資源簡介

（9）計數原理與概率統計
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.
名稱 定義 符號表示
包含關系 若事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或）
相等關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，則稱事件A與事件B相等 A=B
并事件 （和事件） 事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件） （或）
交事件 （積事件） 事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件） （或）
互斥事件 若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
對立事件 若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 且（U為全集）
2.古典概率模型：我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概率：
（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
（2）等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件總數為n的古典概型中，每個基本事件發生的概率都是相等的，即每個基本事件發生的概率都是.
（2）對于古典概型，任何事件的概率為.
4.離散型隨機變量的分布列
（1）如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
（2）一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為取每一個值的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
X … …
P … …
5.離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1）；
（2）；
（3）.
6.常見的離散型隨機變量的概率分布模型
（1）兩點分布
若隨機變量X的分布列為
X 0 1
P p
則稱X服從兩點分布.
（2）超幾何分布
一般地，在含有M件次品的N件產品中任取n件，其中恰有X件次品，則
，其中，且，稱分布列
X 0 1 … m
P …
為超幾何分布.
7.離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
X … …
P … …
（1）均值
稱為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
（2）方差
稱為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值的平均偏離程度，并稱為隨機變量X的標準差，記為.
8.均值與方差的性質
（1）.
（2）.
9.兩點分布的均值、方差
若X服從兩點分布，則.
10.條件概率及其性質
（1）一般地，設A，B為兩個事件，且，稱為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率.
（2）條件概率的性質：
（i）；
（ii）如果B和C是兩個互斥事件，則.
11.全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有，稱此公式為全概率公式.
12.相互獨立事件
（1）對于事件A、B，若A的發生與B的發生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件.
（2）若A與B相互獨立，則，.
（3）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立.
（4）若，則A與B相互獨立.
13.獨立重復試驗與二項分布
獨立重復試驗 二項分布
定義 一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗（也叫n重伯努利試驗） 一般地，在n次獨立重復試驗（n重伯努利試驗）中，設事件A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作
計算公式 用表示第i次試驗結果，則 在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為
14.二項分布的均值與方差：若，則，.
15.正態曲線的定義
函數（其中實數和為參數）的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線.
16.正態曲線的特點
（1）曲線位于x軸上方且與x軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（3）曲線在處達到峰值；
（4）曲線與x軸之間的面積為1；
（5）當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸移動；
（6）當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”；越大，曲線越“矮胖”.
17.正態分布的定義及表示
如果對于任何實數，隨機變量X滿足，則稱X的分布為正態分布，記作.
18.簡單隨機抽樣
（1）定義：一般地，設一個總體含有N（N為正整數）個個體，從中逐個不放回地抽取n（）個個體作為樣本，如果每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.
（2）最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種：隨機數法和抽簽法.
19.分層抽樣
（1）定義：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.
（2）應用范圍：總體是由差異明顯的幾個部分組成的.
（3）分層抽樣的關鍵是根據樣本特征的差異進行分層，實質是等比例抽樣，抽樣比 .
20.頻率分布表與頻率分布直方圖
頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：
（1）求極差，即求一組數據中最大值與最小值的差；
（2）決定組距與組數；
（3）將數據分組；
（4）列頻率分布表，落在各小組內的數據的個數叫做頻數，每小組的頻數與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計算各小組的頻率，列出頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖，依據頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標（小長方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積，即每個小長方形的面積.
各個小長方形面積的總和等于1.
21.頻率分布折線圖和總體密度曲線
（1）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.
（2）總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作頻率分布直方圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.
22.用樣本的數字特征估計總體的數字特征
數字特征 樣本數據 頻率分布直方圖
眾數 出現次數最多的數據 取最高的小長方形底邊中點的橫坐標
中位數 將數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數） 把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標
平均數 樣本數據的算術平均數 每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和
方差和標準差反映了數據波動程度的大小.
方差：；
標準差：.
23.百分位數
（1）把100個樣本數據按從小到大排序，得到第p個和第p+1個數據分別為.可以發現，區間內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.一般地，我們取這兩個數的平均數，并稱此數為這組數據的第p百分位數，或p%分位數.
（2）一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值.
（3）四分位數
常用的分位數有第25百分位數，第50百分位數（即中位數），第75百分位數.這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數等，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數等.
24.變量間的相關關系
（1）常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數關系，另一類是相關關系.與函數關系不同，相關關系是一種非確定性關系.
（2）在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點散布在從左上角到右下角的區域內，兩個變量的相關關系稱為負相關.
25.兩個變量的線性相關
（1）從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.
（2）回歸直線方程
①最小二乘法：通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回歸方程：方程是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據
的回歸方程，其中是待定參數.
，其中稱為樣本點的中心.
（3）相關系數r
①；
②當時，表明兩個變量正相關；當時，表明兩個變量負相關.
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.當r的絕對值大于或等于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系.
（4）回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法.在線性回歸模型中，因變量y的值由自變量x和隨機誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化，在統計中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預報變量.
26.分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.
27.列聯表：列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表.假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為和，其樣本頻數列聯表（稱為2×2列聯表）為：
總計
a b
c d
總計
可構造一個隨機變量，其中為樣本容量.
28.獨立性檢驗
利用獨立性假設、隨機變量來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.
兩個分類變量X和Y是否有關系的判斷標準：
統計學研究表明：當時，認為X與Y無關；
當時，有95%的把握說X與Y有關；
當時，有99%的把握說X與Y有關；
當時，有99.9%的把握說X與Y有關.
29.排列與排列數
（1）排列：從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
（2）排列數：從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作.
30.組合與組合數
（1）組合：從n個不同元素中取出個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
（2）組合數：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作.
31.二項式定理
公式叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數叫做二項式系數，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項.
32.二項式系數的性質
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即.
（2）增減性與最大值：對于二項式系數，當時，二項式系數是遞增的；當時，二項式系數是遞減的.當n是偶數時，二項展開式的中間一項（第項）的二項式系數最大，即最大的二項式系數為.當n是奇數時，二項展開式的中間兩項（第項和第項）的二項式系數相等且最大，即最大的二項式系數為和.
（3）二項式系數的和：的展開式的各個二項式系數的和等于，即.二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即.
【易錯題練習】
1.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為( )
A. B. C. D.
2.已知的展開式中常數項為240，則的展開式中的系數為( )
A.10 B.-8 C.-6 D.4
3.為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：
根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是( )
A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為
B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為
C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
4.某班50名同學參加體能測試，經統計成績c近似服從，若，則可估計該班體能測試成績低于85分的人數為( )
A.5 B.10 C.15 D.30
5.某中學教師節活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數為( )
A.20 B.40 C.66 D.80
6.（多選）我國新冠肺炎疫情防控進入常態化，各地有序推動復工復產.下面是某地連續11天的復工、復產指數折線圖.
根據該折線圖，( )
A.這11天復工指數和復產指數均逐日增加
B.在這11天期間，復產指數的增量大于復工指數的增量
C.第3天至第11天，復工指數和復產指數都超過
D.第9天至第11天，復產指數的增量大于復工指數的增量
7.（多選）甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則( )
A. B. C. D.
8.某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則小王至少嘗試兩次才能成功的概率是__________.
9.從一批含有13件正品，2件次品的產品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設抽取的次品數為，則__________.
10.中國跳水隊有“跳水夢之隊”的稱號，在國際賽場上有絕對的優勢，同時跳水運動也得到了廣泛推廣，獲得了越來越多人的喜愛.現有A，B，C，…，J共10位跳水運動愛好者自發組建了跳水訓練營，并邀請教練甲幫助訓練.教練訓練前對10位跳水員進行測試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓后再進行測試打分，10位跳水員得分情況如圖中實線所示.規定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優秀”.
“優秀”人數 “非優秀”人數 合計
訓練前
訓練后
合計
（1）將上面的列聯表補充完整，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷跳水員的優秀情況與訓練是否有關，并說明原因.
（2）從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓練后為“優秀”的條件下，求這3人中恰有1人訓練前也為“優秀”的概率.
（3）跳水員A將對“，和”這三種高度的跳水運動進行集訓，且在訓練中進行了多輪測試.規定：在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的跳水測試達到“優秀”，則該輪測試才記為“優秀”.每輪測試中，跳水員A在每個高度中達到“優秀”的概率均為，每個高度的跳水運動是否達到“優秀”互不影響且每輪測試互不影響.如果跳水員A在集訓測試中想獲得“優秀”的輪數平均值為3，那么理論上至少要進行多少輪測試？
附：，其中.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
答案以及解析
1.答案：D
解析：從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，其中這2個數互質的情況有，，，，，，，，，，，，，，共14種.所以這2個數互質的概率.故選D.
2.答案：C
解析：因為的展開式的通項為，令，得，所以的展開式中常數項為，又，解得，所以的展開式中含的項為，故所求系數為-6.
3.答案：C
解析：由頻率分布直方圖知年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為，故A正確；年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為，故B正確；該地農戶家庭年收入的平均值約為，故C錯誤；年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農戶比率約為，故D正確.故選C.
4.答案：B
解析：由c近似服從，可知正態分布曲線的對稱軸為，
則，
所以,
則可估計該班體能測試成績低于85分的人數為人，
故選：B.
5.答案：C
解析：因為丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A，所以上午甲、乙、丙參加B，C，D這3個項目，共有種不同的安排方法.
易知甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為A，B，C，D，
分2類：①丁參加項目A，共有2種不同的安排方法；
②丁參加B，C，D這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A，剩下兩人參加剩下的2個項目，共有種不同安排方法.
綜上，共有種不同的安排方法.故選C.
6.答案：CD
解析：由題圖可知第8，9天復工指數和復產指數均減小，故A錯誤；第1天時復工指數小于復產指數，第11天時兩指數相等，故復產指數的增量小于復工指數的增量，故B錯誤；由題圖可知第3天至第11天，復工復產指數都超過，故C正確；第9天至第11天，復產指數的增量大于復工指數的增量，故D正確.
7.答案：ACD
解析：依題意可得，，，，所以，故A正確、B錯誤、C正確；
，故D正確.
8.答案：
解析：由題意得，小王嘗試三次才成功的概率為，小王嘗試三次也沒成功的概率為，所以小王至少嘗試兩次才能成功的概率為.
9.答案：4
解析：解法一：依題意知服從參數為15，2，3的超幾何分布，所以，所以.
解法二：依題意得，的可能取值為0，1，2，則，，，
所以，
所以.
10.答案：（1）列聯表見解析，跳水員的優秀情況與訓練有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01
（2）
（3）至少要進行12輪測試
解析：（1）零假設：跳水員的優秀情況與訓練無關.
列聯表為
“優秀”人數 非“優秀”人數 合計
訓練前 2 8 10
訓練后 8 2 10
合計 10 10 20
.
故根據小概率值的獨立性檢驗，零假設不成立，即跳水員的優秀情況與訓練有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.
（2）由題圖可知訓練前后均不“優秀”的有C，F共2人，訓練前后均“優秀”的有D，G共2人，訓練前不“優秀”而訓練后“優秀”的有6人.
設“所選3人中恰有2人訓練后為‘優秀’”，“所選3人中恰有1人訓練前為‘優秀’”，
則，，
所以.
（3）設跳水員A每輪測試為“優秀”的概率為p，
則.
設測試輪數為n，則“優秀”的輪數.
所以，即，
故至少要進行12輪測試.

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