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（7）空間向量與立體幾何
——2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易混易錯(cuò)專項(xiàng)復(fù)習(xí)
【易混點(diǎn)梳理】
1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.一般地，表面積=側(cè)面積+底面積.
多面體 側(cè)面展開(kāi)圖 面積公式
棱柱 （如三棱柱）
棱錐 （如三棱錐）
棱臺(tái) （如三棱臺(tái)）
2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積
旋轉(zhuǎn)體 側(cè)面展開(kāi)圖 面積公式
圓柱 底面積： 側(cè)面積： 表面積：
圓錐 底面積： 側(cè)面積： 表面積：
圓臺(tái) 上底面面積： 下底面面積： 側(cè)面積： 表面積：
3.柱體、錐體、臺(tái)體的體積
幾何體 體積公式
柱體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
錐體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
臺(tái)體 （分別為上、下底面面積，為高）， （分別為上、下底面半徑，為高）
4.球的表面積和體積
（1）球的表面積：設(shè)球的半徑為，則球的表面積為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.
（2）球的體積：設(shè)球的半徑為，則球的體積為.
5.直線與直線平行：
基本事實(shí)4 平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性.
6.等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
7.直線與平面平行的判定定理
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行. ，，且.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線線平行，則線面平行”.
8.直線與平面平行的性質(zhì)定理
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行. ，，.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則線線平行”.
9.平面與平面平行的判定定理
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行. ，，，，
該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則面面平行”.
10.平面與平面平行的性質(zhì)定理
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行. ，，.
該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線線平行”.
11.異面直線所成的角：
（1）定義：已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)分別作直線，我們把與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）.
（2）異面直線所成的角的取值范圍：.
（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即時(shí)，與互相垂直，記作.
12.直線與平面垂直的概念
定義 如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線與平面互相垂直，記作， 直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.它們唯一的公共點(diǎn)叫做垂足.
畫(huà)法圖示 畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示
點(diǎn)到面的距離 線到面的距離 兩面間的距離 過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條. 過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離. 一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離. 如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.
13.直線與平面垂直的判定定理
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直. ，，，， .
該定理可簡(jiǎn)記為“若線線垂直，則線面垂直”.
14.直線和平面所成的角
有關(guān)概念 對(duì)應(yīng)圖形
斜線 一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，圖中直線.
斜足 斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn).
射影 過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影.
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角； 規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角； 一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是的角.
取值范圍
15.直線與平面垂直的性質(zhì)定理
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. ，
16.二面角的概念
概念 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.
圖示
記法 棱為，面分別為的二面角記為. 也可在內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)，記作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.
圖示
符號(hào) ，，，，，，是二面角的平面角.
范圍
規(guī)定 二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面與平面垂直
（1）定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面與平面垂直，記作.如圖
（2）判定定理：
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直. ，.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線面垂直，則面面垂直”.
18.平面與平面垂直的性質(zhì)定理
自然語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直. ，，，.
該定理可簡(jiǎn)記為“若面面垂直，則線面垂直”.
19.一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來(lái)求得.也就是說(shuō)，若異面直線所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.
20.直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如下圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則.
21.平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α，β的法向量分別是和，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為，則.
【易錯(cuò)題練習(xí)】
1.一個(gè)五面體.已知，且兩兩之間距離為1，，，，則該五面體的體積為( )
A. B. C. D.
2.已知空間中有兩個(gè)不重合的平面，和兩條不重合的直線m，n，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.若，，，則
B.若，，，則
C.若，，，則
D.若，，，則
3.如圖，四棱錐是棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，G為BE的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.點(diǎn)A，B，C，F(xiàn)共面 B.平面平面CDF
C. D.平面ACD
4.如圖，在正方體中，O是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知中，，D為的中點(diǎn).將沿翻折，使點(diǎn)C移動(dòng)至點(diǎn)E，在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法不正確的是( )
A.平面平面
B.三棱錐的體積為定值
C.當(dāng)二面角的平面角為時(shí)，三棱錐的體積為
D.當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球表面積為
6.（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，EF是棱AB上的一條線段，且，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是( )
A.PQ與EF一定不垂直 B.二面角的正弦值是
C.的面積是 D.點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值
7.（多選）如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷，其中正確的是( )
A.平面平面
B.平面
C.異面直線與所成角的取值范圍是
D.三棱錐的體積不變
8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為棱的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)N，P是底面ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，總有，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.
9.已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面ABCD，且，則四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________.
10.如圖所示，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，B為底面圓周上異于A，C的點(diǎn)，且，P是線段BC的中點(diǎn).
（1）求證：平面.
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因?yàn)锳D，BE，CF兩兩平行，且兩兩之間距離為1，則該五面體可以分成一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為1的三棱柱和一個(gè)底面為梯形的四棱錐，其中三棱柱的體積等于棱長(zhǎng)均為1的直三棱錐的體積，四棱錐的高為，底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形，故該五面體的體積，故選C.
2.答案：A
解析：若，，則或，又，所以，故A正確；
若，，則或，又，則或n與斜交或均有可能，故B錯(cuò)誤；
若，，則或，又，因此m和n的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤；
若，，，則或，故D錯(cuò)誤.
綜上，選A.
3.答案：D
解析：A選項(xiàng)：如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，AG，AH，易得，，，則平面，平面AFH，所以A，G，H，F(xiàn)四點(diǎn)共面，由題意知，，所以四邊形AGHF是平行四邊形，所以，因?yàn)椋裕訟，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共面，故A正確；
B選項(xiàng)：由選項(xiàng)A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因?yàn)椋移矫妫矫鍯DF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正確；
C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正確；
D選項(xiàng)：假設(shè)平面ACD，則，由選項(xiàng)A知四邊形AGHF是平行四邊形，所以四邊形AGHF是菱形，與，矛盾，故D錯(cuò)誤.
4.答案：A
解析：如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則.以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，故，，又，則，所以.
在正方體中，連接，可知體對(duì)角線平面，所以是平面的一個(gè)法向量，所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)或1時(shí)，取得最小值.所以，故選A.
5.答案：B
解析：如圖：
A選項(xiàng)，，，，所以平面，因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫妫珹正確，不符合題意.
B選項(xiàng)，由A知平面，但的面積不是定值，故三棱錐的體積不是定值，B錯(cuò)誤，符合題意.
C選項(xiàng)，二面角的平面角為，當(dāng)時(shí)，，
三棱錐的體積為，C正確，不符合題意.
D選項(xiàng)，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，，三棱錐的表面積為，
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則由等體積法知，解得，所以內(nèi)切球表面積，D正確.
6.答案：BCD
解析：對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，由于點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，EF是棱AB上的一條線段，所以平面PEF即為平面，平面QEF即為平面QAB.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，.
設(shè)平面QAB的一個(gè)法向量為，則即
令，則.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則.
設(shè)二面角的大小為，所以，故，故選項(xiàng)B正確.
對(duì)于C，由于平面，平面，所以，所以，所以是的高，所以，故選項(xiàng)C正確.
對(duì)于D，由于，且平面，平面QEF，所以平面QEF，又點(diǎn)P在上，所以點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值，故選項(xiàng)D正確.故選BCD.
7.答案：ABD
解析：對(duì)于A，連接DB，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，平面ABCD，又平面ABCD，所以，因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，，又DB與為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕砜傻茫驗(yàn)榕cAC為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，從而平面平面，故A正確；
對(duì)于B，連接，，如圖，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危裕制矫妫矫妫云矫妫砥矫妫帧槠矫鎯?nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫妫蔅正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋耘c所成角即為與所成的角，因?yàn)椋詾榈冗吶切危?dāng)P與線段的兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最小值，當(dāng)P與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最大值，所以與所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B得平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，即點(diǎn)P到平面的距離不變，不妨設(shè)為h，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確.故選ABD.
8.答案：
解析：如圖，連接，，，，，因?yàn)镹，M分別是，的中點(diǎn)，所以.由正方體的性質(zhì)易知，，，所以平面，所以.同理可證.又，所以平面，即平面，因此當(dāng)時(shí)，總有，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段BD.又正方體的棱長(zhǎng)為2，所以.
9.答案：
解析：設(shè)正方形ABCD的中心為，的外心為G，取AB的中點(diǎn)E，連接，，，則，，以，為鄰邊作平行四邊形，如圖.
因?yàn)閭?cè)面底面，，平面平面，平面PAB，所以平面ABCD，所以.則平面ABCD，同理可知平面PAB.連接OA，OB，OC，OD，OP，則，所以O(shè)就是該四棱錐外接球的球心.連接BG，PE，由，，得，，解得.設(shè)該四棱錐的外接球半徑為R，在中，，則四棱錐的外接球的表面積為.
10.答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接，，如圖所示，
因?yàn)镻為BC的中點(diǎn)，所以，.
在等腰梯形中，，，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）以直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高為.
因?yàn)椋?br/>則，，，，，，
所以，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則令，得.
設(shè)平面的法向量為，
則令，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，
則.

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