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（6）不等式
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.不等式的性質
性質1 如果，那么；如果，那么.即.
性質2 如果，，那么.即.
性質3 如果，那么.
性質4 如果，，那么；如果，，那么.
性質5 如果，，那么.
性質6 如果，，那么.
性質7 如果，那么.
2.基本不等式
如果，，可得，當且僅當時，等號成立.
3.一元二次不等式的概念
一般地，把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均為常數，.
【易錯題練習】
1.已知表示不超過x的最大整數，則滿足不等式的x的取值范圍為( )
A. B. C. D.
2.已知實數a，b，c，d滿足：，則下列選項中正確的是( )
A. B. C. D.
3.已知不等式對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為( )
A. B.或
C.或 D.
4.若兩個正實數x，y滿足，且不等式有解，則實數m的取值范圍是( )
A. B.或
C. D.或
5.已知，則下列命題中一定成立的是( )
A.若，，則 B.若，則
C.若，，則 D.若，則
6.已知正實數a，b滿足，則的最小值是( )
A.2 B. C. D.
7.（多選）若a，b，，則下列命題正確的是( ).
A.若且，則 B.若，則
C.若，則 D.若且，則
8.（多選）甲、乙、丙三名短跑運動員同時參加了一次100米賽跑，所用時間分別為，，.甲有一半的時間以的速度奔跑，另一半的時間以的速度奔跑，乙全程以的速度奔跑，丙有一半的路程以的速度奔跑，另一半的路程以的速度奔跑.其中，.則下列結論中一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.已知，，且，不等式恒成立，則正實數m的取值范圍是__________.
10.已知不等式的解集是，則不等式的解集是__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因為，所以，所以.
2.答案：B
解析：如取，，，，此時，故A錯誤；，故B正確；如取，，，，此時，，故C，D錯誤.故選B.
3.答案：A
解析：方法一：的最小值為4，所以要使對任意實數x恒成立，只需，解得，故選A.
方法二：不等式對任意實數x恒成立等價于不等式對任意實數x恒成立，所以，解得.
4.答案：D
解析：由兩個正實數x，y滿足，得，則，當且僅當，即時取等號.由不等式有解，得，解得或.
5.答案：B
解析：對于A，取，，，滿足，，但，故A錯誤；
對于B，若，則，所以，故B正確；
對于C，取，，，，滿足，，但，故C錯誤；
對于D，若，則，故D錯誤.故選B.
6.答案：B
解析：因為正實數a，b滿足，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故選B.
7.答案：BC
解析：對于A，取，，則不成立.
對于B，若，則，.
對于C，若，則，，.
對于D，若且，則，，而b可能為0，因此不正確.
8.答案：AC
解析：由題意知，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以，故，當且僅且時等號全部成立.故A正確，B錯誤.又，所以，即C正確；取，，此時，所以D不一定成立，故選AC.
9.答案：
解析：因為，，且，所以，又，所以，設，則，所以.
10.答案：或
解析：因為不等式的解集是，所以，且2和3是方程的兩個根，
由根與系數的關系，得
解得
因為不等式，所以，即，解得或.

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