資源簡介

（3）三角函數與解三角形
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.同角三角函數的基本關系式
（1）平方關系：；（2）商數關系：.
2.誘導公式
函數 角 正弦 余弦 正切
角“”的三角函數的記憶口訣為“奇變偶不變，符號看象限.”
3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
5.降冪公式
（1）；（2）.
6.輔助角公式
，其中.
7.三角函數的單調性
（1）求函數的單調區間應遵循簡單化原則，將解析式進行化簡，并注意復合函數單調性規律“同增異減”.
（2）求形如或（其中）的單調區間時，要視“”為一個整體，通過解不等式求解.但如果，那么一定先借助誘導公式將化為正數.
（3）已知三角函數的單調區間求參數，先求出函數的單調區間，然后利用集合間的關系求解.
8.三角函數的奇偶性
對于，若為奇函數，則；若為偶函數，則.對于，若為奇函數，則；若為偶函數，則.對于，若為奇函數，則.
9.三角函數的周期性
求三角函數的最小正周期，一般先通過恒等變換化為或或（為常數，）的形式，再應用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
10.三角函數的對稱性
函數（為常數，）圖象的對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此在判斷直線或點是不是函數圖象的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗的值進行.
11.三角函數的圖象及其變換
由函數的圖象通過變換得到的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
12.正弦定理：在中，角的對邊分別為，則.
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
13.正弦定理的常見變形：
（1）（邊角互化）.
（2）.其中，為外接圓的半徑.
（3）（邊化角）.
（4）（角化邊）.
14.余弦定理：在中，角的對邊分別為，則
，，.
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
15.余弦定理的推論：，，.
16.三角形的面積公式
（1）（為外接圓的半徑）.
（2），其中為的一邊長，而為該邊上的高的長.
（3），其中分別為的內切圓半徑及的周長.
（4）海倫公式：，其中.
（5），其中.
（6），其中，.
【易錯題練習】
1.已知，，則( )
A. B. C. D.3m
2.已知的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若，，則( )
A. B.3 C.6 D.
3.將函數的圖像向左平移個單位長度后，再把橫坐標縮短為原來的一半，得到函數的圖像.若點是圖像的一個對稱中心，則的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知函數，在區間上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區間( )
A. B. C. D.
5.已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度得函數的圖象，若在上有兩個不同的根，（），則的值為( )
A. B. C. D.
6.（多選）在中，，，，則( )
A. B.
C.的面積為 D.外接圓的直徑是
7.（多選）已知函數的部分圖像如圖所示,令,則下列說法正確的有( )

A.的最小正周期為
B.的對稱軸方程為
C.在上的值域為
D.的單調遞增區間為
8.已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸.若是角終邊上一點，且，則__________
9.已知函數.若在上有解，則實數m的取值范圍是___________；若方程在上有兩個不同的解，則實數m的取值范圍是___________.
10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的外接圓半徑為R，且，.
（1）求的值；
（2）若的面積為，求的周長.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故選A.
2.答案：B
解析：因為，而，所以，則，得.根據余弦定理可得，故.故選B.
3.答案：C
解析：因為，所以將的圖像向左平移個單位長度后，得到函數的圖像，再把所得圖像上點的橫坐標縮短為原來的一半，得到函數的圖像.因為點是圖像的一個對稱中心，所以，，解得，，又，所以的最小值為.故選C.
4.答案：C
解析：當時，因為此時的最小值為，
所以，即.
若，此時能取到最小值，即，
代入可得，滿足要求；
若取不到最小值，則需滿足，即，
在上單調遞減，所以存在唯一符合題意；
所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區間，
故選：C.
5.答案：D
解析：設的最小正周期為T，由圖象可知，，所以，
則，于是，又的圖象過點，
所以，，所以，
又，則，，則，由，
得，則，
又當時，，所以，得，
則，，
結合知，所以，所以.
故選：D.
6.答案：AB
解析：由題意可知，，故A正確；
在中，，由余弦定理得，解得，故B正確；
，故C錯誤；
設外接圓半徑為R，由正弦定理得，故D錯誤.
故選AB.
7.答案：ACD
解析：對于函數,
由圖可知,,
則,
所以,
又,
所以,
解得,,又,
所以;
則,
所以
,
對于A：的最小正周期為,A正確;
對于B：對于,令,,得的對稱軸方程為,B錯誤;
對于C：當時,,所以,
即在上的值域為,C正確;
對于D：令,,解得,,
即的單調遞增區間為,D正確;
故選：ACD.
8.答案：-6
解析：由題設知，即，且，即，且，解得.
9.答案：；
解析：，即，當時，，所以，所以在上的最小值為-1，所以實數m的取值范圍是.方程在上有兩個不同的解，等價于函數，的圖象與直線有兩個交點，函數，的圖象如圖所示，由圖可知，m的取值范圍是.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
結合正弦定理，
得，
化簡得，
故.
又，所以，
因此.
（2）由（1）知，，
則，
由正弦定理得，
令，則，，
則，解得，
因此的周長為.

展開更多......

收起↑