段F1F2.
(2)當|PF1|+|PF2|<|F1F2|時,動點P不存在,無軌跡.
2.橢圓的標準方程和幾何性質
標準 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
圖形
范圍 x∈[-a,a], y∈[-b,b] x∈[-b,b], y∈[-a,a]
對稱性 對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
離心 率 e=,且e∈(0,1)
a,b,c 的關系 c2=a2-b2
點睛(1)橢圓焦點位置與x2,y2的系數有關.
(2)離心率表示橢圓的扁平程度,e越接近0,橢圓越圓;e越接近1,橢圓越扁平.
【常用結論】
1.已知過焦點F1的弦AB,則△ABF2的周長為4a.
2.過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦長為.
3.橢圓離心率e=.
4.若P是橢圓+=1(a>b>0)上的點,F1,F2為焦點,若∠F1PF2=θ,則△F1PF2的面積為b2tan.
5.設M(x0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)上的任意一點,橢圓的焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是離心率).
|MF1|max=a+c,|MF1|min=a-c.
【基礎小題 固根基】
教材改編 結論應用 易錯易混
1,2,4 3,5 6
1.(教材變式)點P為橢圓4x2+y2=16上一點,F1,F2為該橢圓的兩個焦點,若=3,則= (　　)
A.13 B.1 C.7 D.5
【解析】選D.橢圓方程為+=1,
由橢圓定義可知,+=2a=8,
又|PF1|=3,故=5.
2.(教材變式)橢圓+=1的長半軸長a= (　　)
A.11 B.7 C.5 D.2
【解析】選C.由橢圓標準方程知,長半軸長a=5.
3.(結論1)橢圓C:+=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓C于A,B兩點,則△F1AB的周長為 (　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
【解析】選C.△F1AB的周長為|F1A|+|F1B|+|AB|=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a.
因為在橢圓+=1中,a2=25,即a=5,
所以△F1AB的周長為4a=20.
4.(教材提升)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,P是橢圓上一點,+=10,且離心率為,則橢圓C的標準方程為 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】選B.根據橢圓定義可得
+=2a=10,所以a=5,
由離心率e==,所以c=,
所以b2=a2-c2=25-5=20,
所以橢圓C的標準方程為+=1.
5.(結論3)已知橢圓C:+y2=λ(λ>0),則該橢圓的離心率e= (　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.e====.
6.(忽略隱含條件)若方程+=1表示橢圓,則k的取值范圍是　　　　　.
【解析】由已知得
解得3答案:(3,4)∪(4,5)
題型一 橢圓定義的應用
[典例1](1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是橢圓C:+=1的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
【解析】選C.設M(x,y),則|MF1|·|MF2|==9-x2≤9,當x=0時取等號,故所求最大值為9.
(2)已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點M在橢圓上,若|MF1|=4,則∠F1MF2= (　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】選C.由題意,橢圓方程+=1,
可得a=3,b=,c==,
所以焦點F1(-,0),F2(,0),
又由橢圓的定義,可得+=2a=6,
因為|MF1|=4,所以=2,
在△F1MF2中,由余弦定理可得=
+-2cos∠F1MF2,
所以=42+22-2×4×2cos∠F1MF2,
解得cos∠F1MF2=-,
又由∠F1MF2∈(0,π),所以∠F1MF2=120°.
【方法提煉】
　橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓定義的應用主要有:求橢圓的標準方程,求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.
(2)通常定義和余弦定理結合使用,求解關于焦點三角形的周長和面積問題.
【對點訓練】
1.已知F1(0,-),F2(0,)分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點,橢圓C上的一點P滿足·=0,且sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,則a的值為 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.
【解析】選A.由·=0,得PF1⊥PF2,
由正弦定理得=.
又sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,則PF1=2PF2,
所以橢圓C的離心率
e=====.
又c=,所以a=3.
2.(2023·濱州模擬) 短軸長為2,離心率e=的橢圓的兩焦點為F1,F2,過F1作直線交橢圓于A,B兩點,則△ABF2的周長為　　　　.
【解析】因為短軸長為2,離心率e=,
所以b=,e==,
又a2=b2+c2,解得a=3,
所以△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=12.
答案:12
【加練備選】
　　(多選題)已知橢圓C:+=1的左、右焦點分別為F,E,直線x=m(-1A.橢圓C的離心率為
B.存在m,使△FAB為直角三角形
C.存在m,使△FAB的周長最大
D.當m=0時,四邊形FBEA的面積最大
【解析】選BD.如圖,
　對于A,由橢圓方程可得,a=2,b=,則c=1,橢圓C的離心率為e=,故錯誤;
對于B,當m=0時,可以得出∠AFE=,
當m=1時,得tan∠AFE=<1=tan,
根據橢圓的對稱性可知存在m,
使△FAB為直角三角形,故正確;
對于C,由橢圓的定義得,
△FAB的周長為|AB|+|AF|+|BF|
=4a+|AB|-|AE|-|BE|,
因為|AE|+|BE|≥|AB|,
所以|AB|-|AE|-|BE|≤0,
當AB過點E時取等號,
所以|AB|+|AF|+|BF|
=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a,
即直線x=m過橢圓的右焦點E時,
△FAB的周長最大,
此時直線AB的方程為x=m=1,
但是-1使△FAB的周長最大,故錯誤;
對于D,|FE|為定值2,
根據橢圓的對稱性可知,
當m=0時,|AB|最大,
則四邊形FBEA的面積最大,故正確.
題型二　橢圓的標準方程
角度1　定義法求橢圓的標準方程
[典例2](1)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周長是18,則頂點C的軌跡方程是 (　　)
A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
【解析】選A.由|AC|+|BC|=18-8=10>8知,頂點C的軌跡是以A,B為焦點的橢圓(A,B,C不共線).設其方程為+=1(a>b>0),則a=5,c=4,從而b=3.由A,B,C不共線知y≠0.故頂點C的軌跡方程是+=1(y≠0).
(2)已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.動圓M在圓C1內部且和圓C1相內切,和圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程是 (　　)
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
【解析】選D.設動圓的圓心M(x,y),半徑為r.因為圓M與圓C1:(x-4)2+y2=169內切,與C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由橢圓的定義,點M的軌跡是以C1,C2為焦點,長軸長為16的橢圓,則a=8,c=4,所以b2=82-42=48,
所以動圓的圓心M的軌跡方程為+=1.
角度2　待定系數法求橢圓的方程
[典例3]過點(,-),且與橢圓+=1有相同焦點的橢圓的標準方程為　　　　.
【解析】方法一:(待定系數法)設所求橢圓方程為+=1(k<9),將點(,-)的坐標代入可得+=1,
解得k=5(k=21舍去),所以所求橢圓的標準方程為+=1.
方法二:(定義法)橢圓+=1的焦點為(0,-4),(0,4),即c=4.
由橢圓的定義知,2a=+,解得a=2.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求橢圓的標準方程為+=1.
答案: +=1
【一題多變】
　本例改為:已知橢圓的中心在原點,以坐標軸為對稱軸,且經過兩點(-,),(,-),則橢圓的方程為　　　　　　　.
【解析】設橢圓的方程為
mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
由解得
所以橢圓的方程為+=1.
答案:+=1.
【方法提煉】——自主完善,老師指導
根據條件求橢圓方程的主要方法
　(1)定義法:根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義.
(2)待定系數法:根據題目所給的條件確定橢圓中的a,b.若焦點位置不確定,可設方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系數法求出m,n的值即可.
(3)橢圓系方程:①與+=1共焦點的橢圓系為+=1(k②與+=1有共同的離心率的橢圓系為+=λ或+=λ(λ>0).
【對點訓練】
1.已知F1,F2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線l交橢圓C于A,B兩點.若△AF2B是邊長為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】選B.如圖所示,因為△ABF2是邊長為4的等邊三角形,
所以|AF2|=4,|AF1|=|AB|=2,
所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3.
又因為|F1F2|=2c==2,
所以c=,則b2=a2-c2=6,
故橢圓C的方程為+=1.
2.(多選題)點F1,F2為橢圓C的兩個焦點,若橢圓C上存在點P,使得∠F1PF2=90°,則橢圓C的方程可以是 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】選AC.設橢圓方程為+=1,
設橢圓上頂點為B,橢圓C上存在點P,
使得∠F1PF2=90°,則需∠F1BF2≥90°,
所以+≤,
即a2+a2≤4c2,因為c2=a2-b2,
所以2a2≤4a2-4b2,
則a2≥2b2,所以選項AC滿足.
3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),其關于直線y=bx的對稱點Q在橢圓上,則離心率e=　　　　,S△F O Q=　　　　.
【解析】設點Q(x,y),則由點Q與橢圓的右焦點
F(1,0)關于直線y=bx對稱得
解得代入橢圓C的方程得
+=1,
結合a2=b2+1,解得
則橢圓的離心率e==,
S△F O Q=|OF|·||=×1×=.
答案:　
4.已知A,B是圓C:+y2=8上一動點,線段AB的垂直平分線交BC于P,則動點P的軌跡方程為　　　　　　.
【解析】如圖所示,圓C:+y2=8的圓心坐標為C(1,0),半徑r==2,
因為P是線段AB的垂直平分線上的點,
所以=,
則+==2>2,
根據橢圓的定義可知,
點P的軌跡為以A,C為焦點的橢圓,
其中a=,c=1,則有b==1,
故點P的軌跡方程為+y2=1.
答案:+y2=1
【加練備選】
　　已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,過F2的直線l交C于A,B兩點.若△AF1B的周長為4,則橢圓C的方程為 (　　)
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
【解析】選A.若△AF1B的周長為4,
由橢圓的定義可知,4a=4,所以a=.
因為e==,所以c=1,
所以b2=2,所以橢圓C的方程為+=1.
題型三 橢圓的幾何性質
角度1　橢圓的離心率
[典例4](1)2022年10月7日21時10分,中國太原衛星發射中心在黃海海域使用長征十一號海射運載火箭,采用“一箭雙星”方式,成功將微厘空間北斗低軌導航增強系統S5/S6試驗衛星發射升空,衛星順利進入預定軌道,發射任務獲得圓滿成功,其中的“地球同步轉移軌道”是一個橢圓軌道,長軸長為2天文單位,其左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c,點P在橢圓上且滿足|OP|=|OF1|=|OF2|=c,直線PF2與橢圓交于另一個點Q,若cos∠F1QF2=,則地球同步轉移軌道的離心率為 (　　)
A. B. C. D.
【解析】選B.因為|OP|=|OF1|=|OF2|=c,
所以PF1⊥PF2,
因為cos∠F1QF2=,設|PQ|=4m,|F1Q|=5m,
則|PF1|=3m,又|PQ|+|F1Q|+|PF1|=4a,
即12m=4,即3m=,
則|PF1|=,|PF2|=2-=,
則|F1F2|=2,即c=1,即e==.
(2)(2021·全國乙卷)設B是橢圓C:+=1(a>b>0)的上頂點,若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b,則C的離心率的取值范圍是 (　　)
A.[,1] B.[,1]
C.(0,] D.(0,]
【解析】選C.B點坐標為(0,b),
設P(x0,y0),因為+=1,a2=b2+c2,
所以|PB|2=+(y0-b)2=a2(1-)+(y0-b)2=-(y0+)2++a2+b2,
因為-b≤y0≤b,所以當-≤-b,
即b2≥c2時,|PB=4b2,
即|PB|max=2b,
符合題意,由b2≥c2可得a2≥2c2,
即0-b,即b2|PB=+a2+b2≤4b2,化簡得|c2-b2|≤0,顯然不成立.
角度2　與橢圓有關的最值(范圍)問題
[典例5](1)(2023·廣州模擬)已知P為橢圓+=1(a>b>0)上一動點,F1,F2分別為該橢圓的左、右焦點,B為短軸一端點,如果|PB|長度的最大值為2b,則使△PF1F2為直角三角形的點P共有 (　　)
A.8個 B.4個或6個
C.6個或8個 D.4個或8個
【解析】選B.當F1為直角頂點時,根據橢圓的對稱性,可得滿足的點P有2個;
當F2為直角頂點時,根據橢圓的對稱性,可得滿足的點P有2個;
因為B為短軸一端點,令B(0,b),|PB|長度的最大值為2b,
橢圓+=1(a>b>0),所以說明橢圓與圓x2+(y-b)2=4b2有且僅有下頂點這唯一交點,
設P(x0,y0),所以|PB|≤2b ,即|PB|2≤4b2,
所以+≤4b2 ,
因為+=1,
所以=a2（1-）代入+≤4b2中得,（1-）-2by0+a2-3b2≤0,
因為-b≤y0≤b,所以y0+b≥0,
所以(y0+b)≤0,
所以（）y0+≤0,
因為<0,將y0=-b代入（）y0+≤0得,（）(-b)+≤0,
所以≤0,所以a2≤2b2,
所以b2+c2≤2b2即c≤b ,
當c=b 時,P 為下頂點,此時∠F1PF2 最大為直角,根據對稱滿足的點P有2個,
當c所以使△PF1F2為直角三角形的點P共有4個或6個.
(2)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,長軸長為4,點P(,1)在橢圓內部,則橢圓C的離心率的取值范圍是　　　　.
【解析】由題意可知,a=2,
所以橢圓的標準方程為+=1,
因為點P(,1)在橢圓內部,所以+<1,
可得b2>2,又b2所以e2=1-=1-∈,
所以橢圓C的離心率的取值范圍是.
答案:
【方法提煉】
1.求解橢圓離心率或離心率范圍的常用方法
(1)根據橢圓方程直接求解出a,c的值,從而求解出離心率;
(2)根據已知條件構造關于a,c的齊次方程,求解出的值,從而求解出離心率;
(3)根據橢圓和幾何圖形的幾何性質構建關于e的等式或不等式,從而求解出離心率或離心率的范圍.
2.求解與橢圓有關的范圍、最值問題的常用思路
(1)充分利用橢圓的幾何性質,結合圖形進行分析.
(2)注意利用橢圓的范圍如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0(3)列出所求目標的解析式,構造函數利用單調性,或者利用基本不等式求最值或范圍.
【對點訓練】
1.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,上頂點為M,傾斜角為的直線過點,直線上存在一點N滿足=,則橢圓離心率的最小值為 (　　)
A. B. C. D.
【解析】選C.由=可得
·=0,M(0,b),F1(-c,0).
設N,則+=+(c,b)=,
=-,m-b,所以由·=0,
可得·=0,整理得+(m+b)(m-b)=0,
即-2a2-b2=-m2≤0,
設橢圓的離心率為e,則e4-3e2+1≤0,
解得≤e≤.
又因為0所以橢圓的離心率的最小值為.
2.(多選題)(2023·海口模擬)已知a,b,c分別是橢圓E的長半軸長、短半軸長和半焦距長,若關于x的方程ax2+2bx+c=0有實根,則橢圓E的離心率e可能是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】選AB.由題意有Δ=4b2-4ac≥0,
由b2=a2-c2,可得a2-c2-ac≥0,
故e2+e-1≤0,解得≤e≤,
而03.(2023·汕尾模擬)已知F1,F2分別是橢圓C:+=1的左、右兩個焦點,若橢圓C上存在四個不同的點P,使得△PF1F2的面積為,則正實數m的取值范圍為　　　　　.
【解析】當點P在橢圓C上運動時,0<≤×2c×b,
故只需×2c×b>,即×2×>,
m2-6m+5=(m-1)(m-5)<0,解得:1答案:(1,5)
【加練備選】
　　(多選題)(2022·鹽城模擬)若橢圓C:+=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,則下列b的值,能使以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點的有 (　　)
A.b= B.b=
C.b=2 D.b=
【解析】選ABC.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,因為圓x2+y2=c2與橢圓C有公共點,所以c2≥b2,即9-b2≥b2,所以b2≤,
即04.2022年12月4日20時09分,神舟十四號返回艙成功著陸,返回艙是航天員返回地球的座艙,返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”.如圖,在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點,半圓所在的圓過橢圓的焦點F(0,2),橢圓的短軸與半圓的直徑重合,下半圓與y軸交于點G.若過原點O的直線與上半橢圓交于點A,與下半圓交于點B,則下列說法正確的有 　　　　.(填序號)
①橢圓的長軸長為4;
②線段AB長度的取值范圍是[4,2+2];
③△ABF面積的最小值是4;
④△AFG的周長為4+4.
【解析】由題知,橢圓中的幾何量b=c=2,
所以a==2,
則2a=4,故①正確;
因為|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,
由橢圓性質可知2≤|OA|≤2,
所以4≤|AB|≤2+2,故②正確;
記∠AOF=θ,則
S△ABF=S△AOF+S△OBF=OA·OFsin θ+OB·OFsin(π-θ)=OAsin θ+2sin θ=(OA+2)sin θ,
取θ=,則S△ABF=1+OA≤1+×2<4,故③錯誤;
由橢圓定義知,|AF|+|AG|=2a=4,
所以C△AFG=|FG|+4=4+4,故④正確.
答案:①②④
【思維導圖·構網絡】

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