資源簡介

第4講　萬有引力定律　天體運動
素養目標　1.了解開普勒行星運動三定律．(物理觀念) 2.理解行星運動的動力學規律：萬有引力充當向心力．(物理觀念) 3.能夠運用萬有引力定律和圓周運動的知識分析天體運動問題．(科學思維) 4.學會構建雙星、多星運動模型．(科學思維)
一、開普勒行星運動定律
1．開普勒第一定律(軌道定律)
所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．
2．開普勒第二定律(面積定律)
對每一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等．
3．開普勒第三定律(周期定律)
所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等.
直觀 情境 軌道定律 面積定律 周期定律
二、萬有引力定律
1．萬有引力定律
內容 自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比
公式 F＝G
適用條件 (1)兩質點間的作用． (2)可視為質點的物體間的作用． (3)質量分布均勻的球體間的作用
2.引力常量
數值 6.67×10－11 N·m2/kg2
測定人 英國物理學家卡文迪什于1798年利用扭秤測定
物理意義 數值上等于兩個質量都是1 kg的物體相距1 m時的相互引力
測定意義 (1)有力地證明了萬有引力的存在． (2)使定量計算得以實現． (3)開創了測量弱相互作用的新時代
示意圖 P：石英絲　M：平面鏡　O：光源 N：刻度尺　Q：倒立T形架
三、宇宙速度　時空觀
1．三種宇宙速度
第一宇宙速度(環繞速度) v1＝7.9 km/s，是人造衛星在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度
第二宇宙速度(脫離速度) v2＝11.2 km/s，是物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度
第三宇宙速度(逃逸速度) v3＝16.7 km/s，是物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度
直觀 情境
2.經典時空觀
(1)在經典力學中，物體的質量不隨速度的改變而改變．
(2)在經典力學中，同一物理過程發生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是相同的．
3．相對論時空觀
(1)在狹義相對論中，物體的質量隨物體的速度的增大而增大，用公式表示為m＝.
(2)在狹義相對論中，同一物理過程發生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是不同的．
(3)光速不變原理：不管在哪個慣性系中，測得的真空中的光速都是相同的．
1．思維辨析
(1)所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓．( )
(2)行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越近，運行速率越小．( )
(3)德國天文學家開普勒在天文觀測的基礎上提出了行星運動的三條定律．( )
(4)只要知道兩個物體的質量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝G計算物體間的萬有引力．( )
2．北斗衛星導航系統(BDS)是中國自行研制的全球衛星導航系統，該系統由35顆衛星組成，衛星的軌道有三種：地球同步軌道、中軌道和傾斜軌道．其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步衛星與中軌道衛星的周期之比約為(　　)
A. B． C． D．2
3．火星的質量和半徑分別約為地球的和，地球的第一宇宙速度為v，則火星的第一宇宙速度約為　(　　)
A.v B．v C．v D．v
考點　開普勒行星運動定律的理解和應用
1．開普勒定律具有普遍適用性，既適用于行星繞太陽的運動，也適用于月球、衛星繞地球的運動等．
2．由開普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1Δtr1＝v2Δtr2，解得＝，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠日點速度最小．
3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同，因此該定律只能用在同一中心天體的星體之間．
典例1　(多選)如圖所示，兩質量相等的衛星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、Ek、S分別表示衛星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內掃過的面積．下列關系式正確的有(　　)
A．TA>TB B．EkA>EkB
C．SA＝SB D．＝
1．[開普勒第三定律的應用]為了探測引力波，“天琴計劃”預計發射地球衛星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為(　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
2．[開普勒定律的理解和應用]2016年8月16日凌晨，被命名為“墨子號”的中國首顆量子科學實驗衛星開啟星際之旅，其運行軌道為如圖所示的繞地球E運動的橢圓軌道，地球E位于橢圓的一個焦點上．軌道上標記了衛星經過相等時間間隔(Δt＝，T為運轉周期)的位置．如果作用在衛星上的力只有地球E對衛星的萬有引力，則下列說法正確的是(　　)
A．面積S1>S2
B．衛星在軌道A點的速度小于在B點的速度
C．T2＝Ca3，其中C為常數，a為橢圓半長軸
D．T2＝C′b3，其中C′為常數，b為橢圓半短軸
考點　萬有引力的理解與計算
1．萬有引力與重力的關系
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是產生重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示．
2．重力加速度的大小
(1)地球赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)地球兩極上：G＝mg0.
(3)地面一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和．
(4)距離地面高度h處：G＝mg2.
(5)結論：①緯度越高，g值越大；高度越大，g值越小．
②由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即G＝mg.
典例2　(2023·山東卷)牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質，且都滿足F∝.已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據牛頓的猜想，月球繞地球公轉的周期為(　　)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
1．[天體表面重力加速度的計算]火星半徑是地球半徑的，火星質量是地球質量的.已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉的影響．下列說法正確的是(　　)
A．火星表面的重力加速度為g
B．火星表面的重力加速度為g
C．火星的質量為
D．火星的第一宇宙速度為
2．[萬有引力和重力的差異]某類地天體可視為質量分布均勻的球體，由于自轉，其“赤道”表面處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2，若已知自轉周期為T，則該天體的半徑為(　　)
A. B．
C． D．
考點　中心天體質量和密度的計算
1．“自力更生”法(g R)
(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R，由G＝mg得天體質量M＝.
(2)天體密度ρ＝＝＝.
(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式．
2．“借助外援”法(T r)
測出衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r.
(1)由G＝mr得天體的質量M＝.
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝.
(3)若衛星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．
典例3　(2021·全國乙卷)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞．這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎．若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為(　　)
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
1．[天體質量的計算]2021年4月，我國自主研發的空間站天和核心艙成功發射并入軌運行．若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是(　　)
A．核心艙的質量和繞地半徑
B．核心艙的質量和繞地周期
C．核心艙的繞地角速度和繞地周期
D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
2．[利用環繞模型計算中心天體的質量和密度](多選)已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，“嫦娥四號”離月球中心的距離為r，繞月周期為T，則(　　)
A．月球的平均密度為
B．月球的平均密度為
C．“嫦娥四號”繞月運行的角速度為
D．“嫦娥四號”繞月運行的線速度為
課題研究　雙星與多星系統
維度Ⅰ.雙星系統及規律
被相互引力聯系在一起、互相繞轉的兩顆星就叫雙星系統．雙星是繞公共圓心轉動的一對恒星．對于如圖所示的雙星系統，具有以下幾個關系：
(1)各自所需向心力由彼此間的萬有引力提供，即G＝m1ωr1；G＝m2ωr2.
(2)兩顆星的周期及角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
(3)兩顆星的運行軌道半徑與它們之間的距離關系為r1＋r2＝L.
(4)兩顆星到公共圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即＝.
典例1　(多選)在宇宙中，當一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統．在相互繞行的過程中，質量較大的恒星上的物質會逐漸被吸入到質量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是這樣一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，如圖所示．在剛開始吞噬的較短時間內，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時間內，下列說法正確的是(　　)
A．它們間的萬有引力大小變大
B．它們間的萬有引力大小不變
C．恒星做圓周運動的線速度變大
D．恒星做圓周運動的角速度變大
維度Ⅱ.三星及多星模型
情境導圖
運動特點 轉動方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運動半徑相等
受力特點 各星所受萬有引力的合力提供圓周運動的向心力
解題規律 甲：＋＝man； 乙：×cos 30°×2＝man
解題關鍵 乙中r＝
典例2　(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，其中一種三星系統如圖所示．三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則(　　)
A．每顆星做圓周運動的線速度大小為
B．每顆星做圓周運動的角速度為
C．每顆星做圓周運動的周期為2π
D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關
答案及解析
1．思維辨析
(1)所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓．(√)
(2)行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越近，運行速率越小．(×)
(3)德國天文學家開普勒在天文觀測的基礎上提出了行星運動的三條定律．(√)
(4)只要知道兩個物體的質量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝G計算物體間的萬有引力．(×)
2．北斗衛星導航系統(BDS)是中國自行研制的全球衛星導航系統，該系統由35顆衛星組成，衛星的軌道有三種：地球同步軌道、中軌道和傾斜軌道．其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步衛星與中軌道衛星的周期之比約為(　　)
A. B． C． D．2
解析：同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，根據開普勒第三定律 ＝k，得＝3，所以同步衛星與中軌道衛星的周期之比約為，故選項C正確．
答案：C
3．火星的質量和半徑分別約為地球的和，地球的第一宇宙速度為v，則火星的第一宇宙速度約為　(　　)
A.v B．v C．v D．v
解析：由G＝m求得第一宇宙速度v＝，故＝＝，所以v火＝v，故A正確．
答案：A
考點　開普勒行星運動定律的理解和應用
典例1　(多選)如圖所示，兩質量相等的衛星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、Ek、S分別表示衛星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內掃過的面積．下列關系式正確的有(　　)
A．TA>TB B．EkA>EkB
C．SA＝SB D．＝
解析：根據開普勒第三定律＝k知，A、D正確；由G＝m和Ek＝mv2可得Ek＝，因RA>RB，mA＝mB，則EkA1．[開普勒第三定律的應用]為了探測引力波，“天琴計劃”預計發射地球衛星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為(　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
解析：由開普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正確．
答案：C
2．[開普勒定律的理解和應用]2016年8月16日凌晨，被命名為“墨子號”的中國首顆量子科學實驗衛星開啟星際之旅，其運行軌道為如圖所示的繞地球E運動的橢圓軌道，地球E位于橢圓的一個焦點上．軌道上標記了衛星經過相等時間間隔(Δt＝，T為運轉周期)的位置．如果作用在衛星上的力只有地球E對衛星的萬有引力，則下列說法正確的是(　　)
A．面積S1>S2
B．衛星在軌道A點的速度小于在B點的速度
C．T2＝Ca3，其中C為常數，a為橢圓半長軸
D．T2＝C′b3，其中C′為常數，b為橢圓半短軸
解析：根據開普勒第二定律可知，衛星與地球的連線在相等的時間內掃過的面積相等，故面積S1＝S2，選項A錯誤；根據開普勒第二定律可知，衛星在軌道A點的速度大于在B點的速度，選項B錯誤；根據開普勒第三定律可知＝C，其中C為常數，a為橢圓的半長軸，選項C正確，D錯誤．
答案：C
考點　萬有引力的理解與計算
典例2　(2023·山東卷)牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質，且都滿足F∝.已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據牛頓的猜想，月球繞地球公轉的周期為(　　)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
解析：設地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有G＝mg，月球繞地球公轉有G＝m月r，r＝60R，聯立有T＝120π.故選C．
1．[天體表面重力加速度的計算]火星半徑是地球半徑的，火星質量是地球質量的.已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉的影響．下列說法正確的是(　　)
A．火星表面的重力加速度為g
B．火星表面的重力加速度為g
C．火星的質量為
D．火星的第一宇宙速度為
解析：根據題意，設地球表面的物體的質量為m，地球的質量為M，則有G＝mg，解得g＝，同理可得，火星表面的重力加速度為g火＝，由于火星半徑是地球半徑的，火星質量是地球質量的，則有g火＝＝g，A、B錯誤；根據題意，由上述分析得，火星的質量為M火＝＝，C錯誤；根據題意，由萬有引力提供向心力有mg火＝m，可知火星的第一宇宙速度為v火＝＝，D正確．
答案：D
2．[萬有引力和重力的差異]某類地天體可視為質量分布均勻的球體，由于自轉，其“赤道”表面處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2，若已知自轉周期為T，則該天體的半徑為(　　)
A. B．
C． D．
解析：對于處在“極點”處的物體，萬有引力等于重力，則有G＝mg2，對于處在“赤道”處的同一物體，則有G－mg1＝mR，由以上兩式可解得R＝，C正確．
答案：C
考點　中心天體質量和密度的計算
典例3　(2021·全國乙卷)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞．這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎．若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為(　　)
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
解析：設地球的質量為m，地球到太陽的距離為r＝1 AU，地球的公轉周期為T＝1年；由萬有引力提供向心力可得G＝mr，解得M＝；對于S2分析，其受到黑洞的作用，橢圓軌跡半長軸R≈1 000 AU，根據圖中數據結合圖像可以得到S2運動的半周期＝(2002－1994)年＝8年，則周期T′＝16年，根據開普勒第三定律結合萬有引力公式可得M黑＝，其中R為S2的軌道半長軸，因此有M黑＝M，代入數據解得M黑≈4×106M，故B正確，A、C、D錯誤．故選B．
1．[天體質量的計算]2021年4月，我國自主研發的空間站天和核心艙成功發射并入軌運行．若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是(　　)
A．核心艙的質量和繞地半徑
B．核心艙的質量和繞地周期
C．核心艙的繞地角速度和繞地周期
D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
解析：根據萬有引力提供核心艙繞地球做勻速圓周運動的向心力得G＝m，解得M＝，D正確；由于核心艙質量在運算過程中被約掉，故無法通過核心艙質量求解地球質量，A、B錯誤；已知核心艙的繞地角速度，由G＝mω2r得M＝，且ω＝，r約不掉，故還需要知道核心艙的繞地半徑，才能求得地球質量，C錯誤．
答案：D
2．[利用環繞模型計算中心天體的質量和密度](多選)已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，“嫦娥四號”離月球中心的距離為r，繞月周期為T，則(　　)
A．月球的平均密度為
B．月球的平均密度為
C．“嫦娥四號”繞月運行的角速度為
D．“嫦娥四號”繞月運行的線速度為
解析：“嫦娥四號”繞月球飛行，根據萬有引力提供向心力有G＝mr，又根據ρ＝，聯立解得ρ＝，A錯誤，B正確；在月球表面，有G＝mg，“嫦娥四號”繞月球飛行，根據萬有引力提供向心力，則有G＝mω2r＝m，聯立解得ω＝，v＝，C正確，D錯誤．
答案：BC
課題研究　雙星與多星系統
典例1　(多選)在宇宙中，當一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統．在相互繞行的過程中，質量較大的恒星上的物質會逐漸被吸入到質量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是這樣一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，如圖所示．在剛開始吞噬的較短時間內，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時間內，下列說法正確的是(　　)
A．它們間的萬有引力大小變大
B．它們間的萬有引力大小不變
C．恒星做圓周運動的線速度變大
D．恒星做圓周運動的角速度變大
解析：設質量較大的恒星為M1，質量較小的黑洞為M2，則兩者之間的萬有引力為F＝G，由數學知識可知，當M1＝M2時，M1·M2有最大值，根據題意可知質量較小的黑洞M2吞噬質量較大的恒星M1，因此萬有引力變大，故A正確，B錯誤；對于兩天體，萬有引力提供向心力，即G＝M1ω2R1＝M1R1，G＝M2ω2R2＝M2R2，解得兩天體質量表達式為M1＝R2＝R2，M2＝R1＝R1，兩天體總質量表達式為M1＋M2＝＝，兩天體的總質量不變，兩天體之間的距離L不變，因此天體的周期T和角速度ω也不變，質量較小的黑洞M2的質量增大，因此恒星的圓周運動半徑增大，根據v＝可知，恒星的線速度增大，故C正確，D錯誤．
答案：AC
典例2　(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，其中一種三星系統如圖所示．三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則(　　)
A．每顆星做圓周運動的線速度大小為
B．每顆星做圓周運動的角速度為
C．每顆星做圓周運動的周期為2π
D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關
解析：每顆星受到的合力為F＝2Gsin 60°＝G，軌道半徑為r＝R，由向心力公式得F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，顯然加速度a與m有關，故A、B、C正確，D錯誤．
答案：ABC(共48張PPT)
第4講　萬有引力定律　天體運動
第四章　曲線運動　萬有引力與航天
理清教材 強基固本
答案
解析
答案
解析
重難考點 全線突破
解析
答案
解析
答案
解析
解析
答案
解析
答案
解析
解析
答案
解析
答案
解析
課題研究 提升能力
答案
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答案
解析
謝 謝 觀 看
O

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