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（8）平面解析幾何
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為.
2.經過兩點的直線的斜率公式.
3.兩條直線平行與垂直的判定：設兩條直線的斜率分別為.
（1）；（2）.
4.直線的方程：
（1）點斜式：.
（2）斜截式：.
（3）兩點式：.
（4）截距式：.
（5）一般式：(A，B不同時為0) .
5.直線的交點坐標與距離公式
①一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.
②兩點間的距離公式.
特別地，原點與任一點的距離.
③點到直線的距離：點到直線的距離.
④兩條平行直線間的距離：若直線的方程分別為，，則兩平行線的距離.
6.圓心為，半徑為r的圓的標準方程：.
7.圓的一般方程：.
8.判斷直線與圓的位置關系的方法：
（1）代數方法（判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況）：相交，相離，相切.
（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑r的大小）：設圓心到直線的距離為d，則相交，相離，相切.
9.圓與圓的位置關系
設圓半徑為，圓半徑為.
圓心距與兩圓半徑的關系 兩圓的位置關系
內含
內切
相交
外切
外離
10.橢圓：
1.定義：平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
2.標準方程：
（1）中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為；
（2）中心在坐標原點，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.
3.焦點三角形
（1）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則，其中為.
（2）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則的周長為.
（3）過焦點的弦AB與橢圓另一個焦點構成的的周長為.
4.橢圓的方程與簡單幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
一般方程
焦點坐標
頂點坐標
范圍
長軸長
短軸長
焦距
離心率 ， 越接近于1，橢圓越扁；越接近于0，橢圓越圓
11.雙曲線：
1.定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數（小于）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
2.標準方程：
（1）中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為；
（2）中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為.
3.焦點三角形
（1）P為雙曲線上的點，為雙曲線的兩個焦點，且，則.
（2）過焦點的直線與雙曲線的一支交于A，B兩點，則A，B與另一個焦點構成的的周長為.
（3）若P是雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則，.
（4）P是雙曲線右支上不同于實軸端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，為內切圓的圓心，則圓心的橫坐標恒為定值a.
4.雙曲線的幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
焦點坐標
頂點坐標
范圍
對稱性 關于x軸、y軸對稱，關于原點對稱
實、虛軸長 實軸長為，虛軸長為
離心率 雙曲線的焦距與實軸長的比
漸近線方程
12.拋物線：
1.定義：平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
2.標準方程：
（1）焦點在x軸上的拋物線的方程為；
（2）焦點在y軸上的拋物線的方程為.
3.拋物線的幾何性質
標準方程
范圍
準線
焦點
對稱性 關于x軸對稱 關于y軸對稱
頂點
離心率
焦半徑長
焦點弦長
【易錯題練習】
1.已知，是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
2.已知圓，過直線上一點P向圓C作切線，切點為Q，則的最小值為( )
A.5 B. C. D.
3.為了增強某會議主席臺的亮度，且為了避免主席臺就座人員面對強光的不適，燈光設計人員巧妙地通過雙曲線鏡面反射出發散光線達到了預期的效果.如圖，從雙曲線右焦點發出的光線的反射光線的反向延長線經過左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當與恰好相等時，( )
A. B. C. D.
4.已知拋物線的焦點為F，準線為l，點A，B在拋物線C上，且滿足.設線段AB的中點到準線的距離為d，則的最小值為( )
A. B. C. D.
5.已知點P是雙曲線上的動點，，分別是雙曲線C的左、右焦點，O為坐標原點，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.（多選）拋物線的準線為l，P為C上的動點.對P作的一條切線，Q為切點.對P作l的垂線，垂足為B.則( )
A.l與相切 B.當P，A，B三點共線時，
C.當時， D.滿足的點P有且僅有2個
7.（多選）已知橢圓過點，直線與橢圓C交于M，N兩點，且線段的中點為P，O為坐標原點，直線的斜率為，則下列結論正確的是( )
A.C的離心率為
B.C的方程為
C.若，則
D.若，則橢圓C上存在E，F兩點，使得E，F關于直線l對稱
8.已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，P是圓上不同于A，B兩點的動點，直線PB與橢圓C交于點Q.若直線PA斜率的取值范圍是，則直線QA斜率的取值范圍是__________.
9.設，是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過作平分線的垂線，垂足為M，則點M到直線的距離的最大值是___________.
10.已知拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在坐標軸上，且過，兩點.
（1）求C的方程；
（2）設過點F的直線l與C交于M，N兩點，P，Q兩點分別是直線AM，BN與x軸的交點，證明：為定值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：在橢圓中，由橢圓的定義可得，因為，所以，.在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的離心率.故選A.
2.答案：C
解析：如圖所示：
記圓心到直線的距離為d，則.
因為，所以當直線l與CP垂直，即時，最小，故.故選C.
3.答案：A
解析：離心率，.
又，則根據雙曲線的定義可知，，
.故選A.
4.答案：D
解析：如圖，設線段AB的中點為M，分別過點A，B，M作準線l的垂線，垂足分別為C，D，N.
設，，則，.
由MN為梯形ACDB的中位線，得，由可得，故.
因為，當且僅當時取等號，
所以，故選D.
5.答案：B
解析：如圖所示，由雙曲線的對稱性，不妨設是雙曲線C右支上的一點，，所以，同理可得，所以.又因為，，所以.
又因為，所以，所以，，所以.故選B.
6.答案：ABD
解析：對于A，易知，故l與相切，A正確；
對于B，，的半徑，當P，A，B三點共線時，，所以，，故B正確；
對于C，當時，，或，，易知PA與AB不垂直，故C錯誤；
對于D，記拋物線C的焦點為F，連接AF，PF，易知，由拋物線定義可知，因為，所以，所以點P在線段AF的中垂線上，線段AF的中垂線方程為，即，代入可得，解得，易知滿足條件的點P有且僅有兩個，故D正確.故選ABD.
7.答案：AC
解析：設，，則，即.
因為M，N在橢圓C上，所以，，兩式相減，
得，即，
又，所以，
即，所以，離心率，故A正確；
因為橢圓C過點，所以，解得，，所以橢圓C的標準方程為，故B錯誤；若，則直線l的方程為，由得，所以，，，故C正確；
若，則直線l的方程為.假設橢圓C上存在E，F兩點，使得E，F關于直線l對稱，設，，的中點為，所以，，因為E，F關于直線l對稱，所以且點Q在直線l上，即.又E，F在橢圓C上，所以，，兩式相減，得，即，所以，即.聯立，解得，即.又，所以點Q在橢圓C外，這與Q是弦的中點矛盾，所以橢圓C上不存在E，F兩點，使得E，F關于直線l對稱.
故選AC.
8.答案：
解析：由題可知，，設，則，，所以.
因為，所以，即.①
因為點P在圓上，所以，所以.②
結合①②可知，.因為，所以.
9.答案：5
解析：由雙曲線的方程可得，則，
，.設，
不妨設點P在雙曲線右支上，延長交的延長線于點N，則，如圖.
由角平分線性質可知，，由雙曲線的定義可得，，即.
，
整理得，即點M在以為圓心，2為半徑的圓上.
圓心到直線的距離，
直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離為.
10.答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由題意可知拋物線C過第一、四象限，
故可設拋物線C的方程為，代入得，則，
故拋物線C的方程為.
（2）證明：由（1）可得，易得直線l的斜率不為0，
則可設直線，，.
聯立方程得消去x得，
則，，.
當直線AM的斜率不存在時，，此時直線，
則，，，則；
當直線AM的斜率存在時，，
則直線AM的方程為，令，則，
解得，，
同理可得，故（定值）.
綜上，為定值1.

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