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（2）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
——2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易混易錯(cuò)專項(xiàng)復(fù)習(xí)
【易混點(diǎn)梳理】
1.如果函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
2.
前提 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足.
條件 （1）對(duì)于任意的，都有； （2）存在，使得. （3）對(duì)于任意的，都有； （2）存在，使得.
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
若函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù)，則，；若函數(shù)在閉區(qū)間上是減函數(shù)，則，.
3.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念及圖象特征：
奇函數(shù) 偶函數(shù)
定義 定義域 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
對(duì)于定義域內(nèi)任意的一個(gè)x
與的關(guān)系 都有 都有
結(jié)論 函數(shù)為奇函數(shù) 函數(shù)為偶函數(shù)
圖象特征 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于y軸對(duì)稱
4.函數(shù)周期性的常用結(jié)論：
若對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有：
（1），則函數(shù)必為周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；
（2），則函數(shù)必為周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；
（3），則函數(shù)必為周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期.
5. 若二次函數(shù)恒滿足，則其圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
6.對(duì)冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，其圖象不過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減.
7.指數(shù)函數(shù)圖象可解決的兩類熱點(diǎn)問題及思路：
（1）求解指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題
對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題（單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等）的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問題得解.
（2）求解指數(shù)型方程、不等式問題
一些指數(shù)型方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.
8.比較對(duì)數(shù)的大小：
（1）若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；
（2）若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較；
（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1，0等中間量進(jìn)行比較.
9.函數(shù)圖象的識(shí)別：
（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
（2）從函數(shù)的單調(diào)性（有時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)判斷），判斷圖象的變化趨勢(shì)；
（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；
（4）從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；
（5）從函數(shù)的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、經(jīng)過的定點(diǎn)、極值點(diǎn)等），排除不合要求的圖象.
10.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：
（1）直接法.令，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
（2）零點(diǎn)存在的判定方法.判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（3）數(shù)形結(jié)合法.轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)）.
11.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的一般步驟為：
（1）轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的情況.
（2）列式：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式.
（3）結(jié)論：求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍.
12.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：
（1）當(dāng)不等式或可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解不等式或求出單調(diào)區(qū)間.
（2）當(dāng)方程可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解方程，求出實(shí)數(shù)根，把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和實(shí)根按從小到大的順序排列起來，把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，確定在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.
（3）不等式或及方程均不可解時(shí)求導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)基本初等函數(shù)，利用其圖象與性質(zhì)確定的符號(hào)，得單調(diào)區(qū)間.
13.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法：
（1）利用集合間的包含關(guān)系處理：在上單調(diào)，則區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.
（2）轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來求解：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”.
（3）可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是（或）在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍.
14.已知函數(shù)求極值：求求方程的根，列表檢驗(yàn)在的根的附近兩側(cè)的符號(hào)，下結(jié)論.
15.求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟：
（1）若所給的閉區(qū)間不含參數(shù)，
①求函數(shù)在內(nèi)的極值；
②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，；
③將函數(shù)的極值與，比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.
（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.
【易錯(cuò)題練習(xí)】
1.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為( ).
A. B. C. D.
2.已知函數(shù).若存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則( )
A. B. C. D.
4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為( )
A. B. C. D.
5.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
6.（多選）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的范圍是( )
A. B. C. D.
7.（多選）中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義：圓O的圓心在原點(diǎn)，若函數(shù)的圖象將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分，則這個(gè)函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”.下列說法正確的有( )
A.對(duì)于圓O，其“太極函數(shù)”只有1個(gè)
B.函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”
C.函數(shù)是圓O的“太極函數(shù)”
D.函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”
8.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為__________.
9.已知，且，函數(shù)若函數(shù)在上的最大值比最小值大，則a的值為___________.
10.已知函數(shù).
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若，求在上的最小值，并判斷方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù).
答案以及解析
1.答案：D
解析：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?
因?yàn)椋裕?
2.答案：C
解析：函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)的圖象與的圖象有2個(gè)交點(diǎn).如圖，平移直線，可以看出當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn).故選C.
3.答案：B
解析：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.，，則，所以，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故選B.
4.答案：B
解析：由題知函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除A，C；，排除D.故選B.
5.答案：A
解析：令，則，所以在R上單調(diào)遞增.
由，得，即，
又在R上單調(diào)遞增，所以，解得，
即不等式的解集為.故選A.
6.答案： B
解析：，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，
所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
于是有，解得.
因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ院愠闪?
，
設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，
故，所以.因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是. 故選：B
7.答案：BD
解析：對(duì)于A選項(xiàng)，圓O的“太極函數(shù)”不止1個(gè)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故為奇函數(shù)，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖所示，可知函數(shù)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，也是奇函數(shù)，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)圖象與圓O只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，，，在上均單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖所示，可知函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故D正確.
故選BD.
8.答案：
解析：由題意，知，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.又，所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即.令解得所以切線恒過定點(diǎn).
9.答案：或
解析：易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，，
，解得.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
.又，，
當(dāng)，即時(shí)，，
，解得.
當(dāng)時(shí)，，
無解.綜上，或.
10.答案：（1）在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增
（2）方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根
解析：（1）若，則.
當(dāng)時(shí)，，
則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，
則，所以在上單調(diào)遞減.
綜上，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
（2）由得，
若，則當(dāng)時(shí)，.
若，則當(dāng)時(shí)，，
，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，.
若，則當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，所以.
綜上，.
令函數(shù)，，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又，，所以在上有1個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
又，所以在上沒有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
又，所以在上沒有零點(diǎn).
綜上，方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根.

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