資源簡介

1.2 集合間的基本關系
【人教A版2019】
·模塊一 集合的子集
·模塊二 集合相等與空集
·模塊三 集合間關系的性質
·模塊四 課后作業(yè)
1．子集的概念
定義 一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集
記法
與讀法 記作(或)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)
圖示 或
結論 (1)任何一個集合是它本身的子集，即；
(2)對于集合A,B,C，若，且，則
2．真子集的概念
定義 如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集
記法 記作(或)
圖示
結論 (1)且，則；
(2)，且，則
【注】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)對于集合A，B，C，若AB，BC，則AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，則AB.
【考點1 子集、真子集的確定】
【例1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合的一個真子集可以為（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·陜西西安·模擬預測）在下列集合中，是其真子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1.1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·模擬預測）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，則等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【變式1.2】（23-24高一·全國·假期作業(yè)）已知集合，則下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
【考點2 集合的子集（真子集）的個數(shù)問題】
【例2.1】（23-24高三下·四川成都·階段練習）已知集合，則集合的子集個數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例2.2】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7個真子集，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，則滿足 的集合的個數(shù)為（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【變式2.2】（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個數(shù)是（ ）個．
A．16 B．15 C．14 D．13
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A B且B A，則A＝B.
2．空集的概念
(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.
3．Venn圖的優(yōu)點及其表示
(1)優(yōu)點：形象直觀.
(2)表示：通常用封閉曲線的內部表示集合.
【考點1 集合相等問題】
【例1.1】（2022·遼寧·二模）已知集合，則與集合相等的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【例1.2】（23-24高二上·云南大理·期末）設集合，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（23-24高一上·上海奉賢·階段練習）設所示有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相同的集合有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③
【變式1.2】（23-24高一上·全國·期末）已知，，若集合，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【考點2 空集的判斷、性質及應用】
【例2.1】（23-24高一上·江西贛州·階段練習）下列四個集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2.2】（22-23高一上·河南南陽·階段練習）下列四個命題：
①空集沒有子集；②空集是任何一個集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式2.1】（23-24高一上·上海寶山·期中）已知六個關系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關系表達正確的個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2.2】（22-23高一上·天津和平·階段練習）下列四個說法中，正確的有（ ）
①空集沒有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，則；
④任何集合至少有兩個子集．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【考點3 集合關系的Venn圖表示】
【例3.1】（23-24高一上·北京·期末）已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正確表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}關系的韋恩(Venn)圖是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3.1】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn圖能正確表示集合和關系的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3.2】（2024高一·上海·專題練習）已知集合U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}關系的文氏圖是（　?。?br/>A． B．
C． D．
1．集合間關系的性質
(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AA.
(2)對于集合A，B，C，
①若AB，且BC，則AC；
②若AB，B=C，則AC.
(3)若AB，A≠B，則AB.
【考點1 判斷集合間的關系】
【例1.1】（23-24高三下·北京·開學考試）已知集合，，則可以為（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設集合，則下列選項中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（22-23高一上·湖南株洲·開學考試）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．A與B關系不確定
【變式1.2】（22-23高一上·河南鄭州·階段練習）若，，，則這三個集合間的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【考點2 根據(jù)集合的關系求參數(shù)】
【例2.1】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.
【例2.2】（22-23高一上·江蘇鹽城·階段練習）已知集合，，
(1)若集合，求實數(shù)的值；
(2)若集合，求實數(shù)的取值范圍.
【變式2.1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合．
(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，，求實數(shù)的取值范圍．
【變式2.2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合，.
（1）若集合，，求的值；
（2）是否存在實數(shù)，使得 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
一、單選題
1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一個子集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）設集合，則下列表述正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高一上·上海黃浦·階段練習）下列表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（23-24高一上·重慶長壽·期末）下列命題中，正確的個數(shù)有（ ）
①；②；③著名的運動健兒能構成集合；④；⑤ ；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知空集，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·寧夏·一模）已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．15
7．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
二、多選題
9．（2024高一上·全國·專題練習）關于下圖說法正確的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
10．（23-24高一上·廣東佛山·期中）已知集合，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C．中有個元素 D．有個真子集
三、填空題
11．（23-24高一上·四川內江·期末）已知集合，則的非空子集的個數(shù)是．
12．（2024高一上·全國·專題練習）設集合，集合，若且，則實數(shù).
四、解答題
13．（22-23高一·全國·隨堂練習）判斷下列各組中兩個集合之間的關系：
(1)與是的正因數(shù)；
(2)與．
14．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設集合
(1)若，試判斷集合與的關系；
(2)若 ，求的值組成的集合．
15．（23-24高一上·福建泉州·階段練習）已知集合.
(1)寫出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù);
(3)猜想:含n個元素的集合的所有子集的個數(shù)是多少 真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢
16．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合．
(1)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．
(2)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．
(3)若為常數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
【考點1 子集、真子集的確定】
【例1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合的一個真子集可以為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由真子集的定義對選項一一判斷即可得出答案.
【解答過程】，故A錯誤；
，故B錯誤；
因為是集合的子集，但不是真子集，故D錯誤；
是集合的真子集，故C正確.
故選：C.
【例1.2】（2023·陜西西安·模擬預測）在下列集合中，是其真子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)真子集定義判斷已知集合與各項集合的包含關系即可.
【解答過程】是自身的子集，A錯；
、與沒有包含關系，B、D錯；
，C對；
故選：C.
【變式1.1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·模擬預測）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，則等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【解題思路】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【解答過程】解：集合的非空子集有、、，
所以，
解得.
故選：D.
【變式1.2】（23-24高一·全國·假期作業(yè)）已知集合，則下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)真子集的定義一一判斷即可.
【解答過程】對A，兩集合相等，故A選項不是集合A的真子集，
對B，由真子集定義知，是集合A的真子集，
C和D選項的集合里含有不屬于集合A的元素，故C,D錯誤，
故選：B.
【考點2 集合的子集（真子集）的個數(shù)問題】
【例2.1】（23-24高三下·四川成都·階段練習）已知集合，則集合的子集個數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】計算出集合的元素后可得其子集的個數(shù).
【解答過程】，故其子集的個數(shù)為8，
故選：D.
【例2.2】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7個真子集，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)集合有7個真子集，由集合中包含3個元素求解.
【解答過程】解：因為集合有7個真子集，
所以集合中包含3個元素，
所以，
解得.
故選：A.
【變式2.1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，則滿足 的集合的個數(shù)為（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【解題思路】確定集合的元素，根據(jù)A ，可判斷集合等價于集合的非空子集，由此可得答案.
【解答過程】由題意得，
又A ，所以，所以集合等價于集合的非空子集，
所以集合的個數(shù)為，
故選：B.
【變式2.2】（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個數(shù)是（ ）個．
A．16 B．15 C．14 D．13
【解題思路】
先確定集合有四個元素，則可得其非空子集的個數(shù).
【解答過程】根據(jù)題意，，
則集合的非空子集的個數(shù)是.
故選：B.
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A B且B A，則A＝B.
2．空集的概念
(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.
3．Venn圖的優(yōu)點及其表示
(1)優(yōu)點：形象直觀.
(2)表示：通常用封閉曲線的內部表示集合.
【考點1 集合相等問題】
【例1.1】（2022·遼寧·二模）已知集合，則與集合相等的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出每個選項的集合，即可比較得出.
【解答過程】對A，，故A錯誤；
對B，，故B錯誤；
對C，，故C錯誤；
對D，，故D正確.
故選：D.
【例1.2】（23-24高二上·云南大理·期末）設集合，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)集合即可求解.
【解答過程】由題意知，，
因為，所以，所以B正確.
故選：B.
【變式1.1】（23-24高一上·上海奉賢·階段練習）設所示有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相同的集合有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③
【解題思路】根據(jù)集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案
【解答過程】對于①：集合，則，
解得，即，是一一對于，所以與集合相同.
對于②：集合，則，也是一一對應，所以與集合相同.
對于③：集合，，一一對應，，所以與集合相同.
對于④：，但方程無解，則，與不相同．
故選：D.
【變式1.2】（23-24高一上·全國·期末）已知，，若集合，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得，代入計算，即可得到結果.
【解答過程】因為，
所以，解得或
當時，不滿足集合元素的互異性，
故，，.
故選：B.
【考點2 空集的判斷、性質及應用】
【例2.1】（23-24高一上·江西贛州·階段練習）下列四個集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用空集的定義直接判斷選項是否是空集，即可．
【解答過程】解：，，所以，A不是空集．
，，所以,B不是空集．
，，，；即C是空集．
，，，即，所以；D不是空集．
故選：C．
【例2.2】（22-23高一上·河南南陽·階段練習）下列四個命題：
①空集沒有子集；②空集是任何一個集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據(jù)空集的定義和性質判斷即可.
【解答過程】因為空集是其本身的子集，故①錯誤；空集只有本身一個子集，故②④錯誤；空集沒有元素，而集合{0}含有一個元素0，故③錯誤．故正確命題個數(shù)為0.
故選：A.
【變式2.1】（23-24高一上·上海寶山·期中）已知六個關系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關系表達正確的個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】根據(jù)空集的性質、元素與集合、集合與集合的關系判斷各關系式的正誤.
【解答過程】根據(jù)元素與集合、集合與集合關系：
是的一個元素，故，①正確；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；
沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯誤，⑥正確；
所以①②③④⑥正確.
故選：C.
【變式2.2】（22-23高一上·天津和平·階段練習）下列四個說法中，正確的有（ ）
①空集沒有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，則；
④任何集合至少有兩個子集．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解題思路】根據(jù)空集的性質判斷即可.
【解答過程】①空集是任何集合的子集，所以①錯；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯；
③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③錯；
④空集只有自己本身一個子集，所以④錯.
故選：A.
【考點3 集合關系的Venn圖表示】
【例3.1】（23-24高一上·北京·期末）已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由圖可得，由選項即可判斷.
【解答過程】解：由圖可知：，
，
由選項可知：，
故選：D.
【例3.2】（23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正確表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}關系的韋恩(Venn)圖是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】化簡集合，判斷集合沒有包含關系，即可得出答案.
【解答過程】，集合沒有包含關系
故選：A.
【變式3.1】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn圖能正確表示集合和關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】確定集合，的關系，然后選擇合適的圖象即可.
【解答過程】，又，
所以 ，選項B符合，
故選：B.
【變式3.2】（2024高一·上?！ｎ}練習）已知集合U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}關系的文氏圖是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解題思路】先求得集合，判斷出的關系，由此確定正確選項.
【解答過程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N M，所以選B.
故選：B.
1．集合間關系的性質
(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AA.
(2)對于集合A，B，C，
①若AB，且BC，則AC；
②若AB，B=C，則AC.
(3)若AB，A≠B，則AB.
【考點1 判斷集合間的關系】
【例1.1】（23-24高三下·北京·開學考試）已知集合，，則可以為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)包含關系即可求解.
【解答過程】由，可知：B可以為，
故選：D.
【例1.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設集合，則下列選項中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出，即可得出兩集合之間的關系.
【解答過程】由題意， 在中，，，
∴，∴ ，
故選：B.
【變式1.1】（22-23高一上·湖南株洲·開學考試）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．A與B關系不確定
【解題思路】將集合中的形式通分，再分析集合的包含情況即可.
【解答過程】，因為表示奇數(shù)，表示整數(shù)，故按子集的定義，必有.
故選：A.
【變式1.2】（22-23高一上·河南鄭州·階段練習）若，，，則這三個集合間的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先化簡集合A,B,C,再結合集合的包含關系判斷集合間關系即可.
【解答過程】依題意，，，
，而，{偶數(shù)}，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個元素都是集合中的元素，即，
所以.
故選：C.
【考點2 根據(jù)集合的關系求參數(shù)】
【例2.1】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.
【解題思路】（1）先求出集合，再利用條件，根據(jù)集合與集合間的包含關系，即可求出值；
（2）對集合進行分類討論：和，再利用集合與集合間的包含關系，即可求出的范圍；
【解答過程】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的兩根為或，
利用韋達定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以時，則，即，解得或；
當時，
若B中僅有一個元素，則，即，解得，
當時，，滿足條件；當時，，不滿足條件；
若B中有兩個元素，則，利用韋達定理得到，，解得，滿足條件.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是或或.
【例2.2】（22-23高一上·江蘇鹽城·階段練習）已知集合，，
(1)若集合，求實數(shù)的值；
(2)若集合，求實數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）先化簡集合，然后根據(jù)條件即可確定實數(shù)的值；
（2）由條件集合知，集合中至多有2個元素，對集合中的元素個數(shù)進行分類討論即可.
【解答過程】（1）易知集合，由得： 或，解得：.
（2）（1）當時滿足；
（2）當時
①當即時，滿足，.
②當即時，，不滿足.
③當即時，滿足，只能， 無解.
綜上所述：或.
【變式2.1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合．
(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)題意，由，分類討論當和兩種情況，解不等式即可得出實數(shù)的取值范圍；
（2）根據(jù)題意，由，得出，解不等式即可求實數(shù)的取值范圍．
【解答過程】（1）解：由題可知，，，
①若，則，即；
②若，則，解得：；
綜合①②，得實數(shù)的取值范圍是．
（2）解：已知，，，
則，解得：，
所以實數(shù)的取值范圍是．
【變式2.2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合，.
（1）若集合，，求的值；
（2）是否存在實數(shù)，使得 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）根據(jù)，兩個集合元素相同列方程組，解方程組求得的值，進而求得的值.
（2）根據(jù)是的子集，分別令和，解方程，然后根據(jù)集合元素的性質，判斷出符合題意的不存在.
【解答過程】（1）由題可知所以所以.
（2）假設存在實數(shù)使得，
則或.
若，則，此時沒有意義，舍去.
若，則，化簡得，解得或（舍），
當時，不符合集合中元素的互異性，舍去.
故不存在實數(shù)，使得.
一、單選題
1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一個子集是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先化簡集合，結合選項可得答案.
【解答過程】因為，所以的子集有，；
故選：D.
2．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）設集合，則下列表述正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)元素與集合以及集合子集的定義即可結合選項求解.
【解答過程】,
所以，，，故ABD錯誤,C正確,
故選：C.
3．（22-23高一上·上海黃浦·階段練習）下列表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】根據(jù)集合的概念及相同集合的性質判斷各選項集合是否相同即可.
【解答過程】A：集合中的元素不為同一個點，不是同一集合，故A錯誤；
B、D：集合的元素不同，一個是數(shù)，一個是實數(shù)對，不是同一集合，故BD錯誤；
C：根據(jù)集合元素的無序性，可知集合，即為同一集合，故C正確；
故選：C.
4．（23-24高一上·重慶長壽·期末）下列命題中，正確的個數(shù)有（ ）
①；②；③著名的運動健兒能構成集合；④；⑤ ；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．5
【解題思路】應用集合與集合的包含關系，元素與集合的屬于關系，集合的確定性，無序性，空集的含義及空集與集合的關系即可判斷.
【解答過程】易知，故①正確；
，故②錯誤；
著名的運動健兒，元素不確定，不能構成集合，故③錯誤；
表示有一個元素的集合，不是空集，④錯誤；
空集是任意非空集合的真子集，若為空集，⑤錯誤；
，故，故⑥正確.
故選：B.
5．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知空集，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)二次方程無解等價于判別式小于0計算即可.
【解答過程】由題意，二次方程無解，故，解得.
故選：D.
6．（2024·寧夏·一模）已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．15
【解題思路】先求出集合B，再求真子集個數(shù)即可.
【解答過程】由題意得，
故集合B的真子集個數(shù)為.
故選：B.
7．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關系列式求解即得.
【解答過程】集合，，由，得，
所以的取值范圍是.
故選：A.
8．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解題思路】根據(jù)包含關系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.
【解答過程】因為，
所以可以是，共8個，
故選：D.
二、多選題
9．（2024高一上·全國·專題練習）關于下圖說法正確的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
【解題思路】由圖形可知集合間的包含關系，對選項中的結論進行判斷.
【解答過程】由韋恩圖可得，A B U，且，結合真子集的定義可知，
集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A選項正確；
集合A、B、U中有相同的元素，B選項正確；
集合U中有元素不在集合B中，C選項正確；
集合A、B、U不相等，D選項錯誤.
故選：ABC.
10．（23-24高一上·廣東佛山·期中）已知集合，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C．中有個元素 D．有個真子集
【解題思路】解不等式可求得集合，由集合與元素關系、子集和真子集定義依次判斷各個選項即可.
【解答過程】由得：，又，；
對于A，由知：，A正確；
對于B，，，，B正確；
對于C，由知：中有個元素，C錯誤；
對于D，中有個元素，有個，D錯誤.
故選：AB.
三、填空題
11．（23-24高一上·四川內江·期末）已知集合，則的非空子集的個數(shù)是．
【解題思路】求出集合中元素個數(shù)，再利用子集個數(shù)公式求解.
【解答過程】,
集合中有個元素，
則的非空子集的個數(shù)是.
故答案為：.
12．（2024高一上·全國·專題練習）設集合，集合，若且，則實數(shù)0或或1.
【解題思路】且，關于x的方程的根只能是或，但要注意方程有兩個相等根的條件是.
【解答過程】，且，
或或．
當時，
且，
解得.則；
當時，
且，
解得.則
當時，
有，
解得.則；
所以或或1.
故答案為：0或或1.
四、解答題
13．（22-23高一·全國·隨堂練習）判斷下列各組中兩個集合之間的關系：
(1)與是的正因數(shù)；
(2)與．
【解題思路】
（1）根據(jù)正因數(shù)的定義，結合子集的定義進行判斷即可；
（2）根據(jù)集合元素屬性特征進行判斷即可.
【解答過程】（1）因為是的正因數(shù)，
所以是的正因數(shù)
（2）因為，
所以集合表示的整數(shù)倍數(shù)，
因為，
所以集合表示的偶數(shù)倍數(shù)，
因此.
14．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設集合
(1)若，試判斷集合與的關系；
(2)若 ，求的值組成的集合．
【解題思路】（1）當時求出集合A與B，再判斷關系；
（2）求出集合B，注意對與分類討論，根據(jù)，列方程求解．
【解答過程】（1）
當時，，
所以B是A的真子集．
（2）．
若，則，是真子集成立；
若，則，因為是A真子集，
或，所以或．
所以的值組成的集合．
15．（23-24高一上·福建泉州·階段練習）已知集合.
(1)寫出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù);
(3)猜想:含n個元素的集合的所有子集的個數(shù)是多少 真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢
【解題思路】利用子集、真子集、非空真子集的定義計算即可.
【解答過程】（1）由題意可知，所以其子集為：，真子集為；
（2）由題意可知，
所以其子集為：，共個，
真子集為：，共個，
非空真子集為：，共個；
（3）由（1），（2）可猜想含有n個元素的集合其子集個數(shù)為個，真子集個數(shù)為個，
非空真子集個數(shù)為個.
16．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合．
(1)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．
(2)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．
(3)若為常數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
【解題思路】（1）由集合的包含關系，分和兩種情況，列不等式求實數(shù)m的取值范圍；
（2）由集合的包含關系，列不等式求實數(shù)m的取值范圍；
（3）由集合的相等關系，列方程組求實數(shù)m的值.
【解答過程】（1）①若，滿足，則，解得．
②若，滿足，則解得．
由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為．
（2）若，數(shù)軸表示如下：
依題意有即
此時m的取值范圍是．
（3）假設存在滿足題意的實數(shù)m．若，
則必有且，此時無解，即不存在使得的實數(shù)m．

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