資源簡介

（4）平面向量
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.向量加法的法則：三角形法則和平行四邊形法則.
三角形法則 如圖，已知非零向量a，b，在平面內取任意一點A，作，，則向量叫做a與b的和，記作，即.
平行四邊形法則 已知兩個不共線向量a，b，作，，以，為鄰邊作，則對角線上的向量.
2.對于零向量與任意向量a，有.
3.向量加法的運算律：
交換律：；
結合律：.
4.向量形式的三角不等式：，當且僅當方向相同時等號成立.
5.相反向量：
①定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性質：零向量的相反向量仍是零向量；
和互為相反向量，于是；
若互為相反向量，則，，.
6.向量數乘的定義：規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：，它的長度與方向規定如下：①；②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反.當或時，.
7.向量數乘的運算律：設為任意實數，則有：
①；
②；
③.
特別地，有；.
8.向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量.對于任意向量，以及任意實數，恒有.
9.向量共線（平行）定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使.
10.平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使.
11.基底：若不共線，則把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
12.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
13.平面向量的坐標運算：
設向量，則有下表：
運算 文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
數乘 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標
向量坐標公式 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 已知， 則
14.平面向量共線的坐標表示
（1）設，其中共線的充要條件是存在實數，使.
（2）如果用坐標表示，向量共線的充要條件是.
15.向量的夾角：已知兩個非零向量，如圖，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角.記作.
當時，向量同向；當時，向量垂直，記作；當時，向量反向.
16.平面向量數量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，把數量叫做向量與的數量積（或內積），記作，即.
17.投影向量：如圖，設是兩個非零向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
18.向量數量積的性質：設是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則
（1）；
（2）；
（3）當與同向時，；當與反向時，，特別地，或；
（4）由可得，；
（5）
19.向量數量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數乘結合律：；
（3）分配律：.
20.平面向量數量積的坐標表示：設向量，則.
這就是說，兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.
21.向量模的坐標表示：
（1）若向量，則；
（2）若點，向量，則.
由此可知，向量的模的坐標運算的實質是平面直角坐標系中兩點間的距離的運算.
22.向量夾角的坐標表示：設都是非零向量，，是與的夾角，則.
23.向量垂直的坐標表示：設向量，則.
【易錯題練習】
1.已知，，若，則( )
A.-1 B. C. D.
2.在中，AD為BC邊上的中線，，則( )
A. B.
C. D.
3.向量，，，若，且，則的值為( )
A.2 B. C.3 D.
4.已知中，，，，點D在BC邊上，且，則線段AD的長度為( )
A. B. C. D.
5.已知向量a，b滿足，，且，則( )
A. B. C. D.1
6.已知，，.若P是所在平面內一點，且，則的最大值為( )
A.13 B. C. D.
7.（多選）已知向量，，，則( )
A. B.向量a，b的夾角為
C. D.a在b上的投影向量是
8.（多選）若正方形ABCD中，O為正方形ABCD所在平面內一點，且，，則下列說法正確的是( )
A.可以是平面內任意一個向量
B.若，則O在直線BD上
C.若，，則
D.若，則
9.設D為所在平面內一點，.若，則__________.
10.在中，已知，，，，邊上兩條中線AM，BN相交于點P，則的余弦值為__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因為，，且，所以，即，解得.故選B.
2.答案：A
解析：如圖，因為，所以.由已知可得，所以，
所以.故選A.
3.答案：C
解析：由題意，得，.
因為，所以，解得，
則，即解得故.故選C.
4.答案：D
解析：由題意得，因為，，，所以
，即線段AD的長度為.故選D.
5.答案：B
解析：由，得，所以.將的兩邊同時平方，得，即，解得，所以，故選B.
6.答案：B
解析：以A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，，，
所以，即，
故，，
所以，當且僅當，即時，等號成立.故選B.
7.答案：BD
解析：，，，
，，
，，故A錯誤；
，
又，向量a，b的夾角為，故B正確；
，，故C錯誤；
a在b上的投影向量為，故D正確.故選BD.
8.答案：ABD
解析：對于A，由題意，又，，以為基底的坐標系中，根據平面向量基本定理易知可以是平面內任意一個向量，故A正確；
對于B，由向量共線的推論知，若，則O在直線BD上，故B正確；
對于C，由題設，則，所以，故C錯誤；
對于D，由，則，作E為BC的中點，連接OE，則，即，且，如圖所示，所以，故D正確.故選ABD.
9.答案：-3
解析：因為，所以，即，又，所以，解得.
10.答案：
解析：方法一：如圖，以A為原點，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.
由，，，得，，.由M，N分別為BC，AC的中點，得，，故，，
所以.
方法二：由已知得即為向量與的夾角.
因為M，N分別是BC，AC邊上的中點，所以，.
又因為，
所以
，
，
，
所以.

展開更多......

收起↑